�ݺ�ߣ

Vektor Random Dan Statistik Matematika
Vektor random merupakan perluasan variabel Bila vektor random x ~ Nm(µ, Ω), maka setiap
random. Bila suatu unit eksperimen mengha-
xi ~ N(µi, σ ), i = 1, 2, … , m; tetapi
2
i
silkan hanya satu variabel terukur, maka varia-
bel tersebut dinamai variabel random; tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.
bila menghasilkan beberapa variabel terukur, Mean vektor x, dinotasikan µ,
misal m variabel, maka hasil pengukuran terse-
µ = (µ1, µ2, ... µm)T
but dinamai vektor random, dengan m kompo-
= E(x)
nen. Jadi komponen atau elemen vektor random
= E(x1, x2, ... , xm)T
adalah variabel random.
= [E(x1), E(x2), ... E(xm)]T
Statistik matematika yang dimaksud di sini ha- Kovariansi antara xi dengan xj , dinotasikan
nya sebatas : distribusi, ekspektasi, variansi, ko- cov(xi,xj), atau σij , didefinisikan sbb :
variansi, dan korelasi, masing-masing ditujukan σ = cov(xi,xj) = E[(xi − µi)(xj − µj)]
ij
kepada vektor random.
= E(xi,xj) − µiµj
Barisan variabel random x1, x2, … , xm yang
saling berhubungan dimodelkan oleh fungsi Pada kondisi xi dan xj saling bebas, maka :
probabilitas multivariat, yaitu px(t) bila diskrit; E(xi,xj) = E(xi) E(xj) = µiµj,
atau fungsi densitas multivariat, yaitu fx(t) bila sehingga :
kontinyu. Pada uraian ini hanya sebatas fungsi σ = µiµj − µiµj = 0
ij

kontinyu, khususnya fungsi densitas
multivariat normal. Bila i = j maka σ = σ = σ2 , ini dinamai
ij ii i

variansi xi, dinotasikan var(xi).
Fungsi densitas normal (PDF normal ) :
1 Diketahui α1, α2, β1, dan β2 masing-masing
f(x) = exp( − 1 ( x − µ ) 2 ) / σ 2 )
2
σ 2π skalar, maka berlaku :
atau,
 x−µ 
2 cov(α1 + β1xi , α2 + β2xj) = β1β2 cov(xi,xj)
1 −1
2
σ 

f(x) = e 
σ 2π Matrik variansi kovariansi vektor x, atau matrik
kovariansi vektor x, dinotasikan Ω,
Fungsi densitas normal standar (PDF normal
standar) : x1 x2 x3
1 x1  σ 11 σ 12 L σ 1m 
exp(− 1 ( z ) 2 ))
x2 σ 21 σ 22 σ 2m 
f(z) = 2
2π  L 
Ω=
atau, M  M M O M 
1 − 1 ( z) 2  
f(z) = e 2 xm σ m1 σ m 2
 L σ mm 

2π
Ω = var(x) = E[(x − µ)( x − µ)T]
Fungsi densitas multivariat normal standar = E(x xT) − µµ T
(PDF multivariate normal standart) :

− 1 ( zT z )
m
1 − 1 ( zi ) 2 1 Ekspektasi Fungsi Vektor Random
f(z) = ∏ e 2 = e 2 ,
i =1 2π (2π ) m/2

y = α Tx,
dinotasikan pula z ~ Nm(0, Im). Ini berarti : se-
tiap zi ~ N(0,1), i = 1, 2, … , m, dan antar zi sa- E(y) = E(α T x) = ...
ling independen. = α Tµ

Fungsi densitas multivariat normal (PDF mul- w = β Tx
tivariate normal) : cov(y,w) = cov(α Tx, β Tx) = ...
1 (
− 1 ( x − µ )T Ω -1 ( x − µ ) ) = αT Ω β
f(x) = e 2
,
(2π ) m / 2 | Ω |1/ 2
var(y) = cov(y,y) = α T Ω α
dinotasikan x ~ Nm(µ, Ω).
var(w) = cov(w,w) = β T Ω β

y=Ax Matrik P bersifat definit tak negatif.
Contoh :
Matrik A berukuran p×m, maka :
E(y) = E(Ax) = A E(x) = A µ Data berikut ini diambil dari populasi yang
berdistribusi multivariate normal.
var(y) = E[{y − E(y)}{y − E(y)}T]
= E[{Ax − E(Ax)}{ Ax − E(Ax)}T] x1 x2 x3 x4
= ...
7 26 6 60
= A Ω AT
1 29 15 52
Bila v dan w masing-masing adalah vektor 11 56 8 20
11 31 8 47
random, maka berlaku :
7 52 6 33
cov(v,w) = E(v wT) − E(v) E(w)T 11 55 9 22
3 71 17 6
Selanjutnya, bila v = A x dan w = B x, maka : 1 31 22 44
cov(v,w) = A cov(x, x) B 2 54 18 22
= ... 21 47 4 26
= A Ω BT 1 40 23 34
11 66 9 12
10 68 8 12
Matrik Korelasi vektor x , dinotasikan P,
Hitunglah penaksir-penaksir :
x1 x2 x3
- vektor mean, µ
x1  ρ11 ρ12  ρ1m 
- matrik kovariansi, Ω
x2  ρ21
 ρ22  ρ11 
, - matrik korelasi, P
P=
       −
- matrik diagonal, DΩ1/ 2
 
xm ρm1 ρm 2  ρmm  dan tuliskan PDF multivariate vektor x .

cov( xi , x j ) σij Kemudian dilakukan transformasi sebagai berikut :
dengan ρij = var( x ) var( x ) = σ σ , ziu = ( xiu − xi ) / simpangan baku xi ,
i j ii jj
dengan i = 1, 2, 3, 4, dan u = 1, 2, … , 13.
ini merupakan hubungan antara korelasi dengan Dengan demikian, vektor random x = (x1,x2,x3,x4)T
kovarian. berubah menjadi vektor random z = (z1,z2,z3,z4)T.
Bila i = j, maka ρii =1 , sehingga elemen dia- Hitunglah penaksir-penaksir (untuk vektor z ):
gonal utama matrik korelasi, yaitu P selalu ber- - vektor mean, µ
nilai 1. - matrik kovariansi, Ω
- matrik korelasi, P
Hubungan antara matrik korelasi, P, dengan −
matrik kovariansi, Ω, dapat di turunkan sbb; - matrik diagonal, DΩ1/ 2
didefinisikan suatu matrik diagonal, dinotasi- dan tuliskan PDF multivariate vektor z .
−
kan DΩ1/ 2 , yang setiap elemennya bernilai satu Pilihlah dua variabel random diantara x1, x2, x3, x4.
per simpangan baku setiap variabel random Hitunglah penaksir-penaksir :
yang membentuk matrik random, yaitu ( σ ii ) , - vektor mean, µ
−1/ 2

- matrik kovariansi, Ω
i = 1, 2, … , m,
- matrik korelasi, P
−
- matrik diagonal, DΩ1/ 2 ,
DΩ1/ 2 = diag ( σ 11 , σ 22 , ... , σ mm )
− −1/ 2 −1/ 2 −1/ 2
tuliskan PDF bivariate (xi , xj), dan gambarlah kurva
PDF tersebut.
σ 111/ 2
−
0  0 
  Diketahui : vektor α = (10,11,12,13)T,
−1/ 2  σ 221/ 2 
−
0 
DΩ = vektor β = (21,22,23,24)T,
  0 
 −1/  1 11 23 31

 σ mm 2 
  
matrik A =  2 13 21 33
selanjutnya, hubungan antara matrik korelasi  3 12 22 32 
 
dan matrik kovarian dapat dinyatakan sbb, Hitunglah : Ekspektasi : αx, αz, βx, βz, Ax dan Az,
− −
Variansi : αx, αz, βx, βz, Ax dan Az,
P = DΩ1/ 2 Ω DΩ1/ 2 . Kovariansi : (αx, βx) , (αz, βz) , (Ax, Bx) , (Az, Bz)

(Tentukan lebih dulu matrik B dengan elemen anda
tentukan sendiri, yang penting ukurannya sesuai)

�ݺ�ߣ

Vektorrandom

Recommended

More Related Content

What's hot (18)

Viewers also liked (20)

Similar to Vektorrandom (20)

Vektorrandom