ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

τι υπάρχει πίσω από την κουρτίνα;

•
•
J
jpapoglou
1 of 39
Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας «Τα Μαθηματικά είναι το πρόσχημα» Γυμνασίου Σούδας 2012-2013
Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας «Τα Μαθηματικά είναι το πρόσχημα» Γυμνασίου Σούδας 2012-2013 Τι υπάρχει πίσω από την κουρτίνα; (Εικασία – Απόδειξη – Θεώρημα) Παρουσίαση: Παπόγλου Γιάννης
Υποθέσεις - Θεωρήματα  Τα μαθηματικά που διδασκόμαστε στο σχολείο και στο Πανεπιστήμιο, αποτελούνται συνήθως από ορισμούς, θεωρήματα και αποδείξεις που μας «σερβίρονται» έτοιμες. Στα μαθηματικά, όπως και στις άλλες επιστήμες κάνουμε υποθέσεις. Όταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αληθής, τότε την ονομάζουμε θεώρημα ή πρόταση.  Η πιο ενδιαφέρουσα πλευρά των μαθηματικών είναι όταν εξερευνούμε τα σύνορα της γνώσης. Εκεί πρέπει να κάνουμε υποθέσεις και μετά να τις αποδείξουμε ή να τις καταρρίψουμε. Υπόθεση Απόδειξη Θεώρημα
Υποθέσεις - Εικασίες Πολλές φορές, όταν δεν μπορούμε να αποδείξουμε μια υπόθεση, την αναθεωρούμε. Άλλες φορές, όταν καταφέρνουμε να αποδείξουμε μια υπόθεση, η ίδια η υπόθεση, μας βοηθάει να γενικεύσουμε την πρόταση.
Τι είναι μια Εικασία;  Μία υπόθεση που δεν μπορούμε να την καταρρίψουμε ή να την αποδείξουμε την αποκαλούμε εικασία.  Οι εικασίες είναι η κινητήρια δύναμη των Μαθηματικών. Προσπαθώντας να αποδείξουμε εικασίες αναγκαζόμαστε να ανακαλύψουμε νέες θεωρίες και τεχνικές.
Διάσημες Εικασίες Η Εικασία του Catalan 2 =8 3 3 =9 2 Ο Catalan διατύπωσε την εικασία 150 χρόνια πριν, ότι αυτές ήταν και οι μόνες θετικές διαδοχικές δυνάμεις. Η εικασία αποδείχθηκε ορθή στις 18 Απριλίου 2002 από τον αριθμοθεωρίστα Preda Mihailescu.
Διάσημες Εικασίες Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Το θεώρημα του Fermat είναι ίσως η πιο γνωστή εικασία. Η εξίσωση x n + y n = z n δεν έχει λύση για μη μηδενικούς ακεραίους x, y και z και για ακέραιο n>2. Προτάθηκε από τον Pierre Fermat τον 17ο αιώνα και αποδείχθηκε από τον Andrew Wiles το 1995.
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστή με τέσσερα χρώματα έτσι ώστε γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώματα.  Η υπόθεση αυτή προτάθηκε πριν από 130 χρόνια. Αποδείχτηκε τελικά το 1976 από τους Kenneth Appel και Wolfgang Haken. Η απόδειξη βασίζετε στον έλεγχο 1936 περιπτώσεων και η κάθε περίπτωση απαιτεί τον έλεγχο πολλών λογικών συνδυασμών. Μόνο με την βοήθεια υπολογιστή μπορεί να ελεγχθούν όλες οι περιπτώσεις. Παραμένει ανοιχτό αν υπάρχει σύντομη απόδειξη, που δεν απαιτεί τεράστια υπολογιστική ικανότητα.
Διάσημες Εικασίες Η Υπόθεση του Riemann Η υπόθεση του Riemann σχετίζεται άμεσα με την πυκνότητα των πρώτων αριθμών. Πόσοι πρώτοι αριθμοί είναι μικρότεροι από 1000; Από n; Έχει προταθεί εδώ και 150 χρόνια περίπου και ακόμα δεν έχει αποδειχθεί ούτε καταρριφθεί.
Ας κάνουμε τις δικές μας Εικασίες …MAGIC
Υπόθεση – Κατάρριψη Ας παρατηρήσουμε τους αριθμούς της μορφής: n2-n+41 Για n=1,2,3,… θα έχουμε: 41, 43, 47, 53, …  Όλοι οι παραπάνω αριθμοί είναι πρώτοι.  Υπόθεση: Για κάθε φυσικό αριθμό n ο αριθμός n2-n+41 είναι πρώτος. Δοκιμάζοντας πολλές τιμές για το n, διαπιστώνουμε ότι η υπόθεση δεν ισχύει. Ισχύει για n=1,2,3,…40, αλλά για n=41 έχουμε 412-41+41που προφανώς διαιρείτε με το 41.
…και η διαίσθηση του Euler κάνει λάθη ▪ Εικασία του Euler Ο Euler ισχυριζόταν ότι η εξίσωση x4 + y4 + z4 = w4 δεν έχει ακέραιες λύσεις για n ≥ 4 . O επί 4 φορές νικητής του φημισμένου μαθηματικού διαγωνισμού Putman και χρυσός Ολυμπιονίκης στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (1981) σε ηλικία 14 ετών (perfect score), Noam Elkies, το 1987 έλυσε την εξίσωση για n = 4 . Απέδειξε ότι : 26824404 + 15465394 + 18797604 = 206156734 και μάλιστα απέδειξε ότι η εξίσωση x4 + y4 + z4 = w4 έχει άπειρες λύσεις . Λίγο αργότερα το 1988 , ο Roger Frye βρήκε μία μικρότερη λύση της εξίσωσης αποδεικνύοντας ότι : 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 .
….ασχολούμαστε διότι… Αν και τέτοια θέματα φαίνεται να μην έχουν εφαρμογές πολλές φορές η ανάπτυξη της τεχνολογίας μεταφέρει τέτοια ¨θεωρητικά¨ θέματα στο πεδίο των εφαρμογών. Για παράδειγμα, η υπόθεση Riemann έχει άμεση σχέση με την κρυπτογραφία βλ. κωδικοί τραπεζικών καρτών, ηλεκτρονικές συναλλαγές κ.α.
Christian Goldbach 1690-1764 Γεννήθηκε στο σημερινό Kaliningrad (Königsberg) το 1690 και πέθανε στη Μόσχα το 1764.
Christian Goldbach Ο Goldbach ήταν ένας απλά καλός Μαθηματικός. • 1725 Καθηγητής Μαθηματικών στην Ακαδημία Επιστημών στο St. Petersburg • 1728 δάσκαλος του νεαρού αυτοκράτορα της Ρωσίας • 1740 Σύμβουλος στο Υπουργείο Εξωτερικών
Εικασία του Goldbach Η εικασία του Goldabch διατυπώθηκε το 1742 σε ένα γράμμα που έστειλε ο Goldbach στον Euler (1727-1783).
(1727: ανέλαβε καθήκοντα στο St. Petersburg) Leonhard Euler 1707 - 1783
Γράμμα Goldbach προς Euler (1742)
Εικασία του Goldbach Κάθε άρτιος ακέραιος >2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων Ο Σκεπτόμενος – Auguste Rodin
Εικασία του Goldbach
Εικασία του Goldbach Ισοδύναμη Κάθε ακέραιος >5 είναι το άθροισμα τριών πρώτων αριθμών
Εικασία του Goldbach Όριο (2008) για το οποίο έχει ελεγχθεί η εικασία 12 ×10 17
Η «αδύναμη» εικασία του Goldbach Για περιττούς αριθμούς: Κάθε περιττός ακέραιος >5 είναι το άθροισμα τριών πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα: 35 = 19 + 13 + 3 ή 77 = 53 + 13 + 11
Η «αδύναμη» εικασία του Goldbach Το περιοδικό Scientific American, ανακοινώνει ότι ο μαθηματικός από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια Terence Tao, βραβευμένος με το Μετάλιο Fields, βρίσκεται κοντά στην απόδειξη της «δεύτερης», γνωστής ως «αδύναμης», εικασίας του Γκόλντμπαχ.
Εικασία του Goldbach Οι Faber & Faber προσέφεραν 1,000,000$ για όποιον λύσει την εικασία ανάμεσα στις 20 Μαρτίου 2000 και 20 Μαρτίου 2002 αλλά η εικασία δεν έχει ακόμα αποδειχθεί...
Ο Θείος Πέτρος και η Εικασία του Goldbach Απόστολος Δοξιάδης Βιβλίο προς συζήτηση
Βιβλιογραφία «Μαθήματα πληροφορικής», Ηλίας Κουτσουπιάς Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστημίου Αθηνών Wikipedia στο λήμμα ¨Η Εικασία του Γκόλντμπαχ¨ Blog: Διασκεδαστικά Μαθηματικά «ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ», Συζητήσεις + Σκέψεις  Παρουσίαση από τον συγγραφέα Τεύκρο Μιχαηλίδη του Βιβλίου «Τα Τέσσερα χρώματα του Καλοκαιριού». Τα κόμικ είναι από το βιβλίο Logicomix του Απ. Δοξιάδη
Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας «Τα Μαθηματικά είναι το πρόσχημα» Γυμνασίου Σούδας 2012-2013

More Related Content

τι υπάρχει πίσω από την κουρτίνα;

  • 1. Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας «Τα Μαθηματικά είναι το πρόσχημα» Γυμνασίου Σούδας 2012-2013
  • 2. Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας «Τα Μαθηματικά είναι το πρόσχημα» Γυμνασίου Σούδας 2012-2013 Τι υπάρχει πίσω από την κουρτίνα; (Εικασία – Απόδειξη – Θεώρημα) Παρουσίαση: Παπόγλου Γιάννης
  • 3. Υποθέσεις - Θεωρήματα  Τα μαθηματικά που διδασκόμαστε στο σχολείο και στο Πανεπιστήμιο, αποτελούνται συνήθως από ορισμούς, θεωρήματα και αποδείξεις που μας «σερβίρονται» έτοιμες. Στα μαθηματικά, όπως και στις άλλες επιστήμες κάνουμε υποθέσεις. Όταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αληθής, τότε την ονομάζουμε θεώρημα ή πρόταση.  Η πιο ενδιαφέρουσα πλευρά των μαθηματικών είναι όταν εξερευνούμε τα σύνορα της γνώσης. Εκεί πρέπει να κάνουμε υποθέσεις και μετά να τις αποδείξουμε ή να τις καταρρίψουμε. Υπόθεση Απόδειξη Θεώρημα
  • 4. Υποθέσεις - Εικασίες Πολλές φορές, όταν δεν μπορούμε να αποδείξουμε μια υπόθεση, την αναθεωρούμε. Άλλες φορές, όταν καταφέρνουμε να αποδείξουμε μια υπόθεση, η ίδια η υπόθεση, μας βοηθάει να γενικεύσουμε την πρόταση.
  • 5. Τι είναι μια Εικασία;  Μία υπόθεση που δεν μπορούμε να την καταρρίψουμε ή να την αποδείξουμε την αποκαλούμε εικασία.  Οι εικασίες είναι η κινητήρια δύναμη των Μαθηματικών. Προσπαθώντας να αποδείξουμε εικασίες αναγκαζόμαστε να ανακαλύψουμε νέες θεωρίες και τεχνικές.
  • 6. Διάσημες Εικασίες Η Εικασία του Catalan 2 =8 3 3 =9 2 Ο Catalan διατύπωσε την εικασία 150 χρόνια πριν, ότι αυτές ήταν και οι μόνες θετικές διαδοχικές δυνάμεις. Η εικασία αποδείχθηκε ορθή στις 18 Απριλίου 2002 από τον αριθμοθεωρίστα Preda Mihailescu.
  • 7. Διάσημες Εικασίες Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Το θεώρημα του Fermat είναι ίσως η πιο γνωστή εικασία. Η εξίσωση x n + y n = z n δεν έχει λύση για μη μηδενικούς ακεραίους x, y και z και για ακέραιο n>2. Προτάθηκε από τον Pierre Fermat τον 17ο αιώνα και αποδείχθηκε από τον Andrew Wiles το 1995.
  • 8. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 9. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 10. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 11. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 12. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 13. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 14. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 15. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 16. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 17. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 18. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων
  • 19. Διάσημες Εικασίες Το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστή με τέσσερα χρώματα έτσι ώστε γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώματα.  Η υπόθεση αυτή προτάθηκε πριν από 130 χρόνια. Αποδείχτηκε τελικά το 1976 από τους Kenneth Appel και Wolfgang Haken. Η απόδειξη βασίζετε στον έλεγχο 1936 περιπτώσεων και η κάθε περίπτωση απαιτεί τον έλεγχο πολλών λογικών συνδυασμών. Μόνο με την βοήθεια υπολογιστή μπορεί να ελεγχθούν όλες οι περιπτώσεις. Παραμένει ανοιχτό αν υπάρχει σύντομη απόδειξη, που δεν απαιτεί τεράστια υπολογιστική ικανότητα.
  • 20. Διάσημες Εικασίες Η Υπόθεση του Riemann Η υπόθεση του Riemann σχετίζεται άμεσα με την πυκνότητα των πρώτων αριθμών. Πόσοι πρώτοι αριθμοί είναι μικρότεροι από 1000; Από n; Έχει προταθεί εδώ και 150 χρόνια περίπου και ακόμα δεν έχει αποδειχθεί ούτε καταρριφθεί.
  • 21. Ας κάνουμε τις δικές μας Εικασίες …MAGIC
  • 22. Υπόθεση – Κατάρριψη Ας παρατηρήσουμε τους αριθμούς της μορφής: n2-n+41 Για n=1,2,3,… θα έχουμε: 41, 43, 47, 53, …  Όλοι οι παραπάνω αριθμοί είναι πρώτοι.  Υπόθεση: Για κάθε φυσικό αριθμό n ο αριθμός n2-n+41 είναι πρώτος. Δοκιμάζοντας πολλές τιμές για το n, διαπιστώνουμε ότι η υπόθεση δεν ισχύει. Ισχύει για n=1,2,3,…40, αλλά για n=41 έχουμε 412-41+41που προφανώς διαιρείτε με το 41.
  • 23. …και η διαίσθηση του Euler κάνει λάθη ▪ Εικασία του Euler Ο Euler ισχυριζόταν ότι η εξίσωση x4 + y4 + z4 = w4 δεν έχει ακέραιες λύσεις για n ≥ 4 . O επί 4 φορές νικητής του φημισμένου μαθηματικού διαγωνισμού Putman και χρυσός Ολυμπιονίκης στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (1981) σε ηλικία 14 ετών (perfect score), Noam Elkies, το 1987 έλυσε την εξίσωση για n = 4 . Απέδειξε ότι : 26824404 + 15465394 + 18797604 = 206156734 και μάλιστα απέδειξε ότι η εξίσωση x4 + y4 + z4 = w4 έχει άπειρες λύσεις . Λίγο αργότερα το 1988 , ο Roger Frye βρήκε μία μικρότερη λύση της εξίσωσης αποδεικνύοντας ότι : 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 .
  • 24. ….ασχολούμαστε διότι… Αν και τέτοια θέματα φαίνεται να μην έχουν εφαρμογές πολλές φορές η ανάπτυξη της τεχνολογίας μεταφέρει τέτοια ¨θεωρητικά¨ θέματα στο πεδίο των εφαρμογών. Για παράδειγμα, η υπόθεση Riemann έχει άμεση σχέση με την κρυπτογραφία βλ. κωδικοί τραπεζικών καρτών, ηλεκτρονικές συναλλαγές κ.α.
  • 25. Christian Goldbach 1690-1764 Γεννήθηκε στο σημερινό Kaliningrad (Königsberg) το 1690 και πέθανε στη Μόσχα το 1764.
  • 26. Christian Goldbach Ο Goldbach ήταν ένας απλά καλός Μαθηματικός. • 1725 Καθηγητής Μαθηματικών στην Ακαδημία Επιστημών στο St. Petersburg • 1728 δάσκαλος του νεαρού αυτοκράτορα της Ρωσίας • 1740 Σύμβουλος στο Υπουργείο Εξωτερικών
  • 27. Εικασία του Goldbach Η εικασία του Goldabch διατυπώθηκε το 1742 σε ένα γράμμα που έστειλε ο Goldbach στον Euler (1727-1783).
  • 28. (1727: ανέλαβε καθήκοντα στο St. Petersburg) Leonhard Euler 1707 - 1783
  • 30. Εικασία του Goldbach Κάθε άρτιος ακέραιος >2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων Ο Σκεπτόμενος – Auguste Rodin
  • 32. Εικασία του Goldbach Ισοδύναμη Κάθε ακέραιος >5 είναι το άθροισμα τριών πρώτων αριθμών
  • 33. Εικασία του Goldbach Όριο (2008) για το οποίο έχει ελεγχθεί η εικασία 12 ×10 17
  • 34. Η «αδύναμη» εικασία του Goldbach Για περιττούς αριθμούς: Κάθε περιττός ακέραιος >5 είναι το άθροισμα τριών πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα: 35 = 19 + 13 + 3 ή 77 = 53 + 13 + 11
  • 35. Η «αδύναμη» εικασία του Goldbach Το περιοδικό Scientific American, ανακοινώνει ότι ο μαθηματικός από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια Terence Tao, βραβευμένος με το Μετάλιο Fields, βρίσκεται κοντά στην απόδειξη της «δεύτερης», γνωστής ως «αδύναμης», εικασίας του Γκόλντμπαχ.
  • 36. Εικασία του Goldbach Οι Faber & Faber προσέφεραν 1,000,000$ για όποιον λύσει την εικασία ανάμεσα στις 20 Μαρτίου 2000 και 20 Μαρτίου 2002 αλλά η εικασία δεν έχει ακόμα αποδειχθεί...
  • 37. Ο Θείος Πέτρος και η Εικασία του Goldbach Απόστολος Δοξιάδης Βιβλίο προς συζήτηση
  • 38. Βιβλιογραφία «Μαθήματα πληροφορικής», Ηλίας Κουτσουπιάς Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστημίου Αθηνών Wikipedia στο λήμμα ¨Η Εικασία του Γκόλντμπαχ¨ Blog: Διασκεδαστικά Μαθηματικά «ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ», Συζητήσεις + Σκέψεις  Παρουσίαση από τον συγγραφέα Τεύκρο Μιχαηλίδη του Βιβλίου «Τα Τέσσερα χρώματα του Καλοκαιριού». Τα κόμικ είναι από το βιβλίο Logicomix του Απ. Δοξιάδη
  • 39. Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας «Τα Μαθηματικά είναι το πρόσχημα» Γυμνασίου Σούδας 2012-2013