![Parciālā integrēšana
• Ja ir dotas nepārtrauktas un diferencējamas funkcijas
u=u(x) un v=v(x) intervālā [a; b], tad
d(uv)=udv+vdu
b b b
d uv udv vdu
a a a
b b
b
udv uv a vdu
a a](https://image.slidesharecdn.com/4-noteiktaisintegrlis-130202140218-phpapp01/85/4-noteiktais-integralis-17-320.jpg)
![Substitūcijas metode
• Izmanto mainīgo t ar formulu x = (t)
• A= ( ) un b = ( )
• Funkcija (t) ir nepārtraukta intervālā * ; ]
• Funkcijas (t)vērtības pieder intervālam *a; b+, ja t
[ ; ]
b
f x dx f t t dt
a](https://image.slidesharecdn.com/4-noteiktaisintegrlis-130202140218-phpapp01/85/4-noteiktais-integralis-19-320.jpg)
![• Integrāļus ar galīgu integrēšanas intervālu [a; b] no
šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas f(x) sauc par
īstajiem integrāļiem.
• Noteiktais integrālis zaudē jēgu, ja integrēšanas
intervāls ir bezgalīgs vai zemintegrāļa funkcija
integrēšanas intervālā nav ierobežota.
• Integrāļus ar bezgalīgu integrēšanas intervālu sauc
par neīstajiem integrāļiem.](https://image.slidesharecdn.com/4-noteiktaisintegrlis-130202140218-phpapp01/85/4-noteiktais-integralis-32-320.jpg)
More Related Content
More from Maija Liepa (20)
4.noteiktais integrālis
- 3. Līklīnijas trapece • Līklīnijas trapece – plaknes figūra, kuru ierobežo trīs taisnes nogriežņi un līknes loks.
- 5. Laukuma aprēķināšana • Sadalot figūru daļās, līklīnijas trapeces laukums sastāv no līklīnijas trapeces daļu laukumu summas • Katras daļas laukums tiek risināts kā taisnstūra laukums – pamats reiz augstuma reizinājums. • Lai izmantotu risināšanas kārtulu Ox, intervālu (a; b) ar punktiem sadala n daļās a = x0 < x1< … <xn = b
- 6. Funkcijas f(x) integrālsumma intervālā (a; b) • S ≈ f(ξ1) x1 + f(ξ2) x2 + … + f(ξn) xn n S f i xi i 1
- 7. Noteiktais integrālis • Ja apzīmē x max xi 1 i n un meklē integrālsummas robežu, kad x 0, un eksistē robeža n lim x 0 i 1 f i xi • Kura nav atkarīga no intervāla (a; b) sadalījuma veida un no punktu ξi (i = 1, 2, 3, … , n) izvēles, tad šo robežu sauc par funkcijas f(x) noteikto integrāli intervālā (a; b) un apzīmē b f x dx a
- 8. b n f x dx lim x 0 i 1 f i xi a x – integrācijas mainīgais f(x) – zemintegrāļa funkcija f(x)dx – zemintegrāļa izteiksme a – integrācijas apakšējā robeža b – integrācijas augšējā robeža (a; b) – integrācijas intervāls
- 9. Noteiktā integrāļa īpašības • Integrālis no divu vai vairāku funkciju summas ir vienāds ar šo funkciju integrāļu summu. b f1 x f2 x ... f n x dx a b b b f1 x dx f 2 x dx ... f n x dx a a a
- 10. • Konstantu reizinātāju var iznest pirms integrāļa zīmes b b cf x dx c f x dx a a • Mainot vietām integrācijas robežas , mainās tikai integrāļa zīme b a f x dx f x dx a b
- 11. • Ja (a, b) = (a; c) (c; b), tad b c b f x dx f x dx f x dx a a c • Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība f(x)≥0, tad arī b f x dx 0 a
- 12. • Ja f(x) = 1, tad b b f x dx dx b a a a • Ja m min f x, M max f x un a b, tad x a;b x a;b b mb a f x dx M b a a
- 13. • Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība f1(x) f2(x), tad b b f1 x dx f 2 x dx a a • Vidējās vērtības teorēma. Ja f(x) ir intervālā (a; b) (a<b) nepārtraukta funkcija, tad eksistē tāds punkts b c (a; b), ka f x dx f c a b a
- 15. Integrālrēķinu pamatteorēma • Ja funkcija f(x) ir integrējama intervālā *a; b+ un F(x) ir funkcijas f(x) primitīvā funkcija intervālā (a; b), tad spēkā ir sakarība b f x dx Fb Fa a Ņūtona – Leibnica formula
- 16. 2 1 sin 2 xdx cos 2 x 02 0 2 1 1 cos 2 cos 2 0 cos cos 0 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2
- 17. Parciālā integrēšana • Ja ir dotas nepārtrauktas un diferencējamas funkcijas u=u(x) un v=v(x) intervālā [a; b], tad d(uv)=udv+vdu b b b d uv udv vdu a a a b b b udv uv a vdu a a
- 18. u x du dx x sin xdx dv sin dx v sin xdx cos x 0 x cos x 0 cos x dx cos sin x 0
- 19. Substitūcijas metode • Izmanto mainīgo t ar formulu x = (t) • A= ( ) un b = ( ) • Funkcija (t) ir nepārtraukta intervālā * ; ] • Funkcijas (t)vērtības pieder intervālam *a; b+, ja t [ ; ] b f x dx f t t dt a
- 20. 7 2 2 xdx t 2 1 2tdt 1 0 t 1 x t 0 1 x 1 t t 1 2 1 x t 2 2 t 2 1 dt 1 7 t 2 2 x t 1 1 t t 2 2 2 2 dx 2tdt 1 2 t dt 1 t
- 21. 2 2 1 2 2 2 2 2 2 t dt 2 t ln t 1 1 t 1 2 2 2 2 2 2 2 t ln t 1 2 2 2 12 ln 2 2 ln 1 1 2 82 1 ln 2 2 126 ln 2 2
- 22. Tuvinātā aprēķināšana b n xi f x dx f x dx a i 1 xi 1
- 24. xi yi 1 yi f x dx h xi 1 2 b n yi 1 yi f x dx h a i 1 2 h y0 y1 y1 y2 ... yn 1 yn 2 b n yi 1 yi y0 yn f x dx h h y1 y2 ... yn 1 a i 1 2 2
- 26. Plaknes figūru laukumu 辱ٴšԲ
- 27. • Ir dota plaknes figūra, kuru no augšas ierobežo intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks y = g(x), no apakšas - šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks y = f(x), pie tam abiem grafikiem no sāniem ir taisnes x = a un x = b. • Meklējamais laukums S ir divu līklīnijas trapeču laukumu starpība.
- 29. Līknes garuma aprēķināšana • Līknes loka garums sastāv no līknes lokā ievilktās lauztās līnijas nogriežņu garumiem Pārveidojums pēc Lagranža formulas
- 30. Rotācijas ķermeņa tilpums • Rotācijas ķermeni, šķeļot ar jebkuru abscisu asij perpendikulāru plakni, iegūst riņķi, kura rādiuss ir . • Iegūtā šķērsgriezuma laukums
- 32. • Integrāļus ar galīgu integrēšanas intervālu [a; b] no šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas f(x) sauc par īstajiem integrāļiem. • Noteiktais integrālis zaudē jēgu, ja integrēšanas intervāls ir bezgalīgs vai zemintegrāļa funkcija integrēšanas intervālā nav ierobežota. • Integrāļus ar bezgalīgu integrēšanas intervālu sauc par neīstajiem integrāļiem.
- 33. • Pirmā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga, bet zemintegrāļa funkcija ir ierobežota integrēšanas intervālā. • Otrā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas intervālā . • Trešā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga un zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas intervālā.
- 34. Pirmā veida neīstie integrāļi b b dx dx I1 2 I2 1 x 1 x b 1 1 b I1 1 I2 ln x 1 ln b x1 b lim I b 1 1 lim I b 2
- 35. • Lielumam I1(b) ir noteikta robeža I. • Neīstais integrālis eksistē jeb konverģē. • Lielumam I2(b) nav noteikta robeža I. • Neīstais integrālis neeksistē jeb diverģē.
- 36. • Integrāļa I1 (b) robežu sauc par neīsto integrāli ar bezgalīgu augšējo integrācijas robežu jeb par pirmā veida neīsto integrāli. b f x dx lim b f x dx a a
- 37. • Funkcija y = f(x) ir nepārtraukta intervālā [a; c). Punktā x = c tai ir bezgalīgs pārtraukums. • Pēc būtības integrālis nav definēts, bet ar pietiekami mazu integrālis ir definēts. • Ja 0 – lielumam I( ) ir noteikta robeža; – lielumam I( ) nav robežas.
- 38. • Ja I( ) noteikta robeža ir, tad to sauc par otrā veida neīsto integrāli no funkcijas ar bezgalīgu pārtraukumu intervāla galapunktā c. b b f x dx lim 0 f x dx a a • Ja robeža eksistē, tad neīstais integrālis eksistē vai konverģē. • Ja robeža neeksistē, tad neīstais integrālis neeksistē jeb diverģē.