![Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil
positif pertama?
Tebakan:
Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Bukti:
1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2
1. Langkah Basis:
Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah
(2n 1) = n2
(2.1 1) = 12
1=1
Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
2. Langkah induksi
mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:
1 + 3 + 5 + + (2k 1) = k2
adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-
k adalah (2k 1)].](https://image.slidesharecdn.com/induksi-120604081831-phpapp01/85/Induksi-5-320.jpg)
![Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil
positif pertama?
Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1
1 + 3 + 5 + + (2n 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + + (2n 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + + (2k 1) + (2k + 1) = [1 + 3 + 5 + + (2k 1)] + (2k + 1)
= k2 + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
3. Konklusi:
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann
benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Akhir dari bukti.](https://image.slidesharecdn.com/induksi-120604081831-phpapp01/85/Induksi-6-320.jpg)
More Related Content
What's hot (19)
Similar to Induksi (18)
Recently uploaded (20)
Induksi
- 1. Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama? 1=1 1+3=4 1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Metoda apa yang dapat dipakai untuk membuktikan bahwa tebakan ini benar, jika memang pada kenyataannya benar?
- 2. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang sangat penting dipergunakan secara luas untuk membuktikan pernyataan yang berkaitan dengan obyek diskrit. (kompleksitas algoritma, teorema mengenai graf, identitas dan ketidaksamaan yang melibatkan bilangan bulat, dsb). tidak dapat digunakan untuk menemukan rumus atau teorema, tetapi hanya untuk melakukan pembuktian.
- 3. Ilustrasi Sederetan orang menyebarkan suatu rahasia. Domino
- 4. Induksi matematika Teknik untuk membuktikan proposisi dalam bentuk n P(n), dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan bulat positif. Suatu bukti dengan menggunakan induksi matematika bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan bulat positif Terdiri dari tiga langkah: 1. Langkah basis: Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1 2. Langkah induktif: Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k + 1 3. Konklusi: n P(n) bernilai benar.
- 5. Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama? Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Bukti: 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2 1. Langkah Basis: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah (2n 1) = n2 (2.1 1) = 12 1=1 Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. 2. Langkah induksi mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu: 1 + 3 + 5 + + (2k 1) = k2 adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke- k adalah (2k 1)].
- 6. Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama? Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 1 + 3 + 5 + + (2n 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + + (2n 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut: 1 + 3 + 5 + + (2k 1) + (2k + 1) = [1 + 3 + 5 + + (2k 1)] + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 3. Konklusi: Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Akhir dari bukti.
- 8. Contoh: Untuk semua , buktikan dengan induksi matematika bahwa habis dibagi 3. Solusi: (i) Langkah Basis: untuk n = 1 benar karena 13 + 2(1) = 3 habis dibagi 3 (ii) Langkah Induksi: untuk n = k benar, yaitu: k habis dibagi 3 diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 juga benar, yaitu : habis dibagi 3 Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:
- 9. Karena adalah habis dibagi 3 (dari hipotesis induksi) dan juga habis dibagi 3, maka adalah jumlah dua buah bilangan yang habis dibagi 3, karena itu juga habis dibagi 3. Jadi, untuk , habis dibagi 3. (iii) Kesimpulan Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar, maka terbukti bahwa untuk semua , habis dibagi 3.