More Related Content
What's hot (20)
Similar to квадратні рівняння (20)
More from Tetyana Andrikevych (20)
квадратні рівняння
- 2. Квадратним називають рівняння виду ax²+bx+c=0, де х – змінна; а, b, с – числа, причому а≠0. Число а називають першим (старшим) коефіцієнтом, b – другим коефіцієнтом, с – вільним членом. 2x²+3x-1=0; x²-2x+4=0. Якщо a=1, то квадратне рівняння називають зведеним. x²-x+30=0
- 3. Квадратне рівняння, у якого хоча б один з коефіцієнтів – b або с – дорівнює нулю, називають неповним квадратним рівнянням. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: 1)ax²=0; 2)ax²+bx=0; 3)ax²+c=0. 1) ax²=0 при b=0, c=0; x²=0 x=0 рівняння має тільки один розв’язок. 5x²=0; x=0 Відповідь: 0. 2)При с=0, ax²+bx=0; x(ax+b)=0 x₁=0 або (ax+b)=0; x₂= – 𝑏 𝑎 Рівняння завжди має два розв’язки. 4x²+3x=0; x(4x+3)=0; x=0 або 4x+3=0; x= – 𝟑 𝟒 . Відповідь: 0, – 𝟑 𝟒 .
- 4. 3)При b=0, ax²+c=0; x²= – 𝑐 𝑎 , оскільки с≠0,то – с 𝑎 ≠0, тоді: а)якщо – 𝑐 𝑎 > 0, то рівняння має два розв’язки: x₁= – – с 𝑎 ; x₂= – с 𝑎 ; б)якщо – с 𝑎 < 0 ,то рівняння не має розв’язків. 9x²-4=0; x²= 4 9 x₁= 2 3 ; x₂= – 2 3 . Відповідь : 2 3 ; – 2 3 . 16x²+9=0 x²= – 9 16 немає розв’язків. Відповідь: немає розв’язків.
- 5. Повні квадратні рівняння ax²+bx+c=0 , a≠0, розв’язуємо за формулою: x₁,₂= −𝐛± 𝐃 𝟐𝐚 , де D=b²–4ac називають дискримінантом даного квадратного рівняння. Якщо D<0 ,то рівняння не має дійсних розв’язків. 2x²+5x+6=0; D=25-48=–23; D<0, отже, рівняння не має дійсних розв’язків. Якщо D=0, то рівняння має два однакові розв’язки: x₁ = x₂ = −𝐛 𝟐𝐚 . 4x²+4x+1=0; D=16–16=0, D=0, отже,рівняння має два однакові розв’язки: x₁=x₂= – 4 8 =– 1 2 . Відповідь: –0,5. Якщо D>0, то рівняння має два різні розв’язки: x₁ = −𝐛+ 𝐃 𝟐𝐚 ; x₂ = −𝐛− 𝐃 𝟐𝐚 . 2x²+3x+1=0; D=9–8=1; x₁= −3+1 4 =– 1 2 ; x₂= −3−1 4 =–1. Відповідь:= –0,5; –1.
- 6. Теорема Вієта. ax²+bx+c=0, a≠0, x₁x₂= 𝑐 𝑎 , x₁+x₂= – 𝑏 𝑎 у зведеному квадратному рівнянні x²+bx+c=0 x₁+x₂= – b; x₁x₂=c. x² –5x +6=0; x₁+x₂=5; x₁x₂=6; x₁=3;x₂=2. Відповідь:2;3. Рівняння виду ax⁴+bx²+c=0, де a≠0,b≠0 називається біквадратним рівнянням. 2x⁴+3x²+4=0. Формула розкладу квадратного тричлена на множники: ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂). 2x²–x–3=2(x-x₁)(x-x₂); 2x²–x–3=0; x₁=1,5; x₂=–1. 2x²–x–3=2(x–1,5)(x+1).
- 7. Знайти всі розв’язки рівняння 𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 D=𝟕 𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏𝟎=49 – 40 = 9, D>0, отже, рівняння має два різні розв’язки: 𝒙 𝟏 = −𝟕 + 𝟗 𝟐 = −𝟕 + 𝟑 𝟐 = −𝟐; 𝒙 𝟏 = −𝟕− 𝟗 𝟐 = −𝟕−𝟑 𝟐 = −𝟓; II спосіб За теоремою Вієта: 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = −𝟕; 𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎; 𝒙 𝟏 = −𝟐; 𝒙 𝟐 = −𝟓. Відповідь: - 2 , -5.
- 8. Скоротити дріб 𝑥2−7𝑥−8 𝑥+1 Розкладемо чисельник на множники: 𝑥2 − 7𝑥 − 8 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 𝑥2 − 7𝑥 − 8 = 0 За теоремою Вієта: 𝑥1 = 8; 𝑥2 = −1; 𝑥2 − 7𝑥 − 8 = (𝑥 − 8)(𝑥 + 1), тоді 𝑥2−7𝑥−8 𝑥+1 = (𝑥−8)(𝑥+1) 𝑥+1 = 𝑥 − 8.
- 9. Розв’язати рівняння 𝑥2 + 3 2 − 14 𝑥2 + 3 + 24 = 0 𝑦 = 𝑥2 + 3 𝑦2 − 14𝑦 + 24 = 0 𝑦1 = 12; 𝑦2 = 2; Отримаємо: 𝑥2 + 3 = 12; 𝑥2 + 3 = 2; 𝑥2 = 9; 𝑥2 = −1 – Немає розв’язків. 𝑥1 = 9 ; 𝑥2 = − 9 ; 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −3.
- 10. Розв'язати задачу Із міста А до міста В вирушив пішохід. Відстань АВ дорівнює 10 км. Через 30 хв. після нього з міста А до міста В вирушив велосипедист, швидкість якого на 6 км. Більша швидкості пішохода. Велосипедист, обігнавши пішохода і дійшовши до міста В, повернувся знову до міста А в той же час, коли пішохід прийшов до міста В. Визначити швидкість пішохода. Для розв’язання цієї задачі можна скласти рівняння за допомогою такої таблиці: Відстань, км Швидкість км/год Час, год. Пішохід Велосипедист 10 20 x 𝐱 + 𝟔 𝟏𝟎 𝐱 𝟐𝟎 𝐱 + 𝟔
- 11. Розв’язання Нехай пішохід йшов зі швидкістю x км/год тоді відстань в 10 км. він пройшов за 10 𝑥 год. Велосипедист їхав зі швидкістю (x+6) км/год. і проїхав відстань 20 км. від А до В і назад за 20 𝑥+6 год. за умовою задачі, пішохід вийшов на 30 хв. Раніше, тобто він витратив на проходження шляху на 1 2 год. більше, ніж велосипедист. Складаємо рівняння 10 𝑥 − 20 𝑥+6 = 1 2 ; 10 𝑥 − 20 𝑥+6 − 1 2 = 0; 10∗2 𝑥+6 =20∗2x−x(x+6) 2𝑥(𝑥+6) = 0; 20𝑥+120−40𝑥−𝑥2 −6𝑥 2𝑥(𝑥−6) = 0; −𝑥2−26𝑥+120 2𝑥(𝑥+6) = 0; 𝑥2+26𝑥−120 −2𝑥(𝑥+6) = 0; 𝑥2 + 26𝑥 − 120 = 0; −2𝑥 𝑥 + 6 ≠ 0; 𝑥 = 4; 𝑥 = −30 𝑥 ≠ −6, 𝑥 ≠ −6𝑥 = −30 не задовольняє умову задачі (швидкість не може бути від'ємною) отже, швидкість пішохода 4 км/год. Відповідь: 4 км/год.
- 12. Розв’язати рівняння 2 1 − 𝑥 + 𝑥 𝑥 + 1 = 2𝑥 1 − 𝑥2 Розв’язання. Залишаємо у вигляді: зведемо до спільного знаменника спростимо: 2 1 − 𝑥 + 𝑥 𝑥 + 1 − 2𝑥 1 − 𝑥2 = 0 2 1 + 𝑥 + 𝑥 1 − 𝑥 − 2𝑥 1 − 𝑥2 = 0; 2 + 2𝑥 + 𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥 1 − 𝑥2 = 0; −𝑥2 + 𝑥 + 2 1 − 𝑥2 = 0; 𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑥2 − 1 = 0 Дріб дорівнює нулю, коли чисельник – нуль, а знаменник відмінний від нуля. Маємо: 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0, 𝑥2 − 1 ≠ 0; 𝑥 = 2 𝑥 = −1 𝑥 ≠ 1 𝑥 ≠ −1 𝑥 = −1 – сторонній розв’язок Відповідь: 2.
- 13. Знайти всі розв’язки рівняння. 2𝑥2 + 3𝑥 + 12 = 0. Розв’язання. 𝐷 = 32 − 4 ∗ 2 ∗ 12 − 96 = −87, 𝐷 < 0, Отже, рівняння розв’язків не має. Відповідь; немає розв’язків. Розв’язати рівняння виділенням квадрата двочлена 𝑥2 − 10𝑥 + 16 = 0 Розв’язання. Виділимо квадрат двочлена 𝑥2 − 10𝑥 + 16 = 𝑥2 − 2 ∗ 5𝑥 + 25 +16=(x-5)2 − 9; (𝑥 − 5)2 − 9 = 0; (𝑥 − 5)2 = 9; 𝑥1 − 5 = 3; 𝑥2 − 5 = −3; 𝑥1 = 8; 𝑥2 = 2; Відповідь: 8; 2.