ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами
Download as PPT, PDF0 likes1,544 views
More Related Content
What's hot (20)
Viewers also liked (12)
Similar to ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами (20)
ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами
- 2. х а або 0 х 0 0х – координатна числова вісь 0а – параметрична вісь (х0а) або (а0х) – КП площина а
- 3. КП – метод заснований на знаходженні множини всіх точок КП – площини, де значення координат Х і параметра а задовольняють заданій в умовах завдання співвідношенню F(х;а)=0
- 4. При запису відповіді поставимо у відповідність кожному допустимому фіксованому значенню параметра а значення шуканої величини Х – координати відповідних точок знайденої множини.
- 6. Орієнтиром при розв’язуванні завдань з параметрами є: • Будь-яке рівняння чи нерівність з параметрами розв’язують як звичайні рівняння чи нерівність доти, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв’язування, можна виконати однозначно. • Буває зручно супроводжувати відповідні міркування схемами. • Зазначимо, що рівняння та нерівності з параметрами найчастіше розв’язують за допомогою їх рівносильних перетворень, хоча інколи використовують: властивості функцій, метод інтервалів (для розв ’язування нерівностей) ,рівняння – наслідки, рівносильні перетворення.
- 7. Приклад №1 Розв’яжіть рівняння x - 2 = a Комментар 0 a< 0 При a≥ 0 маємо найпростіше ірраціональне рівняння, обидві частини якого невід’ємні. x-2 = a a≥ На першому кроці розбиваємо розв’язання на 2 випадки: 1) a< 0 - коренів немає, 2) a≥ 0 – корені є; x − 2 = a2 Коренів немає x = a2 + 2 Розв’язання 1) При a< 0 - рівняння не має коренів; 2 x = a2 + 2 . 2) При a≥ 0, x − 2 = a . Тоді Відповідь: 1) якщо a< 0 , то коренів немає; 2 2) якщо a≥ 0, то x=a +2 .
- 8. Приклад №2 Розв`яжіть рівняння à + à + õ = õ Розв`язок Для всіх коренів даного рівняння х≥0. (1) Тоді задане рівняння рівносильне рівнянням: (2) 2 a+ a+x = x a + x = x2 − a a +x ≥ 0 Для всіх коренів рівняння x −a ≥0 (4) Тоді рівняння (3) рівносильне рівнянням: (5) 2 2 a + x = ( x −a) a + x = x 4 − 2ax 2 + a 2 (6) Розглянемо рівняння (6) як квадратне відносно а: a 2 − (2 x 2 + 1)a + x 4 − x = 0 D= (2 x 2 + 1) 2 − 4( x 4 − x) = 4 x 2 + 4 x + 1 = (2 x + 1) 2 Тоді а= Отже, а= Звідси Або ( 2 x 2 + 1) ± (2 x + 1) 2 x2 + x + 1 або а= x2 − a + x + 1 = 0 x2 − a = x ОДЗ данного рівняння є a+ a+x ≥0 (3) 2 Комментар x2 − x (7) (8) Ураховуючи умови (1) і (4), одержимо, що ( x Отже, рівняння (7) не має коренів. 2 − a ) + x + 1 ≥ 1, ОДЗ буде враховано при переході до рівнянь (2) та (5). Для (2),(3), (5),(6) повністю аналогічне міркування до прикладу (2) Аналізуючи рівняння (6), користуємося орієнтиром, а саме: спробуйте розглянути задане рівняння як квадратне відносно якоїсь змінної(чи функції). У даному випадку розглянемо це рівняння як квадратне відносно параметра a. * Цей спосіб ефективний тільки тоді, коли дискримінант одержаного квадратного тричлена є повним квадратом, як у розглянутого випадку.
- 9. Якщо для коренів рівняння (8) виконується умова (1) (х≥ 0), то автоматично виконується й умова (4) ( x 2 − a ≥ 0 ). Із рівняння (8) одержимо: Відповідь: 1 1) При − 4 ≤ à ≤ 0 x1 = x −x−a = 0 2 Це рівняння має корені, якщо 1 D=1+4а ≥0, тобто при а ≥4 Тоді 1 + 1 + 4a x1 = 2 , 1 − 1 + 4a x2 = 2 Для x1 умова х ≥0, виконується, Отже, x1- корінь заданого рівняння 1 при а ≥- 4 2 1 − ≤à≤0 4 x2 = 2) При a>0 х= 1 − 1 + 4a 2 ; Комментар Перед записом відповіді зручно зобразити на рисунку всі одержані розв`язки і напроти кожного розв`зку відмітити, при яких значеннях параметра цей розв`язок можна використати. 1 x1 = -4 1 + 1 + 4a 2 0 а 1 − 1 + 4a 2 Із цього рисунку видно, що при а>0 у відповідь потрібно записати тільки одну формулу( x1), при −1 ≤à ≤0 4 . 1 − 1 + 4a 2 1 3)При а<- коренів немає. 4 x2 = Урахуємо умову х ≥ 0 для x2 : 1 − 1 + 4a ≥ 0, 1 + 4a ≤ 1 , 0 ≤ 1 + 4a ≤ 1 , 1 + 1 + 4a 2 дві формули ( x і 1 1 õ2 ), а при a<- 4 коренів немає.
- 10. Приклад №3 • • • Розв`яжіть нерівність Із теорії відомо: 2k f ( x) g ( x) ⇔ g ( x) ≥ 0 f ( x) g 2 k ( x) або x− a x+1 f ( x) > 0 g ( x) ≥ 0 Якщо в одержані системи параметр а входить лінійно, то в таких випадках іноді буває зручно виразити параметр через змінну, розглянути параметр як функцію від цієї змінної і використати графічну ілюстрацію розв`язування нерівностей (у системі координат хОа) для зображення розв`язків сукупності нерівностей зручно використовувати дві системи координат, у яких осі Ох розташовані на одній прямій, • І на кожній виділять штриховкою відповідні розв`язки.При різних значеннях а пряма а=const або не перетинає заштриховані 3 області (при а ≥ − 4 ), або перетинає їх по відрізках. Абсциси точок перетину є розв`язками систем (1)і (2), а отже, і розв`язками заданої нерівності.
- 11. Розв`язання Задана нерівність рівносильна сукупності систем: x +1 ≥ 0 x −a ≥ 0 або 2 x − a ( x + 1) x+ 0 1 x ≥ −1 a − x2 − x − 1 Тоді (1) a≤x Або (2) x −1 X=-1 a -1 3 a− 4 − 1 2 0 − 3 4 3 −1 ≤ a − 4 X=-1 Зобразимо графічно розв`язки систем нерівностей(1) і (2) у системі координат хОа(на малюнку відмічено області 1 і 2). x a= a− 0 x − -1 3 4 -1 à −1 1 a 2 3 4 x −1 ≤ a − à −1 3 4
- 12. За малюнками ми бачимо, що при а ≥ − 3 розв`язків немає(немає 4 зафарбованих точок); якщо −1 ≤ a − 3 , то пряма а=const перетинає тільки 4 заштриховану область 1 Причому одержаний інтервал обмежений зліва і справа вітками параболи а= − x 2 − x − 1 . Але для відповіді нам потрібно записати х через а. Для цього з рівняння x 2 + x + à + 1 = 0 знаходимо х: 1 1 x=− ± − a −1 2 4 1 Як бачимо, x = − 2 + − 3 1 −a − 4 2 ,тобто 1 3 1 x = − + − −a − 2 4 2 - рівняння правої вітки 1 3 1 x = − − − −a − 2 4 2 параболи, а - лівої. Тоді відповідь у цьому випадку буде такою : − 1 3 1 3 − − −a x − + − − a 2 4 2 4 Якщо a<-1, то пряма а=const перетинає заштриховані області 1 і 2. Для області 1 інтервал для х зліва обмежений прямою х=-1, а справа правою віткою параболи , тобто 1 3 −1 ≤ x − + − − a .4 2
- 13. Для області 2 інтервал для х обмежений зліва прямою 1 х=а, а справа – прямою х=-1, тобто a ≤ x ≤ − Об`єднання цих інтервалів можна коротше записати так : 1 3 a≤x− 1) 2) 3) 2 + − 4 −a Відповідь: При a − 3 - розв`язків немає; 4 При При −1 ≤ a − а<-1 3 4 - − 1 3 1 3 − − −a x − + − − a 2 4 2 4 1 3 a ≤ x − + − −a 2 4 ; . Для розв`язування деяких дослідницьких завдань з параметрами можна використати властивості квадратного тричлена і, зокрема, умови розміщення коренів квадратного тричлена відносно заданих чисел.