More Related Content
What's hot (20)
Similar to Ringkasan pencerminan1 (20)
Recently uploaded (20)
Ringkasan pencerminan1
- 1. RINGKASAN MATERI PENCERMINAN Definisi: Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut: a. jika P s maka Ms (P) = P b. jika P s maka Ms (P) = P sehingga garis s adalah sumbu 'PP . Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu pencerminan / singkat cermin. Teorema Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. Bukti: Ms: V V I. Akan dibuktikan Ms surjektif. Ambil Sebarang )('' XMsXVX 緒э . Menurut definisi jika SX maka XXXMs 緒 ')( Jadi SXXMsXXVX 緒緒わ ),(',' )(',' XMsXXVX 緒緒わ dengan S sumbu XX Jadi Ms surjektif. II. Akan dibuktikan Ms injektif. Kasus 1 Misalkan 21 AA Untuk SA 1 maka 111 ')( AAAMs 緒 . SA 2 maka 222 ')( AAAMs 緒 Jadi '' 21 AA Kasus 2 Ambil SASA 21 , maka
- 2. S A = A i). 111 ')( AAAMs 緒 ii). ,')( 222 AAMsA 緒 yakni S sumbu dari '22 AA . Karena SA 1 dan SA 2 maka '' 21 AA Kasus 3 Untuk '',, 212121 AAAASASA 刻刻 Andaikan )()( 21 AMsAMs . Maka dipenuhi : '11 AA adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya SAA '11 . '22 AA adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya SAA '22 . Andaikan 21 AA , maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang tegak lurus terhadap garis sumbu S yang melalui titik yang sama. Artinya jika )()( 21 AMsAMs maka haruslah 21 AA . Padahal diketahui 21 AA . Jadi haruslah )()( 2121 AMsAMsAA 刻 . Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. Definisi: Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku PQ = PQ dengan P = T(P) dan Q = T(Q). Teorema: Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri. Jadi kalau A = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = AB. Bukti: Ambil Semarang A, B, A, B V dengan Ms(A) = A dan Ms(B) = B. Akan ditunjukkan AB = AB. Kasus I Jika A, B S maka Ms(A) = A = A dan Ms(B) = B = B. Jadi AB = AB Ms(A)Ms(B) = AB. Kasus II
- 3. Jika A S, B S dan Ms(A) = A = A dan Ms (B) = B Akan ditunjukkan AB = AB Perhatikan CABABC '& AC = AC (berimpit) 'ACBmABCm 緒 (karena siku-siku) BC = BC (karena S sumbu simetri) Menurut teorema karena CABABC '& mempunyai sifat S Sd S yang sama, maka CABABC ' . Jadi AB = AB. Kasus III Jika A, B S dan Ms(A) = A, Ms(B) = B. Akan ditunjukkan AB = AB Perhatikan DCBBDC '& . DC = DC (berimpit) 'DCBmDCBm 緒 (karena siku-siku) BC = BC (karena S sumbu simetri) Menurut teorema karena DCBBDC '& mempunyai sifat S Sd S yang sama maka DCBBDC ' . Jadi BD = BD dan DCBmBDCm '緒 . Karena DCBmBDCm '緒 dan DCAmADCm '緒 (900 ) Maka '' '90 90 0 0 DBAmABDm DCBmADBm BDCmADBm 緒 緒 緒 Perhatikan ADBBAD '& AD = AD (berimpit) DBAmADBm '緒 (dari pernyataan 1) DB = DB (diketahui) Menurut teorema karena ADBBAD '& mempunyai sifat S Sd S yang sama maka ADBBAD ' . Jadi AB = AB. C A S A BB
- 4. SOAL LATIHAN 1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B). A B Mg(A) = B dan Mg(B) = A 2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B! Diket : A (1,3), B (-2,-1) Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B Jawab : Persamaan garis AB 0534 4493 )1(4)3(3 12 1 31 3 12 1 12 1 緒 緒 緒 yx xy xy xy xx xx yy yy Gradien m = 3 4 Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = - 4 3 Titik tengah AB = )1, 2 1 ( 2 )2,1( 2 )1,2()3,1( Persamaan garis yang melalui )1, 2 1 ( dengan m = 3 adalah y y1 = m (x x1) y 1 = - 4 3 (x + 2 1 ) X1 -1 -1-2 1 2 3 Y
- 5. y = - 4 3 x - 8 3 + 1 y = - 4 3 x + 8 5 8y + 6x 5 = 0 6x - 8y 5 = 0 Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y 5 = 0 3. Diketahui: g = -3x, yx Ditanya: a. Mg(A), bila A(2,1). b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . . c. P(x,y), maka Mg(P) = . . . Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B (-3,1) adalah titik tengah 'AA , Maka (-3,1) = 緒 2 1 , 2 2 2 , 2 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas )2,2(2,6 '' AA yx 緒 1,8, '' AA yx Jadi A = (-8,1) b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7. D(-3,7) adalah titik tengah 'AA , Maka (-3,7) = 緒 2 7 , 2 1 2 , 2 '' CCCCCC yxyyxx Jelas )7,1(14,6 緒 CC yx 7,5, CC yx Jadi C = (-5,7) c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.
- 6. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (-3, yp) = 件 э 2 , 2 '' pppp yyxx pppp ppppp yxyx yyxxy ,6, ),(2,6 ' '' 緒 緒 Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (-6 x,y). 4. Diketahui g = 2y, yx Ditanya: a. Jika A = 2,3 , tentukan A = Mg(A). b. Jika D = (2,-4), tentukan prapeta D oleh Mg. c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P) Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3. Misal B (3,2) adalah titik tengah 'AA , Maka (3,2) = 緒 2 2 , 2 3 2 , 2 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas )2,3(4,6 '' AA yx 24,3, '' AA yx Jadi A = (3, 24 ) b. Persamaan garis yang melalui D = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2. Misal C(2,2) adalah titik tengah 'DD , Maka (2,2) = 緒 2 )4( , 2 2 2 , 2 '' DDDDDD yxyyxx Jelas )4,2(4,4 DD yx 8,2, DD yx Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
- 7. Jelas Q = (xQ, 2) = 件 э 2 , 2 '' pppp yyxx pppp ppppp pppp p yxyx yyxxx yyxx x 緒 緒 緒 4,, ,4,2 ) 2 , 2 (2, '' '' Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (-x, 4 - y). 5. Diketahui h = xy, yx Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A = Mh(A). b. Jika D = (2,-4), tentukan prapeta dari B oleh Mh. c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P) Jawab: a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1 Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah 1 32 )2(13 )( 11 緒 緒 xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = x dan y = -x 1 dengan mensubstitusikannya. y = y x = -x 1 2x = -1 x = - 2 1 substitusikan x = - 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = - 2 1 . Jadi titik tengah 'AA (- 2 1 ,- 2 1 ).
- 8. Jelas (- 2 1 ,- 2 1 ) titik tengah 'AA , maka 緒 緒 2 3 , 2 2 2 , 22 1 , 2 1 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas )3,2(1,1 '' AA yx 緒 2,3, '' AA yx Jadi A = (-3,2) b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1 Maka persamaan garis yang melalui B(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah 2 53 )3(15 )( 11 緒 緒 xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi. y = y x = -x + 2 2x = 2 x = 1 substitusikan x = 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 1. Jadi titik tengah 'BB (1,1). Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka 緒 2 5 , 2 )3( 2 , 2 1,1 '' BBBBBB yxyyxx Jelas )5,3(2,2 BB yx 3,5, '' AA yx Jadi A = (5,-3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah pp pp yxxy xxmyy 緒 )( Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
- 9. Jelas Q = (xQ, yQ) = 件 э 2 , 2 '' pppp yyxx QpQppp ppppQQ yyxxyx yyxxyx 2,2, ),(2,2 '' '' 緒 緒 Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (x 2xQ, y 2yQ). 6. Diketahui k = 0yx, 緒yx Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A = Mk(A). b. Jika D = (2,-4), tentukan prapeta dari B oleh Mk. c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P) Jawab: a. Dicari gradien garis k xyyx 緒緒 0 Jadi mk = -1 Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah 5 32 )2(13 )( 11 緒 緒 xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi. y = y -x = x 5 2x = 5 x = 2 5 substitusikan x = 2 5 ke persamaan y = -x diperoleh y = - 2 5 . Jadi titik potongnya ( 2 5 , - 2 5 ) Karena ( 2 5 , - 2 5 ) titik tengah 'AA , maka
- 10. 緒 緒削 2 3 , 2 2 2 , 22 5 , 2 5 '''' AAAAAA yxyyxx Jelas )3,2(5,5 '' AA yx 緒 2,3, '' AA yx Jadi A = (3,-2) b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1 Maka persamaan garis yang melalui B(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 8 53 )3(15 )( 11 緒 緒 xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi. y = y -x = x + 8 2x = -8 x = -4 substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x diperoleh y = 4. Jadi titik potongnya (-4,4). Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka 緒 緒 2 5 , 2 )3( 2 , 2 4,4 '' BBBBBB yxyyxx Jelas )5,3(8,8 緒 BB yx 3,5, '' AA yx Jadi A = (-5, 3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah pp pp yxxy xxmyy 緒 )( Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
- 11. Jelas Q = (xQ, yQ) = 件 э 2 , 2 '' pppp yyxx QpQppp ppppQQ yyxxyx yyxxyx 2,2, ),(2,2 '' '' 緒 緒 Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (x 2xQ, y 2yQ). 7. Diketahui g = 1yx, 緒yx Ditanya: a. Mg(0) b. Mg(A) dengan A(1,2). c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P. Jawab: a. Dipunyai g = 1yx, 緒yx , dari x + y = 1 y = 1 x. Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1 Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah xy xy xxmyy 緒 緒 )0(10 )( 11 Jadi xyh 緒 Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu y = y 1 x = x 2x = 1 x = 2 1 substitusikan x = 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 2 1 . Jadi titik potongnya ( 2 1 , 2 1 )
- 12. Karena ( 2 1 , 2 1 ) titik tengah 'OO , maka 緒 緒 2 0 , 2 0 2 , 22 1 , 2 1 '0'0'00'00 yxyyxx Jelas ),(1,1 '0'0 yx 1,1, '0'0 yx Jadi Mg(O) = (1,1) b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 1 12 )1(12 )( 11 緒 緒 xy xy xy xxmyy Jadi xyh 緒 +1 Mencari perpotongan g dengan h. y = y 1 - x = x + 1 2x = 0 x = 0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 1. Jadi titik potongnya (0,1). Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka 緒 2 2 , 2 1 2 , 2 1,0 '''' BBoooo yxyyxx Jelas )2,1(2.0 '' oo yx 0,1, ' oo yx Jadi A = (-1,0) c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1yx, 緒yx Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP Diperoleh x + y = 1 01)1(1 緒緒緒 xxxyx
- 13. Dan y = 0 + 1 = 1 Jadi Mg(P) = (0,1). 8. Diketahui g = 013y-x, 緒yx , dan A (2,k). Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A Jawab : Dipunyai x 3y +1 = 0, Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g. Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk x = 2 maka x 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1 Jadi nilai k = 1. 9. Diketahui k = 013-ax, 緒yyx , B = (3,-1) Tentukan a apabila Mk(B) = B! Karena Mk(B) = B, maka B = (3,-1) terletak pada garis k. Diperoleh a.3 3(-1) + 1 = 0 3a +3 +1 = 0 3a = - 4 a = - 3 4 Jadi nilai a = - 3 4 . 10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3) P = (x, y) V Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri? Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri. Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1P2 = P1P2 Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2) T(P1) = P1 = (x1-5, y1+3) T(P2) = P2 = (x2-5, y2+3) 2 12 2 1221P yyxxP 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 ''P )3355''P )3()3()5()5(''P ''''''P yyxxP yyxxP yyxxP yyxxP
- 14. Maka P1P2 = P1P2. karena P1P2 = P1P2, maka T suatu isometri.