�ݺ�ߣ

Лекция 5. Закон распределения дискретной
случайной величины
Курбацкий А. Н.
МШЭ МГУ
6 октября 2016
Курбацкий А. Н. (МШЭ МГУ) Теория вероятностей. Закон распределения 6 октября 2016 1 / 28

Содержание
1 Дискретная случайная величина
2 Числовые характеристики
3 Ковариация и корреляция

Дискретная случайная величина
Определение
Случайная величина называется дискретной, если множество ее
возможных значений конечно или счетно.
Пример
Игральную кость бросают один раз. Определим случайную величину
X как выпавшее число очков. Ясно, что эта случайная величина
дискретна. Она может принимать шесть значений.
Пример
Рассмотрим случайный эксперимент, в котором стрелок стреляет в
мишень до первого попадания. Определим случайную величину X как
число выстрелов до первого попадания. Эта случайная величина
может принимать значения 1 (если попал с первого раза), 2, 3, 4, . . ..
Множество значений этой величины бесконечно, так как стрелок
может вообще не попасть в мишень, но счетно.

Закон распределения
Чтобы полностью описать дискретную случайную величину, надо
указать все её возможные значения и вероятность каждого из них.
Рядом распределения дискретной случайной величины X называется
множество всех её возможных значений и их вероятностей.
Обычно ряд распределения дискретной случайной величины X
записывают в виде таблицы. В первой строке таблицы указывают
значения случайной величины, а во второй строке - их вероятности.
Случайная величина X x1 x2 . . . xn
Вероятность P(X = xn) p1 p2 . . . pn
Важно!
Сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины
равна 1, то есть
n
i=1
pi = 1.

Пример
Задача
В случайном эксперименте монету подбросили 2 раза. Определим
случайную величину X как число выпавших орлов. Найти ряд
распределения X.

Пример
Задача
В случайном эксперименте монету подбросили 2 раза. Определим
случайную величину X как число выпавших орлов. Найти ряд
распределения X.
Решение
Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2. Всего в
этом эксперименте возможны 4 равновероятных исхода: {p, p}, {o, p},
{p, o}, {o, o}. Вероятность каждого исхода 1/4. Следовательно, ряд
распределения X имеет вид:
X 0 1 2
P(X = xn) 1/4 1/2 1/4

Числовые характеристики
При изучении случайных величин возникает необходимость их
"быстрого" описания. Чтобы по одному-двум числам примерно
представить, как она себя ведёт.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины или ее
средним значением называется
E(X) =
n
i=1
xi pi .
Задача
Вычислить математическое ожидание числа выпавших орлов при
двукратном бросании монеты.

Решение
Решение
Ряд распределения этой случайной величины задается таблицей
X 0 1 2
P(X = xn) 1/4 1/2 1/4
Следовательно, E(X) = 0 · 1/4 + 1 · 1/2 + 2 · 1/4 = 1.
Важно!
Математическое ожидание не обязана быть числом, которое
принимает случайная величина! Например, при подбрасывании кубика
математическое ожидание числа выпавших очков равно 3.5.

Свойства математического ожидания
Теорема
Математическое ожидание случайной величины обладает следующими
свойствами:
1 E(C) = C, где - константа;
2 E(aX) = aE(X), где a - константа, а X - случайная величина;
3 E(X + Y ) = E(X) + E(Y );
4 E(XY ) = E(X) · E(Y ), если X и Y независимые случайные
величины.
Задача
Докажите теорему.

Парадоксы
Задача
Заходим в казино и играем в честную игру. Ставим рубль и
подбрасываем монету, если орел, то выиграли, если нет, то удваиваем
ставку. И так до тех пор пока не выпадет орёл. С чем мы уйдём? А
если число ставок ограничить?

Парадоксы
Задача
Заходим в казино и играем в честную игру. Ставим рубль и
подбрасываем монету, если орел, то выиграли, если нет, то удваиваем
ставку. И так до тех пор пока не выпадет орёл. С чем мы уйдём? А
если число ставок ограничить?
Задача
Рассмотрим лотерею, которая даёт право участвовать в таком
эксперименте: бросают монеты до первого появления орла и платят
2n, где n – число решек до появления орла (каждая решка до орла
удваивает ставку). Какова справедливая цена такого билета? Согласны
ли вы заплатить 100 рублей?

Дисперсия случайной величины
Дисперсией дискретной случайной величины называется
D(X) = E(X − E(X))2
.
Важно!
Для расчетов дисперсии более удобна формула
D(X) = E(X2
) − [E(X)]2
.
Задача
Вычислить дисперсию числа выпавших орлов при двукратном
бросании монеты.

Решение
Решение
D(X) = E(X2
) − [E(X)]2
.
Математическое ожидание E(X) = 1 (уже находили). Для вычисления
дисперсии надо уметь вычислять математическое ожидание величины
X2. Ее ряд распределения
X 0 1 4
P(X = xn) 1/4 1/2 1/4
Следовательно, E(X2) = 0 · 1/4 + 1 · 1/2 + 4 · 1/4 = 1.5. Отсюда
D(X) = 1.5 − 12
= 0.5.

Свойства дисперсии
Теорема
1 D(C) = 0, где C - константа;
2 D(aX) = a2D(X), где a - константа;
3 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ), если X и Y - независимые случайные
величины.
4 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2 cov(X, Y ), если X и Y -
произвольные случайные величины, а
cov(X, Y ) = E[(X − E(X)) · (Y − E(Y )] - ковариация двух
случайных величин.
Задача
Докажите теорему.

Среднее арифметическое результата измерений
Задача
Насколько точнее среднее арифметическое результата измерений
некоторой величины, чем результат одного измерения?
Решение
Пусть в одном измерении ξ1 стандартное отклонение равно σ. Тогда у
среднего арифметического дисперсия равна
D
ξ1 + . . . + ξn
n
=
σ + . . . + σ
n2
=
σ
n

Пример на всё (самостоятельно)
Задача
Лотерея предлагает один приз 1500 рублей, два приза 750 рублей, и
десять призов 100 рублей. Продали одну тысячу билетов по 7 рублей
за билет. Записать закон распределения выигрыша. Определите
вероятность выиграть более 100 рублей. Найдите математическое
ожидание выигрыша, если приобретен один билет.

Задача
Подсказку?

Задача
Подсказку?
Решение
Пусть случайная величина X означает чистый выигрыш. Тогда с
вероятностью 1/1000 чистый выигрыш составит X = 1500 − 7 = 1493,
X = 750 − 7 = 743 с вероятностью 2/1000, с вероятностью 10/1000
чистый выигрыш X = 100 − 7 = 93, а с вероятностью 987/1000
теряется 7 рублей, то есть X = −7.

Соц.опрос
Задача
Вы проводите соц.опрос с вопросом ЗА или ПРОТИВ, но респонденты
смущаются говорить правду. Вы предлагаете подкинуть монету. Герб -
говоришь правду, решка - кидаешь ещё монетку(герб - ЗА, решка -
ПРОТИВ). Как восстановить долю тех, кто ЗА?

Соц.опрос
Задача
Вы проводите соц.опрос с вопросом ЗА или ПРОТИВ, но респонденты
смущаются говорить правду. Вы предлагаете подкинуть монету. Герб -
говоришь правду, решка - кидаешь ещё монетку(герб - ЗА, решка -
ПРОТИВ). Как восстановить долю тех, кто ЗА?
Решение
Вы получите p · 0.5 + 0.5 · 0.5, откуда можно выразить p.

Если всё-таки не получилось
Решение
Таким образом, получаем закон распределения
X 1493 743 93 −7
P 0, 001 0, 002 0, 01 0, 987
Выиграть более ста рублей можно в двух случаях: купить билет с
призом 1500 рублей или 750 рублей, поэтому
P(X > 100) = P(X = 1493) + P(X = 743) = 0.001 + 0.002 = 0.003.
Математическое ожидание составляет
EX = 1493 · 0.001 + 743 · 0.002 + 93 · 0.01 − 7 · 0.987 = −3.
Заметим, что проще было бы вычислить математическое ожидание
для выигрыша без вычитания стоимости билета, а после уже вычесть
7 рублей.

Пример из страхования
Задача
Вероятность наступления страхового случая равна 0.01. Размер
ущерба, возникающего в случае, если страховое событие произошло,
имеет распределение
9000 6000 3000
1/12 1/4 2/3
Найти рисковую премию.

Задача
9000 6000 3000
1/12 1/4 2/3
Подсказку?

Задача
9000 6000 3000
1/12 1/4 2/3
Подсказку?
Решение
Надо найти, так называемое, условное математическое ожидание
случайной величины
0 4250
0.99 0.01
, при условии, что страховое
событие произошло.
То есть ответ будет 42.5.

Моменты и центральные моменты
Моментом k-ого порядка случайной величины X называется EXk
Центральным моментом k-ого порядка случайной величины X
называется E(X − EX)k
Пример
Мат.ожидание, дисперсия, асимметрия.

Информационная энтропия
Энтропией системы X называется величина H(X) = −
n
i=1
pi log2 pi .
Задача
Чему равна энтропия при подбрасывании монеты? Кубика?
Обнаружить бракованную деталь, если их 1%? В чём измерить
энтропию?

n
i=1
pi log2 pi .
Задача
энтропию?
Задача
Какое количество информации передаёт нам сообщение, на какое поле
пошёл конь?

n
i=1
pi log2 pi .
Задача
энтропию?
Задача
Какое количество информации передаёт нам сообщение, на какое поле
пошёл конь?
Решение
H(X) = −81
8 log2
1
8 = 3 После хода энтропия полностью исчезает.

Характеристики важных распределений
Теорема
Для геометрического распределения мат.ожидание равно 1
p , дисперсия
q
p2 .
Теорема
Для биномиального распределения мат.ожидание равно np, дисперсия
npq.
Теорема
Для распределения Пуассона мат.ожидание равно λ, дисперсия λ.
Решение
Вспомним матан

Ковариация
В тех случаях, когда случайные величины X и Y зависимы,
представляет интерес сила их взаимосвязи. Для этого используется
понятие ковариации (то есть совместной вариации) двух случайных
величин.
Ковариацией двух случайных величин X и Y называется
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))].
На практике для вычисления cov(X, Y ) чаще используется формула
cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ).
Задача
Докажите её!

Свойства ковариации
Теорема
Если случайные величины X и Y независимы, то cov(X, Y ) = 0;
Пусть X1 = a1 + b1X и Y1 = a2 + b2Y , тогда
cov(X1, Y1) = b1b2 cov(X, Y ).
Задача
Другими словами, величина ковариации между двумя случайными
величинам зависит от их единиц измерения. Это очень неудобно для
интерпретации значения ковариации, как меры связи двух случайных
величин.

Корреляция
Корреляцией двух случайных величин называется:
corr(X, Y ) =
cov(X, Y )
D(X) D(Y )
.

Свойства корреляции
Теорема
Если X и Y независимы, то corr(X, Y ) = 0.
| corr(X, Y )| ≤ 1.
Если corr(X, Y ) = 1, то Y = a + bX, где b > 0.
Если corr(X, Y ) = −1, то Y = a + bX, где b < 0.
Пусть X1 = a1 + b1X и Y1 = a2 + b2Y , тогда
corr(X1, Y1) = corr(X, Y ), если b1 · b2 > 0 и
corr(X1, Y1) = − corr(X, Y ), если b1 · b2 < 0.
Задача

Задача про портфель акций
Задача
Средняя доходность акций Роснефти X равна 0.1, а Газпрома Y равна
0.05. Волатильность для Роснефти составляет σx = 2, а для Газпрома
– σy = 1. В каком отношении составить портфель, чтобы
1) увеличить доходность?
2) уменьшить риск?
А что лучше, взять 2 акции одной компании или по одной двух разных
компаний, считая их волатильности одинаковыми?

Задача про портфель акций
Решение
1) Берём 100% акций Роснефти.
2) Наша задача уменьшить дисперсию портфеля D(aX + (1 − a)Y ),
где a - это доля акций компании Роснефть.
D(aX + (1 − a)Y ) = a2
DX + (1 − a)2
DY + 2a(1 − a) cov(X; Y ) =
= a2
DX + (1 − a)2
DY + 2a(1 − a) corr(X; Y )σx σy =
5a2
− 2a + 1 + (4a − 4a2
) corr(X; Y )
Если corr(X; Y ) = 0, то a = 0.2, то есть берём 20% акций Роснефти и
80% акций Газпрома. Получится средняя доходность 0.06. При
корреляции 0.5 Роснефть не берём вообще a = 0. Если корреляция
равна -1, то берём a = 1/3 и будет нулевая дисперсия портфеля.
3) Лучше по акции разных компаний, дисперсия такого портфеля
будет в 2 раза меньше.

�ݺ�ߣ

Lecture 5 discrete_distribution

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Lecture 5 discrete_distribution (18)

More from Kurbatskiy Alexey (19)

Lecture 5 discrete_distribution