�ݺ�ߣ

LOGIKA MATEMATIKA
A. Definisi Logika
Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara
tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak tepat.
B. Proposisi
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false),
tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah
kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value). Jadi proposi adalah “Pernyataan
yang sudah diketahui nilai kebenarannya.”
Contoh : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
C. Proposisi Komposit (Pernyataan Majemuk)
Proposisi komposit adalah pernyataan yang memuat perangkaian yang diperoleh
dari pengkombinasian. Jadi, pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk
dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan
kata penghubung logika.
Macam-macam proposisi majemuk:
1. Konjungsi (𝒑 ∧ 𝒒)
Konjungsi adalah dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "dan".
Simbol: "⋀"
Kata yang dipakai: dan, tetapi, ketika, seandainya, seperti, bahwa, walaupun,
supaya.
Contoh: 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil.
2. Disjungsi (𝒑 ∨ 𝒒)
Disjungsi adalah dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau".
Simbol: " ∨ "
Kata yang dipakai: atau, alias, kalau, apakah, dll.
Contoh: Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di rumah sakit swasta

3. Negasi atau Ingkaran (~𝒑 𝒂𝒕𝒂𝒖 ~𝒒)
Negasi adalah sebuah pernyataan yang bernilai benar, maka negasinya adalah salah
dan begitu pula sebaliknya.
Simbol: "~"
Kata yang dipakai: tidak, bukan, tidak benar,dll.
Contoh: p = Pohon ini tinggi
~𝑝 = Pohon ini 𝐭𝐢𝐝𝐚𝐤 tinggi atau tidak benar bahwa pohon ini tinggi.
4. Implikasi (𝒑 → 𝒒)
Implikasi adalah dua pernyataan yang mengandung bentuk " jika ... maka ..."
Simbol: " → "
Kata yang dipakai: jika p maka q; jika p,q; p mengakibatkan q; q jika p; q bilamana
p; p hanya jika q; q syarat perlu bagi p; p syarat cukup bagi q.
Contoh: Jika air habis maka manusia akan mati.
5. Biimplikasi ( 𝒑 ↔ 𝒒)
Biimplikasi adalah dua pernyataan yang mengandung bentuk " ... jika dan hanya
jika ...".
Simbol: " ↔ "
Kata yang dipakai: p adalah syarat perludan cukup, jika p maka q atau sebaliknya,
piff q.
Contoh: Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup.
D. Tabel Kebenaran
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari
proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.
Misalkan p dan q adalah proposisi:
a. Konjungsi. (𝑝 ∧ 𝑞) bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu
nilainya salah.
b. Disjungsi (𝑝 ∨ 𝑞) bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya
benar.
c. Negasi p (∼ 𝑝) bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p
benar.

d. Implikasi (𝑝 → 𝑞) bernilai salah jika p benar tetapi q salah, selain itu bernilai
benar.
e. Biimplikasi ( 𝑝 ↔ 𝑞) bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai
sama.
Konjungsi Disjungsi Negasi
Implikasi Biimplikasi
E. Varian Proposisi Bersyarat
Ada 3 varian pada implikasi, yaitu :
a. Konvers : 𝑞 → 𝑝
b. Invers : ~𝑝 → ~𝑞
c. Kontraposisi : ~𝑞 → ~𝑝
Dari tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran p  q sama dengan nilai
kebenaran ~q  ~p. Begitu pula nilai kebenaran q  p sama dengan nilai
kebenaran ~p  ~q. Tabel kebenaran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut
seperti di bawah ini:
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q ~p ~q p  q q  p ~p  ~q ~q  ~p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B

F. Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi
Berikut definisi dari tautology, kontradiksi, dan kontingensi.
1. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
2. Kontradiksi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua
kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya.
3. Kontingensi adalah suatu proporsi majemuk yang bukan termasuk tautologi dan
bukan juga kontradiksi.
G. Ekivalen Logika (≡)
Ekivalen adalah jika dua pernyataan majemuk mempunyai nilai kebenaran yang
sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-
komponennya.
Contoh: Tunjukkan bahwa: ~ (p v q) ≡ (~ p ʌ ~ q)
p q ~p ~q p v q ~(p v q) (~p ʌ ~q)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B
Jadi: Pernyataan tersebut benar , karena ~(p v q) ≡ (~p ʌ ~q).
H. Hukum Proposisi
Hukum proposisi bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi.
1. Hukum Identitas
𝑝 ∨ 𝑆 ≡ 𝑝
𝑝 ∧ 𝐵 ≡ 𝑝
6. Hukum Absorpsi
𝑝 ∨ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
2. Hukum Null (Dominisasi)
𝑝 ∧ 𝑆 ≡ 𝑆
𝑝 ∨ 𝐵 ≡ 𝐵
7. Hukum Komutatif
𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝
𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
3. Hukum Negasi
𝑝 ∧∼ 𝑝 ≡ 𝑆
𝑝 ∨∼ 𝑝 ≡ 𝐵
8. Hukum Asosiatif
𝑝 ∨ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟
𝑝 ∧ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟
4. Hukum Idempoten
𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
9. Hukum Distributif
𝑝 ∨ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
𝑝 ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
5. Hukum Involusi
~(~𝑝) ≡ 𝑝
10. Hukum De Morgan
∼ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
∼ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞

I. Inferensi (Penarikan Kesimpulan)
Interferensi (inference) adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa
proposisi.
1. Modus Ponen
𝑝 → 𝑞
𝑝
∴ 𝑞
6. Penjumlahan
𝑝
∴ 𝑝 ∨ 𝑞
2. Modus Tollen
𝑝 → 𝑞
~𝑞
∴ ~𝑝
7. Konjungsi
𝑝
𝑞
∴ 𝑝 ∧ 𝑞
3. Silogisme Hipotesis
𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
∴ 𝑝 → 𝑟
8. Absorbi
𝑝 → 𝑞
∴ 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞)
4. Silogisme Disjungsi
𝑝 ∨ 𝑞
~𝑝
∴ 𝑞
9. Dilema Konstruktif
( 𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑟 → 𝑡)
∴ 𝑝∨ 𝑡
5. Simplikasi (Penyederhanaan)
𝑝 ∧ 𝑞
∴ 𝑝
10. Dilema Distruktif
( 𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑟 → 𝑡)
~ 𝑞 ∨ ∼ 𝑟
∴ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑟
J. Kuantor
Kuantor adalah kalimat terbuka yang dibubuhkan dengan kata atau ucapan,
sehingga kalimat tersebut menjadi tertutup. Kuantor terbagi dua, yaitu:
1. Kuantor Universal (∀)
Pernyataan kuantor universal “Semua A adalah B” ekuivalen dengan pernyataan
implikasi “Jika 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 ∈ 𝐵".
Simbol : ∀ (dibaca: untuk semua atau untuk setiap)
Contoh : “Semua penjahat memakai topeng”, ekuivalen dengan
“Jika x seorang penjahat, maka x memakai topeng”.
Misalkan p(x) adalah sebuah kaliamat terbuka, maka untuk menyatakan
penyelesaian dari p(x) pada himpunan semesta S dituliskan sebagai berikut:
∀ 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵

2. Kuantor Eksistensial (∃)
Pernyataan berkuantor eksistensial “ Beberapa A adalah B” ekuivalen dengan
“Sekurang-kurangnya ada sebuah 𝑥 ∈ A yang merupakan ∈ 𝐵".
Simbol : ∃ (dibaca: ada atau beberapa)
Tanda : terdapat, ada, beberapa, sekurang – kurangnya .
Contoh : “Beberapa kuda berwarna coklat”, ekuivalen dengan
“Sekurang-kuranganya ada seekor kuda yang berwarna coklat”.
K. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor
1. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan
berkuantor eksistensial.
Notasi :
Dibaca: ingkaran dari” untuk semua x yang berlaku p(x)” ekuivalen dengan “ada x
yang bukan p(x)”.
Contoh:
Diketahui: p = “ Semua bilangan prima adalah bilangan asli”
Tentukan : ~𝑝 serta nilai kebenarannya.
Jawab : ~𝑝 = “Beberapa biangan prima bukan bilangan asli”
~𝑝 bernilai salah.
∀𝑥, 𝑝(𝑥)
dibaca: untuk semua x berlakulah p(x)
atau
∀𝑥 ∈ 𝑆, 𝑝(𝑥)
dibaca: untuk semua x anggota S berlakulah p(x)
∃𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵
~[∀𝑥, 𝑝( 𝑥)] ≡ ∃𝑥, ~𝑝(𝑥)

2. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial
Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan
berkuantor universal.
Notasi :
Dibaca : ingkaran dari “ada x berlaku p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x
bukan p(x)”.
Contoh:
Diketahui: p = “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”
Tentukan : ~𝑝 serta nilai kebenarannya.
Jawab : ~𝑝 = “Semua bilangan prima bukan bilangan genap”, atau
~𝑝 = “Tidak ada (tiada) bilangan prima yang bilangan genap”, atau
~𝑝 = “Jika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan genap”.
Jadi, jelas bahwa ~𝑝 bernilai salah.
~[∃𝑥, 𝑝( 𝑥)] ≡ ∀𝑥, ~𝑝(𝑥)

DAFTAR PUSTAKA
Buku Catatan PDM (Pendidikan Dasar Matematika) Semester I
Munir, Rinaldi. 2014. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika Bandung.
Wirodikrotomo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 1untuk kelas X. Jakarta:
Erlangga.
http://achieve-ourdreams.blogspot.co.id/2012/05/makalah-logikamatematika.html
http://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.html
http://rumus-matematika.com/logika-matematika/

�ݺ�ߣ

Materi Logika Matematika

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Materi Logika Matematika (20)

More from siska sri asali (20)

Recently uploaded (20)

Materi Logika Matematika