�ݺ�ߣ

Лекция 9. Распределения, связанные с нормальным
Курбацкий А. Н.
МШЭ МГУ
8 декабря 2016
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 9. F,t,χ2
-распределения 8 декабря 2016 1 / 21

Содержание
1 Распределение хи-квадрат (К.Пирсон)
2 Таблица распределения Стьюдента (В.Госсет)
3 Распределение Фишера (Р.Фишер)
4 Более подробно

Распределение хи-квадрат
Пусть ξ1, . . . , ξk — совместно независимые стандартные нормальные
случайные величины, то есть: ξi ∼ N(0, 1). Тогда случайная величина
ξ = ξ2
1 + · · · + ξ2
k имеет распределение хи-квадрат с k степенями
свободы.
Для этого распределения составлена таблица наиболее используемых
значений.
Важно!
В нижеприведённой таблице указаны некоторые значения для
вероятностей вида P(χ2(k) ≥ x).

•
χ2
l
•
3
•
5
•
7
•
9
•
χ2
r
x
−0.05
−0.15
χ2
//
OO
Замечание
Распределение хи-квадрат стремится к нормальному распределению
при k → ∞. Математическое ожидание равно k, а дисперсия – 2k.
Математическое ожидание больше моды этого распределения, потому
что правый хвост "тяжелее" левого.

Таблица критических значений хи-квадрат
распределения
k α 0.100 0.050 0.025 0.020 0.010 0.005 0.001
1 2.706 3.841 5.024 5.412 6.635 7.879 10, 828
2 4.605 5.991 7.378 7.824 9.210 10.597 13.816
3 6.251 7.815 9.348 9.837 11.345 12.838 16.266
4 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.860 18.467
5 9.236 11.070 12.833 13.388 15.086 16.750 20.515
6 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 22.458
7 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 24.322
8 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 26.124

Попробуйте самостоятельно!
Пример
Для распределения χ2 с семью степенями свободы найдите квантиль
уровня 0.99.
Смотрим в строчку для k = 7 и столбец для α = 0.01. Находим
значение 18.475, это и есть χ2
0.99(7) ≈ 18.475.

Пример
Для распределения χ2 с семью степенями свободы найдите квантиль
уровня 0.99.
Смотрим в строчку для k = 7 и столбец для α = 0.01. Находим
0.99(7) ≈ 18.475.
k α 0.100 0.050 0.025 0.020 0.010 0.005 0.001
1 2.706 3.841 5.024 5.412 6.635 7.879 10, 828
2 4.605 5.991 7.378 7.824 9.210 10.597 13.816
3 6.251 7.815 9.348 9.837 11.345 12.838 16.266
4 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.860 18.467
5 9.236 11.070 12.833 13.388 15.086 16.750 20.515
6 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 22.458
7 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 24.322
8 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 26.124

Пример
Для распределения χ2 с двумя степенями свободы найдите квантиль
уровня 0.95.

Пример
Для распределения χ2 с двумя степенями свободы найдите квантиль
уровня 0.95.
Смотрим в строчку для k = 2, и столбец для α = 0.05. Находим
0.95(2) ≈ 5.991.
k α 0.100 0.05 0.025 0.020 0.01 0.005 0.001
1 2.706 3.841 5.024 5.412 6.635 7.879 10, 828
2 4.605 5.991 7.378 7.824 9.210 10.597 13.816
3 6.251 7.815 9.348 9.837 11.345 12.838 16.266
4 7.779 9.488 11.143 11.668 13.277 14.860 18.467
5 9.236 11.070 12.833 13.388 15.086 16.750 20.515
6 10.645 12.592 14.449 15.033 16.812 18.548 22.458
7 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 24.322
8 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 26.124

Распределение Стьюдента
Пусть ξ0, ξ1, . . . , ξn — независимые стандартные нормальные
случайные величины. Тогда распределение случайной величины
t =
ξ0
1
n
n
i=1
ξ2
i
,
называется распределением Стьюдента с n степенями свободы и
пишут t ∼ t(n). Для этого распределения составлена таблица наиболее
используемых значений.
Важно!
В нижеприведённой таблице указаны некоторые значения для
вероятностей вида P(t(n) ≥ x) и P(|t(n)| ≥ x).

Критические значения распределения tk
(распределения Стьюдента)
two − side 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
one − side 0.050 0.0250 0.0125 0.0050 0.0025 0.0005
k
1 6.314 12.706 25.452 63.657 127.321 636.619
2 2.920 4.303 6.205 9.925 14.089 31.599
3 2.353 3.182 4.177 5.841 7.453 12.924
4 2.132 2.776 3.495 4.604 5.598 8.610
5 2.015 2.571 3.163 4.032 4.773 6.869

//
OO
Замечание
Распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению
при n → ∞, поэтому при больших выборках их значения будут почти
совпадать.

Пример
Для распределения Стьюдента с тремя степенями свободы вычислите
вероятности P(t(3) < 5.841), P(|t(3)| > 3.182) и найдите квантили
уровня 0.95 и 0.9995.

Пример
Для распределения Стьюдента с тремя степенями свободы вычислите
вероятности P(t(3) < 5.841), P(|t(3)| > 3.182) и найдите квантили
уровня 0.95 и 0.9995.
Смотрим в строчку для трёх степеней свободы,то есть k = 3, и
находим (о, чудо!) значение 5.841. Откуда P(t(3) < 5.841) ≈ 1 − 0.005.
P(|t(3)| > 3.182) ≈ 0.05.
t0.95(3) ≈ 2.353 и t0.9995(3) ≈ 12.924.
two − side 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
one − side 0.050 0.0250 0.0125 0.0050 0.0025 0.0005
k = 1 6.314 12.706 25.452 63.657 127.321 636.619
2 2.920 4.303 6.205 9.925 14.089 31.599
3 2.353 3.182 4.177 5.841 7.453 12.924
4 2.132 2.776 3.495 4.604 5.598 8.610
5 2.015 2.571 3.163 4.032 4.773 6.869

Задача
Найдите с точностью до тысячных квантиль уровня 0.975 для
случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с 4
степенями свободы.

Задача
На пересечении строки соответствующей четырём степеням свободы и
уровню значимости 1 − 0.975 = 0.025 находим t0.975(4) ≈ 2.776.

Задача
На пересечении строки соответствующей четырём степеням свободы и
уровню значимости 1 − 0.975 = 0.025 находим t0.975(4) ≈ 2.776.
two − side 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
one − side 0.050 0.0250 0.0125 0.0050 0.0025 0.0005
k = 1 6.314 12.706 25.452 63.657 127.321 636.619
2 2.920 4.303 6.205 9.925 14.089 31.599
3 2.353 3.182 4.177 5.841 7.453 12.924
4 2.132 2.776 3.495 4.604 5.598 8.610
5 2.015 2.571 3.163 4.032 4.773 6.869

Распределение Фишера
Пусть ξ1, ξ2 — две независимые случайные величины, имеющие
распределение хи-квадрат: ξi ∼ χ2(ki ), где ki ∈ N, i = 1, 2. Тогда
распределение случайной величины
F =
ξ1/k1
ξ2/k2
,
называется распределением Фишера (или Фишера-Снедекора) со
степенями свободы k1 и k2. Пишут F ∼ F(k1, k2).
Важно!
Таблицы составляются отдельно для каждого уровня занчимости! Мы
будем использовать таблицу только для 5-процентных точек или
квантилей уровня 0.95.

F-распределение
•
1
•
2
•
4
•
Fα
x
−0.5
−1
F
//
OO
Замечание
Распределение Фишера не является симметричным.

Критические значения распределения
Распределение Фишера (5%)
k2 k1 = 1 2 3 4 5 6 7 8
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818
6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147
7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726
8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438

Пример
Найдите 5-процентную точку для F(4; 8).

Пример
Решение
Смотрим в строчку для восьми степеней свободы, то есть k2 = 8, и
столбец для k1 = 4. Находим значение 3.838.

Пример
Решение
Смотрим в строчку для восьми степеней свободы, то есть k2 = 8, и
k2 k1 = 1 2 3 4 5 6 7 8
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818
6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147
7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726
8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438

Задача

Задача
Решение
Смотрим в строчку для четырёх степеней свободы, то есть k2 = 4, и

Задача
Решение
Смотрим в строчку для четырёх степеней свободы, то есть k2 = 4, и
k2 k1 = 1 2 3 4 5 6 7 8
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818
6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147
7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726
8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438

Без компьютера было бы чувство неудовлетворенности...
Значения вероятностей всех вышеприведённых распределений зависят
от числа степеней свободы, поэтому подробную таблицу теперь
написать не получится, как для нормального распределения.
Важно!
Вероятности и квантили для рассмотренных распределений найти, как
правило, не получится. Надо использовать компьютер, например,
Excel.
Приведем список функции MS Excel и OpenOﬃce для вычисления
критических значений стандартных распределений с уровнем
значимости α
Распределение MS Excel (Рус) MS Excel (Eng)
Двустор. N(0,1) НОРМСТОБР(1 − α/2) NORMSINV(1 − α/2)
Одностор. N(0,1) НОРМСТОБР(1 − α) NORMSINV(1 − α)
χ2
k (хи-квадрат) ХИ2ОБР(α; k) CHIINV(α; k)
Двустор. tk СТЬЮДРАСПОБР(α; k) TINV(α; k)
Одностороннее tk СТЬЮДРАСПОБР(2α; k) TINV(2α; k)
Фишера Fk1,k2
FРАСПОБР(α; k1; k2) FINV (α; k1; k2)Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Лекции 9. F,t,χ2

Где и что почитать?
Тема. Распределения, связанные с нормальным (распределение
хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера).([И-М],
§7,12-13; [Ф,Л], глава 12).
Фадеева Л. Н., Лебедев А. В., Теория вероятностей и
математическая статистика: учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и
доп. - М.: Эксмо, 2010. - 496 с. – (Новое экономическое
образование).
Ивашев-Мусатов О. С., Теория вероятностей и математическая
статистика: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИМА,
2003. - 224 с.

�ݺ�ߣ

Lecture 9 chi_t_f

Recommended

More Related Content

Viewers also liked (18)

More from Kurbatskiy Alexey (18)

Lecture 9 chi_t_f