�ݺ�ߣ

Prinsip Maksimum pada Persamaan
Difusi
 Misalkan 𝑢 adalah solusi dari  Bukti
persamaan difusi 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑢 𝑥𝑥 = 0
pada 𝑅 = 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 𝑡 > 0 , maka
maksimum dari 𝑢 berada pada
𝑥 = 0 atau 𝑥 = 𝑙 atau 𝑡 = 0.

Keunikan Solusi

 Perhatikan persamaan difusi  Sedangkan dari prinsip maksimum
dengan kondisia awal dan kondisi dikatehui bahwa maksimum 𝑤
batas berikut haruslah berada pada salah satu
dari ketiga sisi 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 𝑙 atau
 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑢 𝑥𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑡 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 𝑡 > 0 𝑡 = 0.
 𝑢 𝑥, 0 = 𝜙(𝑥)  Karena pada ketiga sisi tersebut 𝑤
bernilai nol, maka
 𝑢 0, 𝑡 = 𝑔 𝑡 , 𝑢 𝑙, 𝑡 = ℎ 𝑡
 Misalkan 𝑢1 dan 𝑢2 adalah solusi  0 ≤ 𝑤 𝑥, 𝑡 ≤ 0, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 𝑡 ≥ 0
persamaan panas diatas, maka 𝑤 =  𝑤 𝑥, 𝑡 = 0
𝑢1 − 𝑢2 juga merupakan solusi yang
memenuhi kondisi batas berikut  Poin diatas mengakibatkan
 𝑤 𝑡 − 𝑘𝑤 𝑥𝑥 = 0  𝑢1 − 𝑢2 = 0 atau 𝑢1 = 𝑢2

 𝑤 𝑥, 0 = 𝑢1 𝑥, 0 − 𝑢2 𝑥, 0 = 0
 Hal tersebut membuktikan bahwa
solusi dari persamaan panas
 𝑤 0, 𝑡 = 𝑢1 0, 𝑡 − 𝑢2 0, 𝑡 = 0 dengan kondisi dirichlet mempunyai
solusi yang tunggal.
 𝑤 𝑙, 𝑡 = 𝑢1 𝑙, 𝑡 − 𝑢2 𝑙, 𝑡 = 0

Keunikan Solusi (Metode Energy)

 Diberikan persamaan panas  Dari persamaan panas dari 𝑤, kalikan
dengan kondisi batas dan kondisi dengan 𝑤, yaitu
awal sebagai berikut  𝑤 𝑡 − 𝑘𝑤 𝑥𝑥 𝑤 = 0
 𝑢 𝑡 − 𝑘𝑢 𝑥𝑥 = 0, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 𝑡 > 0  𝑤 𝑡 𝑤 − 𝑘𝑤 𝑥𝑥 𝑤 = 0
 𝑢 0, 𝑡 = 𝑔 𝑡 , 𝑢 𝑙, 𝑡 = ℎ 𝑡 1
 𝑤2 − 𝑘 𝑤𝑥 𝑤 𝑥 + 𝑘𝑤 2 = 0
𝑥
2 𝑡
 𝑢 𝑥, 0 = 𝜙 𝑥
𝑙 1 𝑙 𝑙
 Misalkan 𝑢1 dan 𝑢2 keduanya juga 
0 2
𝑤2 𝑑𝑥 − 0
𝑘 𝑤𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 + 0
𝑘𝑤 2 𝑑𝑥 = 0
𝑥
𝑡
solusi yang memenuhi kondisi batas 𝑙 1 𝑙
 𝑤2 𝑑𝑥 + 𝑘𝑤 2 𝑑𝑥 = 0
di atas. Dan 𝑤 = 𝑢1 − 𝑢2 juga solusi, 0 2 𝑡 0 𝑥

dan memenuhi syarat yang ada 𝑙 1 𝑙

0 2
𝑤2 𝑑𝑥 = − 0
𝑘𝑤 2 𝑑𝑥
𝑥
𝑡
 𝑤 0, 𝑡 = 𝑢1 0, 𝑡 − 𝑢2 0, 𝑡 = 0
𝑑 𝑙1 𝑙
 𝑤 𝑙, 𝑡 = 𝑢1 𝑙, 𝑡 − 𝑢2 𝑙, 𝑡 = 0  𝑤 2 𝑑𝑥 = − 𝑘𝑤 2 𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑡 0 2 0

 𝑤 𝑥, 0 = 𝑢1 𝑥, 0 − 𝑢2 𝑥, 0 = 0

 Dari persamaan terakhir pada  Dalam hal syarat awal berbeda, yaitu
halaman sebelumnya diperoleh
𝑙  𝑢1 𝑥, 0 = 𝜙1 𝑥 dan 𝑢2 𝑥, 0 = 𝜙2 𝑥
bahwa 0 𝑤 𝑥, 𝑡 2 𝑑𝑥 selalu monoton
turun dalam 𝑡.  Maka diperoleh
𝑙 𝑙
2
 Artinya 𝑤 𝑥, 𝑡 2
𝑑𝑥 = 𝑢1 𝑥, 𝑡 − 𝑢2 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥
𝑙 𝑙
2 2 0 0
𝑤 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥 ≤ 𝑤 𝑥, 0 𝑑𝑥 = 0 𝑙
0 0 2
≤ 𝑢1 𝑥, 0 − 𝑢2 𝑥, 0 𝑑𝑥
 Hal tersebut diatas hanya mungkin 0
dipenuhi oleh 𝑙
2
𝑤 𝑥, 𝑡 = 0 = 𝜙1 𝑥 − 𝜙2 𝑥 𝑑𝑥
0
 Yang mengakibatkan 𝑢1 − 𝑢2 = 0, atau
𝑢1 = 𝑢2  Hal diatas mengatakan bahwa kedekatan
syarat awal yang diberikan berakibat pada
kedekatas solusi yang dihasilkan

�ݺ�ߣ

Persamaan panas

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Persamaan panas (20)

Persamaan panas