ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo
6
Most read
Тема:
«Визначений інтеграл»
Визначення
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = F(a) – F(b)
Властивості
• Із під знака визначеного інтеграла можна
виносити постійний числовий коефіцієнт.
• 𝑎
𝑏
(𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑎
𝑏
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
• 𝑎
𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
• 𝑎
𝑏
−𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑐
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Засоби обчислення
визначених інтегралів
1. Формула Ньютона-Лейбніца:
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 |
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Наприклад:
0
𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥|
𝜋
0
= 𝑠𝑖𝑛𝜋 − 𝑠𝑖𝑛0 = 0
Застосування в
геометрії
1. Площі криволінійних фігур:
Обчислюються по формулі 𝑺 = 𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙, якщо вона має
форму криволінійної трапеції
Графік:
Застосування в фізиці
Задачі про обчислення шляху:
Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно с деякою
швидкістю v=v(t). Необхідно знайти шлях, який пройде ця
точка за проміжок часу від t=a до t=b. Обчислюємо по
формулі 𝑺 = 𝒂
𝒃
𝒗 𝒕 𝒅𝒕
Приклад. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю 𝑣 𝑡 =
= 3𝑡2 + 4𝑡 + 1
м
с
. Знайти шлях, пройдений тілом за три
секунди. Розв‘язання:
𝑺 = 𝟎
𝟑
(𝟑𝒕 𝟐
+ 𝟒𝒕 + 𝟏) 𝒅𝒕 = 𝒕 𝟑
+ 𝟐𝒕 𝟐
+ 𝒕 | 𝟑
𝟎
= 𝟒𝟖(м).
Ad

Recommended

Стату ліцей новий 2023.pdf
Стату ліцей новий 2023.pdf
ssuserce4e97
Урок 26 для 7 класу - Створення комп’ютерної моделі руху об’єкта на площині ...
Урок 26 для 7 класу - Створення комп’ютерної моделі руху об’єкта на площині ...
VsimPPT
Nakaz pro perevid 9 kl.pdf
Nakaz pro perevid 9 kl.pdf
Ostap Vuschna
Геометричні перетворення графіків тригонометричних функцій
Геометричні перетворення графіків тригонометричних функцій
lulettta
романтизм ментальна карта
романтизм ментальна карта
Iryna Vavryk
Способи розв'язування показникових рівнянь
Способи розв'язування показникових рівнянь
russoua
Координати в просторі
Координати в просторі
Людмила Кирилюк
Анілін
Анілін
Weronika26
Презентація:Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника
Презентація:Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника
sveta7940
симетрія відносно точки і прямої
симетрія відносно точки і прямої
Sv1tsun
природнича компетентність
природнича компетентність
ssuserad1860
Найпростіші перетворення графіків функції
Найпростіші перетворення графіків функції
alenkakuzmenko
Міжнародні договори 1921 – 1929рр. Версальсько – вашингтонська система
Міжнародні договори 1921 – 1929рр. Версальсько – вашингтонська система
pv01com
Застосування інтеграла (11 клас)
Застосування інтеграла (11 клас)
Olexandr Lazarets
Презентація на тему :"Первісна та невизначений інтеграл"
Презентація на тему :"Первісна та невизначений інтеграл"
Антонина Антонина
Розклад індивідуальне навчання.docx
Розклад індивідуальне навчання.docx
Нина Ибрагимова
розвязування трикутників 9 клас
розвязування трикутників 9 клас
Ольга Костенко
розвязування задач і вправ з теми вписані і описані чотирикутники,8кл.
розвязування задач і вправ з теми вписані і описані чотирикутники,8кл.
Наташа Иванякова
заходи до дня числа π
заходи до дня числа π
Lala Lalala
9 клас. мій конспект. всесвітня історія. 2010
9 клас. мій конспект. всесвітня історія. 2010
Nikita Bogun
піраміда 1
піраміда 1
2015aksyonov
Історія виникнення креслення
Історія виникнення креслення
antonuk
презентація теорема синусів і конусів.pptx
презентація теорема синусів і конусів.pptx
ssuser908bb6
Біологія 7 клас. Зошит для тематичного контролю знань
Біологія 7 клас. Зошит для тематичного контролю знань
Сергій Ільчишин
Здійснення діяльнісного підходу при проведенні уроків математики Сидорчук С.Ю...
Здійснення діяльнісного підходу при проведенні уроків математики Сидорчук С.Ю...
Светлана Брюховецкая
Визначений інтеграл та його геометричний зміст
Визначений інтеграл та його геометричний зміст
Formula.co.ua
степенева, показникова та логарифмічна функції
степенева, показникова та логарифмічна функції
Юра Марчук

More Related Content

What's hot (20)

Презентація:Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника
Презентація:Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника
sveta7940
симетрія відносно точки і прямої
симетрія відносно точки і прямої
Sv1tsun
природнича компетентність
природнича компетентність
ssuserad1860
Найпростіші перетворення графіків функції
Найпростіші перетворення графіків функції
alenkakuzmenko
Міжнародні договори 1921 – 1929рр. Версальсько – вашингтонська система
Міжнародні договори 1921 – 1929рр. Версальсько – вашингтонська система
pv01com
Застосування інтеграла (11 клас)
Застосування інтеграла (11 клас)
Olexandr Lazarets
Презентація на тему :"Первісна та невизначений інтеграл"
Презентація на тему :"Первісна та невизначений інтеграл"
Антонина Антонина
Розклад індивідуальне навчання.docx
Розклад індивідуальне навчання.docx
Нина Ибрагимова
розвязування трикутників 9 клас
розвязування трикутників 9 клас
Ольга Костенко
розвязування задач і вправ з теми вписані і описані чотирикутники,8кл.
розвязування задач і вправ з теми вписані і описані чотирикутники,8кл.
Наташа Иванякова
заходи до дня числа π
заходи до дня числа π
Lala Lalala
9 клас. мій конспект. всесвітня історія. 2010
9 клас. мій конспект. всесвітня історія. 2010
Nikita Bogun
піраміда 1
піраміда 1
2015aksyonov
Історія виникнення креслення
Історія виникнення креслення
antonuk
презентація теорема синусів і конусів.pptx
презентація теорема синусів і конусів.pptx
ssuser908bb6
Біологія 7 клас. Зошит для тематичного контролю знань
Біологія 7 клас. Зошит для тематичного контролю знань
Сергій Ільчишин
Здійснення діяльнісного підходу при проведенні уроків математики Сидорчук С.Ю...
Здійснення діяльнісного підходу при проведенні уроків математики Сидорчук С.Ю...
Светлана Брюховецкая
Презентація:Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника
Презентація:Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника
sveta7940
симетрія відносно точки і прямої
симетрія відносно точки і прямої
Sv1tsun
природнича компетентність
природнича компетентність
ssuserad1860
Найпростіші перетворення графіків функції
Найпростіші перетворення графіків функції
alenkakuzmenko
Міжнародні договори 1921 – 1929рр. Версальсько – вашингтонська система
Міжнародні договори 1921 – 1929рр. Версальсько – вашингтонська система
pv01com
Застосування інтеграла (11 клас)
Застосування інтеграла (11 клас)
Olexandr Lazarets
Презентація на тему :"Первісна та невизначений інтеграл"
Презентація на тему :"Первісна та невизначений інтеграл"
Антонина Антонина
Розклад індивідуальне навчання.docx
Розклад індивідуальне навчання.docx
Нина Ибрагимова
розвязування трикутників 9 клас
розвязування трикутників 9 клас
Ольга Костенко
розвязування задач і вправ з теми вписані і описані чотирикутники,8кл.
розвязування задач і вправ з теми вписані і описані чотирикутники,8кл.
Наташа Иванякова
заходи до дня числа π
заходи до дня числа π
Lala Lalala
9 клас. мій конспект. всесвітня історія. 2010
9 клас. мій конспект. всесвітня історія. 2010
Nikita Bogun
Історія виникнення креслення
Історія виникнення креслення
antonuk
презентація теорема синусів і конусів.pptx
презентація теорема синусів і конусів.pptx
ssuser908bb6
Біологія 7 клас. Зошит для тематичного контролю знань
Біологія 7 клас. Зошит для тематичного контролю знань
Сергій Ільчишин
Здійснення діяльнісного підходу при проведенні уроків математики Сидорчук С.Ю...
Здійснення діяльнісного підходу при проведенні уроків математики Сидорчук С.Ю...
Светлана Брюховецкая

Similar to Визначений інтеграл (11 клас) (20)

Визначений інтеграл та його геометричний зміст
Визначений інтеграл та його геометричний зміст
Formula.co.ua
степенева, показникова та логарифмічна функції
степенева, показникова та логарифмічна функції
Юра Марчук
Інтеграл та його застосування
Інтеграл та його застосування
russoua
Показникова функція
Показникова функція
Valyu66
Овчиннікова О.Й. "Дотична до графіка функції"
Овчиннікова О.Й. "Дотична до графіка функції"
Katherina Telesh
Zanjattja no1owerpoint
Zanjattja no1owerpoint
Александр Руденко
Синтез оптимального керування для систем диференціальних рівнянь с нефіксован...
Синтез оптимального керування для систем диференціальних рівнянь с нефіксован...
Вероника Черепинец
Лекція 1.pptx
Лекція 1.pptx
ssuser263194
Методична розробка навчальних завдань у контексті оновленої таксономії Б. Блу...
Методична розробка навчальних завдань у контексті оновленої таксономії Б. Блу...
Oleksii Voronkin
степенева функція
степенева функція
natali7441
Визначений інтеграл та його геометричний зміст
Визначений інтеграл та його геометричний зміст
Formula.co.ua
степенева, показникова та логарифмічна функції
степенева, показникова та логарифмічна функції
Юра Марчук
Інтеграл та його застосування
Інтеграл та його застосування
russoua
Показникова функція
Показникова функція
Valyu66
Овчиннікова О.Й. "Дотична до графіка функції"
Овчиннікова О.Й. "Дотична до графіка функції"
Katherina Telesh
Синтез оптимального керування для систем диференціальних рівнянь с нефіксован...
Синтез оптимального керування для систем диференціальних рівнянь с нефіксован...
Вероника Черепинец
Методична розробка навчальних завдань у контексті оновленої таксономії Б. Блу...
Методична розробка навчальних завдань у контексті оновленої таксономії Б. Блу...
Oleksii Voronkin
степенева функція
степенева функція
natali7441
Ad

More from Olexandr Lazarets (20)

ЗВІТ ДИРЕКТОРА 2016-2017
ЗВІТ ДИРЕКТОРА 2016-2017
Olexandr Lazarets
Звіт про фінансові результати за 2017 рік
Звіт про фінансові результати за 2017 рік
Olexandr Lazarets
Наказ про зарахування на екстернатну форму навчання
Наказ про зарахування на екстернатну форму навчання
Olexandr Lazarets
Звіт про використання і надходження коштів за ііі квартал 2017 року
Звіт про використання і надходження коштів за ііі квартал 2017 року
Olexandr Lazarets
Баланс НВК
Баланс НВК
Olexandr Lazarets
фінансова звітність
фінансова звітність
Olexandr Lazarets
кошторис 2
кошторис 2
Olexandr Lazarets
кошторис за 2017 рік
кошторис за 2017 рік
Olexandr Lazarets
Наказ про відрахування
Наказ про відрахування
Olexandr Lazarets
GoCamp в НВК
GoCamp в НВК
Olexandr Lazarets
звіт директора 2017 рік
звіт директора 2017 рік
Olexandr Lazarets
випуск 11 класу 17
випуск 11 класу 17
Olexandr Lazarets
наказ про перевід учнів 1 4-х класів
наказ про перевід учнів 1 4-х класів
Olexandr Lazarets
Наказ про перевід учнів
Наказ про перевід учнів
Olexandr Lazarets
випуск 9 клас 2017 н.р.
випуск 9 клас 2017 н.р.
Olexandr Lazarets
Зразок вступного випробовування з англійської мови (10 клас, гуманітарний про...
Зразок вступного випробовування з англійської мови (10 клас, гуманітарний про...
Olexandr Lazarets
зразок вступного-випробовування-з-математики
зразок вступного-випробовування-з-математики
Olexandr Lazarets
правила конкурсного приймання_до_лiцейних_класiв_березнiвс_кого_нвк
правила конкурсного приймання_до_лiцейних_класiв_березнiвс_кого_нвк
Olexandr Lazarets
Zno 2016-matem-zavdannya
Zno 2016-matem-zavdannya
Olexandr Lazarets
Dekada
Dekada
Olexandr Lazarets
ЗВІТ ДИРЕКТОРА 2016-2017
ЗВІТ ДИРЕКТОРА 2016-2017
Olexandr Lazarets
Звіт про фінансові результати за 2017 рік
Звіт про фінансові результати за 2017 рік
Olexandr Lazarets
Наказ про зарахування на екстернатну форму навчання
Наказ про зарахування на екстернатну форму навчання
Olexandr Lazarets
Звіт про використання і надходження коштів за ііі квартал 2017 року
Звіт про використання і надходження коштів за ііі квартал 2017 року
Olexandr Lazarets
фінансова звітність
фінансова звітність
Olexandr Lazarets
кошторис за 2017 рік
кошторис за 2017 рік
Olexandr Lazarets
Наказ про відрахування
Наказ про відрахування
Olexandr Lazarets
звіт директора 2017 рік
звіт директора 2017 рік
Olexandr Lazarets
наказ про перевід учнів 1 4-х класів
наказ про перевід учнів 1 4-х класів
Olexandr Lazarets
Наказ про перевід учнів
Наказ про перевід учнів
Olexandr Lazarets
випуск 9 клас 2017 н.р.
випуск 9 клас 2017 н.р.
Olexandr Lazarets
Зразок вступного випробовування з англійської мови (10 клас, гуманітарний про...
Зразок вступного випробовування з англійської мови (10 клас, гуманітарний про...
Olexandr Lazarets
зразок вступного-випробовування-з-математики
зразок вступного-випробовування-з-математики
Olexandr Lazarets
правила конкурсного приймання_до_лiцейних_класiв_березнiвс_кого_нвк
правила конкурсного приймання_до_лiцейних_класiв_березнiвс_кого_нвк
Olexandr Lazarets
Ad

Recently uploaded (7)

Звіт_Куракін О.М. _2025_1750399483.pptx
Звіт_Куракін О.М. _2025_1750399483.pptx
rt270588
ЗВІТ КЕРІВНИКА ЧОРНОМОРСЬКОГО ЛІЦЕЮ №3 2025.pptx
ЗВІТ КЕРІВНИКА ЧОРНОМОРСЬКОГО ЛІЦЕЮ №3 2025.pptx
ssuserb90919
Володимир Миколайович Гагенмейстер. Покликання художника
Володимир Миколайович Гагенмейстер. Покликання художника
НБУ для дітей
ilovepdf_merged (1)_removedddddddddd.pdf
ilovepdf_merged (1)_removedddddddddd.pdf
ssuser46127c
Звіт соціально-психологічної служби 1.pptx
Звіт соціально-психологічної служби 1.pptx
ssuserb90919
Подорож містами України. Львівська область
Подорож містами України. Львівська область
НБУ для дітей
звіт керівника Чорноморського ліцею№3 2024.pptx
звіт керівника Чорноморського ліцею№3 2024.pptx
ssuserb90919
Звіт_Куракін О.М. _2025_1750399483.pptx
Звіт_Куракін О.М. _2025_1750399483.pptx
rt270588
ЗВІТ КЕРІВНИКА ЧОРНОМОРСЬКОГО ЛІЦЕЮ №3 2025.pptx
ЗВІТ КЕРІВНИКА ЧОРНОМОРСЬКОГО ЛІЦЕЮ №3 2025.pptx
ssuserb90919
Володимир Миколайович Гагенмейстер. Покликання художника
Володимир Миколайович Гагенмейстер. Покликання художника
НБУ для дітей
ilovepdf_merged (1)_removedddddddddd.pdf
ilovepdf_merged (1)_removedddddddddd.pdf
ssuser46127c
Звіт соціально-психологічної служби 1.pptx
Звіт соціально-психологічної служби 1.pptx
ssuserb90919
Подорож містами України. Львівська область
Подорож містами України. Львівська область
НБУ для дітей
звіт керівника Чорноморського ліцею№3 2024.pptx
звіт керівника Чорноморського ліцею№3 2024.pptx
ssuserb90919

Визначений інтеграл (11 клас)

  • 3. Властивості • Із під знака визначеного інтеграла можна виносити постійний числовий коефіцієнт. • 𝑎 𝑏 (𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑎 𝑏 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 • 𝑎 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 • 𝑎 𝑏 −𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 • 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
  • 4. Засоби обчислення визначених інтегралів 1. Формула Ньютона-Лейбніца: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 | 𝑏 𝑎 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) Наприклад: 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥| 𝜋 0 = 𝑠𝑖𝑛𝜋 − 𝑠𝑖𝑛0 = 0
  • 5. Застосування в геометрії 1. Площі криволінійних фігур: Обчислюються по формулі 𝑺 = 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙, якщо вона має форму криволінійної трапеції Графік:
  • 6. Застосування в фізиці Задачі про обчислення шляху: Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно с деякою швидкістю v=v(t). Необхідно знайти шлях, який пройде ця точка за проміжок часу від t=a до t=b. Обчислюємо по формулі 𝑺 = 𝒂 𝒃 𝒗 𝒕 𝒅𝒕 Приклад. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю 𝑣 𝑡 = = 3𝑡2 + 4𝑡 + 1 м с . Знайти шлях, пройдений тілом за три секунди. Розв‘язання: 𝑺 = 𝟎 𝟑 (𝟑𝒕 𝟐 + 𝟒𝒕 + 𝟏) 𝒅𝒕 = 𝒕 𝟑 + 𝟐𝒕 𝟐 + 𝒕 | 𝟑 𝟎 = 𝟒𝟖(м).