More Related Content
What's hot (20)
Viewers also liked (6)
Similar to Тренировочный вариант экзамена с решением (20)
More from Kurbatskiy Alexey (18)
Тренировочный вариант экзамена с решением
- 1. Математическая статистика ЭКЗАМЕН ФИО, группа задача 1 задача 2 задача 3 задача 4 Сумма баллов ВАРИАНТ 0 1. Теоретический вопрос. • В каких пределах меняется коэффициент корреляции? • О чём говорит равенство выборочного коэффициента корреляции нулю? Еди- нице? • Как понять, близок ли коэффициент корреляции к нулю или нет? 2. Для случайной величины с распределением X 0 1 2 4 P 0, 5 + θ 0, 1 − θ 0, 2 0, 2 получена выборка: 1, 4, 2, 2, 0, 1. а) Выпишите функцию правдоподобия и ее логарифм. б) Вычислите оценку максимального правдоподобия. 3. Пусть студенты университета в начале учебного года сдают предварительное те- стирование, оцениваемое по десятибалльной шкале. Вы предполагаете, что средняя оценка равна 6, и решаете это проверить опросив несколько человек. Получилась следующая выборка: 9, 5, 7, 7, 4, 10. Из наблюдений прошлых лет известно, что дисперсия σ2 = 1. Проверьте гипотезу, что среднее равно 6, на уровне значимости α = 0.01 против односторонних альтернатив µ > 6. Укажите минимальный уровень значимости. 4. Опрос 39 потребителей об отношении к новой рекламе продукта показал, что 23 из них сочли рекламу удачной, трое не смогли определить свое мнение, а осталь- ным она не понравилась. Сформулировать и проверить нулевую гипотезу о том, что большинству реклама понравилась. Найдите минимальный уровень значимости для проверки гипотезы против односторонних альтернатив. Отвергается ли гипотеза при уровне значимости 5%?
- 2. Решения задач 1. На вопрос ответьте самостоятельно. 2. а) Функция правдоподобия имеет вид: L(λ) = P(X = 1) · P(X = 4) · P(X = 2) · P(X = 2) · P(X = 0) · P(X = 1) = = (0.1 − θ)2 (0.2)3 (0.5 + θ). (1) Выпишем натуральный логарифм функции правдоподобия: ln L = ln ( (0.1 − θ)2 (0.2)3 (0.5 + θ) ) И воспользуемся свойствами логарифма: ln L = 2 ln(0.1 − θ) + ln(0.2)3 + ln(0.5 + θ). б) Чтобы найти максимум функции, вычислим производную по параметру θ и приравняем ее к нулю: (ln L)′ = − 2 0.1 − θ + 1 0.5 + θ = 0 ⇒ 1 + 2θ = 0.1 − θ ⇒ θ = −0.3. Остаётся убедиться, что это действительно максимум, для этого проверим до- статочное условие: (ln L)′′ = − 2 (0.1 − θ)2 − 1 (0.5 + θ)2 < 0. 3. • Сформулируем основную и альтернативную гипотезы: H0 : µ = 6; H1 : µ > 6. • Так как известна дисперсия генеральной совокупности, то для проверки гипо- тезы используется статистика z = ¯x−µ0 σ/ √ n . • Критическая область является правосторонней. По таблице нормального рас- пределения находим 1−α = 0.99 и определяем критическое значение zcr = 2.33. Критическая область имеет вид (2.33; +∞). • Вычислим значение статистики критерия. Cреднее значение ¯x = 9+5+7+7+4+10 6 = 7, стандартное отклонение σ = 1. Значение статистики критерия равно z = 7−6 1/ √ 6 ≈ 2.45. • Вывод. Так как z ∈ (2.33; +∞), то основная гипотеза H0 отвергается. • Минимальный уровень значимости, начиная с которого гипотеза отвергается, составляет 1 − z−1 (2.45) ≈ 0.007. Ответ: при данном уровне значимости и такой альтернативе гипотеза отвергается.
- 3. 4. Воспользуемся критерием знаков. Пусть p – это доля тех, кому реклама понравилась. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы: H0 : p = 0.5 H1 : p > 0.5. (a) Сравниваем число плюсов и минусов. S = min{количество 0, количество 1} = min{23, 13} = 13. (b) Вычислим статистику z = 2S + 1 − n √ n = 13 + 1 − 36 √ 36 ≈ −3.67. Обратите внимание, что n = 36, потому что число нулей (т.е. тех, кто не опре- делеился) мы не учитываем. (c) Находим минимальный уровень значимости p − value = z−1 ((−3.67) ≈ 0.000. Так как p − value < 0.05, то основная гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%. Ответ: p − value = z−1 ((−3.67) ≈ 0.000, при данном уровне значимости и такой альтернативе гипотеза отвергается.