ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo
2
? Defin¨©cijas apgabals, p¨¡rtraukuma punkti un
    nep¨¡rtraukt¨©bas interv¨¡li.
?   P¨¡ra, nep¨¡ra vai periodiska funkcija.
?   Krustpunkti ar koordin¨¡tu as¨©m.
?   Funkcijas pozit¨©v¨¡s, negat¨©v¨¡s v¨¥rt¨©bas.
?   Monotonit¨¡tes interv¨¡li, ekstr¨¥mi.
?   Grafika izliekuma un ieliekuma interv¨¡li,
    p¨¡rliekuma punktu koordin¨¡tas.
?   Grafika asimptotas.
Most read
12
Funkcijas grafika ieliekums un
izliekums
? Diferenc¨¥jamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc
  par izliektu, ja tas atrodas zem grafika
  jebkuras pieskares min¨¥taj¨¡ interv¨¡l¨¡.

? Ieliektas funkcijas grafiks ¨C m¨¡j¨¡s.
Most read
19
Sl¨©p¨¡ asimptota
? Sl¨©p¨¡s asimptotas vien¨¡dojums ir

                  y = kx + b
            f x
  k   lim
       x     x
                      b   lim
                          x
                                f x   kx
Most read
Funkcijas p¨¥t¨©?ana
? Defin¨©cijas apgabals, p¨¡rtraukuma punkti un
    nep¨¡rtraukt¨©bas interv¨¡li.
?   P¨¡ra, nep¨¡ra vai periodiska funkcija.
?   Krustpunkti ar koordin¨¡tu as¨©m.
?   Funkcijas pozit¨©v¨¡s, negat¨©v¨¡s v¨¥rt¨©bas.
?   Monotonit¨¡tes interv¨¡li, ekstr¨¥mi.
?   Grafika izliekuma un ieliekuma interv¨¡li,
    p¨¡rliekuma punktu koordin¨¡tas.
?   Grafika asimptotas.
Interv¨¡l¨¡ augo?a funkcija
? Funkciju y = f(x) sauc par augo?u interv¨¡l¨¡ [a;
  b], ja katrai liel¨¡kai argumenta v¨¥rt¨©bai no ?¨©
  interv¨¡la atbilst liel¨¡ka funkcijas v¨¥rt¨©ba, t.i.,
  jebkuriem x1, x2 [a; b] no nevien¨¡d¨©bas x1 <
  x2 izriet nevien¨¡d¨©ba f(x1) < f(x2). T¨¡d¨¥j¨¡di, ja
  x1 < x2, tad argumenta pieaugums x = x2 ¨C
  x1 un funkcijas pieaugums y = f(x2) ¨C f(x1)
  abi ir pozit¨©vi un to attiec¨©ba ir pozit¨©va

                       y
                           0
                       x
Interv¨¡l¨¡ augo?a funkcija
? Patst¨¡v¨©gi.
? Viens no m¨¡jas darba uzdevumiem.
Aug?anas un dil?anas
nepiecie?am¨¡ paz¨©me
? Ja interv¨¡l¨¡ (a; b) diferenc¨¥jama funkcija y = f(x)
  ir augo?a, tad jebkur¨¡ ?¨© interv¨¡la punkt¨¡ f ¡¯(x)   0.

? Dil?anas paz¨©me ¨C m¨¡j¨¡s.
Funkcijas monotonit¨¡tes interv¨¡lu
atra?ana
? J¨¡atrod funkcijas f ¡¯(x) atvasin¨¡jums.
? Nosaka punktus, kuros f ¡¯(x) ir vien¨¡ds ar nulli
  vai neeksist¨¥.
   ?   ?os punktus sauc par funkcijas kritiskajiem
       punktiem. Kritiskie punkti sadala funkcijas f(x)
       defin¨©cijas apgabalu interv¨¡los, kuros f ¡¯(x)
       nemaina z¨©mi ¨C monotonit¨¡tes interv¨¡los.
? Katr¨¡ ieg¨±taj¨¡ interv¨¡l¨¡ j¨¡nosaka f ¡¯(x) z¨©me.
   ?   Ja f ¡¯(x) > 0, tad tas ir funkcijas aug?anas
       interv¨¡ls. Ja f ¡¯(x) < 0, tad tas ir funkcijas
       dil?anas interv¨¡ls.
Funkcijas maksimumi un
minimumi
? Pie?em, ka funkcija ir nep¨¡rtraukta interv¨¡l¨¡
  (a; b). ?¨© interv¨¡la punktu x0 sauc par
  funkcijas f(x) maksimuma punktu, ja
  funkcijas v¨¥rt¨©ba f(x0) ?aj¨¡ punkt¨¡ ir liel¨¡ka
  nek¨¡ funkcijas v¨¥rt¨©bas visos citos punkta x0
  pietiekami mazas apk¨¡rtnes punktos x, t.i.,
  visiem x ¡Ù x0 ir pareiza vien¨¡d¨©ba f(x) < f(x0),
  ja vien starp¨©bas ©¦x ¨C x0©¦modulis ir
  pietiekami.
? Minimuma punkts ¨C m¨¡j¨¡s.
Ekstr¨¥ma punkti
? Maksimuma un minimuma punktus sauc par
 ekstr¨¥ma punktiem (extremum lat.v. ¨C gal¨¥js).
Ekstr¨¥mu nepiecie?am¨¡ paz¨©me
? Ja diferenc¨¥jamai funkcijai f(x) punkt¨¡ x0 ir
  ekstr¨¥ms, tad f ¡¯(x0) = 0.
? Punktus, kuros funkcijas f(x) atvasin¨¡jums ir
  nulle, sauc par funkcijas stacion¨¡rajiem
  punktiem.
Ekstr¨¥mu atra?anas algoritms
? Atrod punktus, kuros y = f(x) atvasin¨¡jums
  f ¡¯(x) ir vien¨¡ds ar nulli vai neeksist¨¥.
? Izp¨¥ta atvasin¨¡juma f ¡¯(x) z¨©me kritisko punktu
  apk¨¡rtn¨¥s.
  ?   Ja argumentam, ejot caur kritisko punktu f ¡¯(x),
      z¨©me main¨¡s un f(x) kritiskaj¨¡ punkt¨¡ ir
      defin¨¥ta, tad funkcijai f(x) ?aj¨¡ punkt¨¡ eksist¨¥
      ekstr¨¥ms
? J¨¡apr¨¥?ina funkcijas v¨¥rt¨©ba ekstr¨¥ma
  punkt¨¡.
? Ja stacion¨¡raj¨¡ punkt¨¡ f ¡¯¡¯(x) < 0, tad tas ir
  minimuma punkts.
? Ja stacion¨¡raj¨¡ punkt¨¡ f ¡¯¡¯(x) > 0, tad tas ir
  maksimuma punkts.
Funkcijas grafika ieliekums un
izliekums
? Diferenc¨¥jamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc
  par izliektu, ja tas atrodas zem grafika
  jebkuras pieskares min¨¥taj¨¡ interv¨¡l¨¡.

? Ieliektas funkcijas grafiks ¨C m¨¡j¨¡s.
? Ja funkcijai f(x) interv¨¡l¨¡ (a; b) eksist¨¥ otr¨¡s
  k¨¡rtas atvasin¨¡jums un visos interv¨¡la
  punktos f ¡¯¡¯(x) < 0, tad funkcijas grafiks ir ?aj¨¡
  interv¨¡l¨¡ izliekta, ja f f¡¯¡¯(x) < 0, ¡¯¡¯(x) > 0, tad
  ieliekts.

? Funkcijas grafika punktu, kas atdala grafika
  izliekto da?u no ieliektas da?as, sauc par
  grafika p¨¡rliekuma punktu jeb infleksijas
  punktu.
? Ja punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas y = f(x)
  grafika p¨¡rliekuma punkts, tad f ¡¯¡¯(x) = 0 vai
  neeksist¨¥.
? Ox ass punktus, kuros funkcijas f(x) otr¨¡s
  k¨¡rtas atvasin¨¡jums f ¡¯¡¯(x) ir vien¨¡ds ar nulli
  vai neeksist¨¥, sauc par otr¨¡s k¨¡rtas
  kritiskajiem punktiem.
? Ja, argumentam ejot caur punktu x = x0, otr¨¡s
  k¨¡rtas atvasin¨¡jums f ¡¯¡¯(x) maina z¨©mi, tad
  punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas f(x) grafika
  p¨¡rliekuma punkts.
P¨¡rliekuma punktu atra?anas
algoritms
? Nosaka punktus, kuros funkcijas y = f(x) otr¨¡s
  k¨¡rtas atvasin¨¡jums f ¡¯¡¯(x) ir vien¨¡ds ar nulli
  vai neeksist¨¥, t.i., nosaka funkcijas kritiskos
  punktus.
? Atrod tos kritiskos punktus, kuri funkcijas
  grafika izliekuma interv¨¡lus atdala no
  ieliekuma interv¨¡liem un kuros funkcija ir
  defin¨¥ta. ?ie kritiskie punkti ir p¨¡rliekuma
  punkti.
? Apr¨¥?ina katra p¨¡rliekuma punkta ordin¨¡tu.
Funkcijas y = f(x) grafika
p¨¡rliekuma punkti
? Atrod funkcijas atvasin¨¡jumus f ¡¯¡¯(x) un f ¡¯¡¯¡¯(x).
? Uzraksta vien¨¡dojumu f ¡¯¡¯(x) = 0 un atrod ?¨©
  vien¨¡dojuma visas re¨¡l¨¡s saknes, ieg¨±stot
  otr¨¡s k¨¡rtas kritiskos punktus.
? Apr¨¥?ina f¡¯¡¯¡¯(x) v¨¥r¨©bas katr¨¡ kritiskaj¨¡ punkt¨¡.
? Atrod tos kritiskos punktus, kuros f ¡¯¡¯¡¯(x) ¡Ù 0.
  ?iem kritiskajiem punktiem atbilsto?ie
  funkcijas grafika punkti ir p¨¡rliekuma punkti
Funkcijas grafika asmptotas
? Taisni sauc par l¨©nijas y = f(x) asimptotu, ja
  l¨©nijas punkts M(x; y), tiecoties uz bezgal¨©bu,
  neierobe?oti tuvojas ?ai taisnei, t.i. att¨¡lums
  no punkta M l¨©dz taisnei tiecas uz nulli.

? Funkcijas y = f(x) grafikam var b¨±t vertik¨¡las
  asimptotas, t.i., paral¨¥las Oy asij, un sl¨©pas
  asimptotas. Pie sl¨©p¨¡m asimptotam pieder ar¨©
  horizont¨¡las asimptotas.
Vertik¨¡l¨¡ asimptota
? Vertik¨¡l¨¡s asimptotas. Ja

               lim f
               x   a
                       x

? tad taisne

                       x=a
? Ir funkcijas y = f(x) vertik¨¡l¨¡ asimptota.
Sl¨©p¨¡ asimptota
? Sl¨©p¨¡s asimptotas vien¨¡dojums ir

                  y = kx + b
            f x
  k   lim
       x     x
                      b   lim
                          x
                                f x   kx

More Related Content

What's hot (20)

????????? ?6 ????2 - ????? 1
????????? ?6 ????2 - ????? 1
????????? ?????
?
¦¯¦Ä¦Ç¦Ã?¦Å? ¦Ö¦Ñ?¦Ò¦Å¦Ø? ¦Ã¦É¦Á ¦Ó¦Ï ¦Â¦É¦Ï¦Ã¦Ñ¦Á¦Õ¦É¦Ê? ¦Ò¦Ç?¦Å?¦Ø?¦Á Europass
¦¯¦Ä¦Ç¦Ã?¦Å? ¦Ö¦Ñ?¦Ò¦Å¦Ø? ¦Ã¦É¦Á ¦Ó¦Ï ¦Â¦É¦Ï¦Ã¦Ñ¦Á¦Õ¦É¦Ê? ¦Ò¦Ç?¦Å?¦Ø?¦Á Europass
Nickos Nickolopoulos
?
??????????????????????????????????
??????????????????????????????????
kroojaja
?
Ortogr¨¡fija. Kop¨¡ un ??irti rakst¨¡mi v¨¡rdi
Ortogr¨¡fija. Kop¨¡ un ??irti rakst¨¡mi v¨¡rdi
Uzdevumi.lv
?
???????????? 1 ?????? ????????????
???????????? 1 ?????? ????????????
???????? ????????
?
??????????????????? ????????
??????????????????? ????????
Kanomwan Jeab
?
Tie?¨¡ runa
Tie?¨¡ runa
Uzdevumi.lv
?
Sak?u p¨¡rveidojumi
Sak?u p¨¡rveidojumi
Ilze Ferg¨±te
?
?????????????
?????????????
23250945
?
?????????? ?.3 ????????
?????????? ?.3 ????????
??? ???
?
????????????????? [??????????????????]
????????????????? [??????????????????]
Nongkran Jarurnphong
?
¦²¦Å¦Í?¦Ñ¦É¦Ï ¦Ã¦Ë?¦Ò¦Ò¦Á? ¦Ó¦Á ¦Ö¦Ñ?¦Ì¦Á¦Ó¦Á ¦Ó¦Ï¦Ô ¦Õ¦È¦É¦Í¦Ï¦Ð?¦Ñ¦Ï¦Ô ¦Ã¦É¦Á ¦Ó¦Ç ¦¢ ¦Ó?¦Î¦Ç ¦Ó¦Ï¦Ô ¦Ä¦Ç¦Ì¦Ï¦Ó¦É¦Ê¦Ï? ¦Ò¦Ö¦Ï¦Ë¦Å?¦Ï¦Ô
¦²¦Å¦Í?¦Ñ¦É¦Ï ¦Ã¦Ë?¦Ò¦Ò¦Á? ¦Ó¦Á ¦Ö¦Ñ?¦Ì¦Á¦Ó¦Á ¦Ó¦Ï¦Ô ¦Õ¦È¦É¦Í¦Ï¦Ð?¦Ñ¦Ï¦Ô ¦Ã¦É¦Á ¦Ó¦Ç ¦¢ ¦Ó?¦Î¦Ç ¦Ó¦Ï¦Ô ¦Ä¦Ç¦Ì¦Ï¦Ó¦É¦Ê¦Ï? ¦Ò¦Ö¦Ï¦Ë¦Å?¦Ï¦Ô
¦²¦Ð?¦Ñ¦Ï? ¦ª¦Ô¦Ñ¦É¦Á¦Æ?¦Ä¦Ç?
?
Str¨¡vas virziens, stiprums
Str¨¡vas virziens, stiprums
Daina Birkenbauma
?
????????? ?6 ????2 - ????? 1
????????? ?6 ????2 - ????? 1
????????? ?????
?
¦¯¦Ä¦Ç¦Ã?¦Å? ¦Ö¦Ñ?¦Ò¦Å¦Ø? ¦Ã¦É¦Á ¦Ó¦Ï ¦Â¦É¦Ï¦Ã¦Ñ¦Á¦Õ¦É¦Ê? ¦Ò¦Ç?¦Å?¦Ø?¦Á Europass
¦¯¦Ä¦Ç¦Ã?¦Å? ¦Ö¦Ñ?¦Ò¦Å¦Ø? ¦Ã¦É¦Á ¦Ó¦Ï ¦Â¦É¦Ï¦Ã¦Ñ¦Á¦Õ¦É¦Ê? ¦Ò¦Ç?¦Å?¦Ø?¦Á Europass
Nickos Nickolopoulos
?
??????????????????????????????????
??????????????????????????????????
kroojaja
?
Ortogr¨¡fija. Kop¨¡ un ??irti rakst¨¡mi v¨¡rdi
Ortogr¨¡fija. Kop¨¡ un ??irti rakst¨¡mi v¨¡rdi
Uzdevumi.lv
?
???????????? 1 ?????? ????????????
???????????? 1 ?????? ????????????
???????? ????????
?
??????????????????? ????????
??????????????????? ????????
Kanomwan Jeab
?
?????????????
?????????????
23250945
?
?????????? ?.3 ????????
?????????? ?.3 ????????
??? ???
?
????????????????? [??????????????????]
????????????????? [??????????????????]
Nongkran Jarurnphong
?
¦²¦Å¦Í?¦Ñ¦É¦Ï ¦Ã¦Ë?¦Ò¦Ò¦Á? ¦Ó¦Á ¦Ö¦Ñ?¦Ì¦Á¦Ó¦Á ¦Ó¦Ï¦Ô ¦Õ¦È¦É¦Í¦Ï¦Ð?¦Ñ¦Ï¦Ô ¦Ã¦É¦Á ¦Ó¦Ç ¦¢ ¦Ó?¦Î¦Ç ¦Ó¦Ï¦Ô ¦Ä¦Ç¦Ì¦Ï¦Ó¦É¦Ê¦Ï? ¦Ò¦Ö¦Ï¦Ë¦Å?¦Ï¦Ô
¦²¦Å¦Í?¦Ñ¦É¦Ï ¦Ã¦Ë?¦Ò¦Ò¦Á? ¦Ó¦Á ¦Ö¦Ñ?¦Ì¦Á¦Ó¦Á ¦Ó¦Ï¦Ô ¦Õ¦È¦É¦Í¦Ï¦Ð?¦Ñ¦Ï¦Ô ¦Ã¦É¦Á ¦Ó¦Ç ¦¢ ¦Ó?¦Î¦Ç ¦Ó¦Ï¦Ô ¦Ä¦Ç¦Ì¦Ï¦Ó¦É¦Ê¦Ï? ¦Ò¦Ö¦Ï¦Ë¦Å?¦Ï¦Ô
¦²¦Ð?¦Ñ¦Ï? ¦ª¦Ô¦Ñ¦É¦Á¦Æ?¦Ä¦Ç?
?

Similar to 1.2.funkcijas p¨¥t¨©?ana (20)

2.vair¨¡k argumentu funcijas diferenci¨¡lr¨¥?ini
2.vair¨¡k argumentu funcijas diferenci¨¡lr¨¥?ini
Maija Liepa
?
1.1.augstaku kartu atvasinajumi
1.1.augstaku kartu atvasinajumi
Maija Liepa
?
KVADR?TISK?S FUNKCIJAS P?TIJUMS
KVADR?TISK?S FUNKCIJAS P?TIJUMS
Vladislavs Baba?ins
?
4.noteiktais integr¨¡lis
4.noteiktais integr¨¡lis
Maija Liepa
?
Interv¨¡lu metode
Interv¨¡lu metode
smilga_liga
?
2.pa?kontroles darba atrisin¨¡jums
2.pa?kontroles darba atrisin¨¡jums
smilga_liga
?
Ekvivalentas nevienadibas parveidojumi_teorija
Ekvivalentas nevienadibas parveidojumi_teorija
smilga_liga
?
7.1.diferenciaalreekini
7.1.diferenciaalreekini
Maija Liepa
?
4.m¨¡jas darba atrisin¨¡jums
4.m¨¡jas darba atrisin¨¡jums
smilga_liga
?
PREZENT?CIJA - matem¨¡tika11.kl.
PREZENT?CIJA - matem¨¡tika11.kl.
Gints Valdmanis
?
Nevien¨¡d¨©bas, nevien¨¡d¨©bu sist¨¥mas
Nevien¨¡d¨©bas, nevien¨¡d¨©bu sist¨¥mas
smilga_liga
?
Uzd ris paraugs_atris_nevien
Uzd ris paraugs_atris_nevien
smilga_liga
?
Ekvivalentas
Ekvivalentas
smilga_liga
?
Nevienadibas un sistemas_teorija
Nevienadibas un sistemas_teorija
smilga_liga
?
Nevien¨¡d¨©bu atrisin¨¡?¨¡na izmantojot interv¨¡lu metodi
Nevien¨¡d¨©bu atrisin¨¡?¨¡na izmantojot interv¨¡lu metodi
smilga_liga
?
2.vair¨¡k argumentu funcijas diferenci¨¡lr¨¥?ini
2.vair¨¡k argumentu funcijas diferenci¨¡lr¨¥?ini
Maija Liepa
?
1.1.augstaku kartu atvasinajumi
1.1.augstaku kartu atvasinajumi
Maija Liepa
?
4.noteiktais integr¨¡lis
4.noteiktais integr¨¡lis
Maija Liepa
?
Interv¨¡lu metode
Interv¨¡lu metode
smilga_liga
?
2.pa?kontroles darba atrisin¨¡jums
2.pa?kontroles darba atrisin¨¡jums
smilga_liga
?
Ekvivalentas nevienadibas parveidojumi_teorija
Ekvivalentas nevienadibas parveidojumi_teorija
smilga_liga
?
7.1.diferenciaalreekini
7.1.diferenciaalreekini
Maija Liepa
?
4.m¨¡jas darba atrisin¨¡jums
4.m¨¡jas darba atrisin¨¡jums
smilga_liga
?
PREZENT?CIJA - matem¨¡tika11.kl.
PREZENT?CIJA - matem¨¡tika11.kl.
Gints Valdmanis
?
Nevien¨¡d¨©bas, nevien¨¡d¨©bu sist¨¥mas
Nevien¨¡d¨©bas, nevien¨¡d¨©bu sist¨¥mas
smilga_liga
?
Uzd ris paraugs_atris_nevien
Uzd ris paraugs_atris_nevien
smilga_liga
?
Nevienadibas un sistemas_teorija
Nevienadibas un sistemas_teorija
smilga_liga
?
Nevien¨¡d¨©bu atrisin¨¡?¨¡na izmantojot interv¨¡lu metodi
Nevien¨¡d¨©bu atrisin¨¡?¨¡na izmantojot interv¨¡lu metodi
smilga_liga
?
Ad

More from Maija Liepa (20)

Virknes
Virknes
Maija Liepa
?
My trip to Kaunas
My trip to Kaunas
Maija Liepa
?
The arithmetic and geometric progression
The arithmetic and geometric progression
Maija Liepa
?
Programmas izstr¨¡des posmi
Programmas izstr¨¡des posmi
Maija Liepa
?
3.2.nenoteiktais integraalis
3.2.nenoteiktais integraalis
Maija Liepa
?
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
Maija Liepa
?
1.augst¨¡ku k¨¡rtu atvasin¨¡jumi un diferenci¨¡?i
1.augst¨¡ku k¨¡rtu atvasin¨¡jumi un diferenci¨¡?i
Maija Liepa
?
Transport
Transport
Maija Liepa
?
Romanian students 20
Romanian students 20
Maija Liepa
?
V. levski burgas
V. levski burgas
Maija Liepa
?
Atmospheric pollution bulgaria, bourgas
Atmospheric pollution bulgaria, bourgas
Maija Liepa
?
Activities v. levski burgas
Activities v. levski burgas
Maija Liepa
?
Global warming sl
Global warming sl
Maija Liepa
?
Energy consumption in slovenia and at etr? 1
Energy consumption in slovenia and at etr? 1
Maija Liepa
?
The arithmetic and geometric progression
The arithmetic and geometric progression
Maija Liepa
?
Programmas izstr¨¡des posmi
Programmas izstr¨¡des posmi
Maija Liepa
?
3.2.nenoteiktais integraalis
3.2.nenoteiktais integraalis
Maija Liepa
?
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
Maija Liepa
?
1.augst¨¡ku k¨¡rtu atvasin¨¡jumi un diferenci¨¡?i
1.augst¨¡ku k¨¡rtu atvasin¨¡jumi un diferenci¨¡?i
Maija Liepa
?
Romanian students 20
Romanian students 20
Maija Liepa
?
Atmospheric pollution bulgaria, bourgas
Atmospheric pollution bulgaria, bourgas
Maija Liepa
?
Activities v. levski burgas
Activities v. levski burgas
Maija Liepa
?
Energy consumption in slovenia and at etr? 1
Energy consumption in slovenia and at etr? 1
Maija Liepa
?
Ad

1.2.funkcijas p¨¥t¨©?ana

  • 2. ? Defin¨©cijas apgabals, p¨¡rtraukuma punkti un nep¨¡rtraukt¨©bas interv¨¡li. ? P¨¡ra, nep¨¡ra vai periodiska funkcija. ? Krustpunkti ar koordin¨¡tu as¨©m. ? Funkcijas pozit¨©v¨¡s, negat¨©v¨¡s v¨¥rt¨©bas. ? Monotonit¨¡tes interv¨¡li, ekstr¨¥mi. ? Grafika izliekuma un ieliekuma interv¨¡li, p¨¡rliekuma punktu koordin¨¡tas. ? Grafika asimptotas.
  • 3. Interv¨¡l¨¡ augo?a funkcija ? Funkciju y = f(x) sauc par augo?u interv¨¡l¨¡ [a; b], ja katrai liel¨¡kai argumenta v¨¥rt¨©bai no ?¨© interv¨¡la atbilst liel¨¡ka funkcijas v¨¥rt¨©ba, t.i., jebkuriem x1, x2 [a; b] no nevien¨¡d¨©bas x1 < x2 izriet nevien¨¡d¨©ba f(x1) < f(x2). T¨¡d¨¥j¨¡di, ja x1 < x2, tad argumenta pieaugums x = x2 ¨C x1 un funkcijas pieaugums y = f(x2) ¨C f(x1) abi ir pozit¨©vi un to attiec¨©ba ir pozit¨©va y 0 x
  • 4. Interv¨¡l¨¡ augo?a funkcija ? Patst¨¡v¨©gi. ? Viens no m¨¡jas darba uzdevumiem.
  • 5. Aug?anas un dil?anas nepiecie?am¨¡ paz¨©me ? Ja interv¨¡l¨¡ (a; b) diferenc¨¥jama funkcija y = f(x) ir augo?a, tad jebkur¨¡ ?¨© interv¨¡la punkt¨¡ f ¡¯(x) 0. ? Dil?anas paz¨©me ¨C m¨¡j¨¡s.
  • 6. Funkcijas monotonit¨¡tes interv¨¡lu atra?ana ? J¨¡atrod funkcijas f ¡¯(x) atvasin¨¡jums. ? Nosaka punktus, kuros f ¡¯(x) ir vien¨¡ds ar nulli vai neeksist¨¥. ? ?os punktus sauc par funkcijas kritiskajiem punktiem. Kritiskie punkti sadala funkcijas f(x) defin¨©cijas apgabalu interv¨¡los, kuros f ¡¯(x) nemaina z¨©mi ¨C monotonit¨¡tes interv¨¡los. ? Katr¨¡ ieg¨±taj¨¡ interv¨¡l¨¡ j¨¡nosaka f ¡¯(x) z¨©me. ? Ja f ¡¯(x) > 0, tad tas ir funkcijas aug?anas interv¨¡ls. Ja f ¡¯(x) < 0, tad tas ir funkcijas dil?anas interv¨¡ls.
  • 7. Funkcijas maksimumi un minimumi ? Pie?em, ka funkcija ir nep¨¡rtraukta interv¨¡l¨¡ (a; b). ?¨© interv¨¡la punktu x0 sauc par funkcijas f(x) maksimuma punktu, ja funkcijas v¨¥rt¨©ba f(x0) ?aj¨¡ punkt¨¡ ir liel¨¡ka nek¨¡ funkcijas v¨¥rt¨©bas visos citos punkta x0 pietiekami mazas apk¨¡rtnes punktos x, t.i., visiem x ¡Ù x0 ir pareiza vien¨¡d¨©ba f(x) < f(x0), ja vien starp¨©bas ©¦x ¨C x0©¦modulis ir pietiekami. ? Minimuma punkts ¨C m¨¡j¨¡s.
  • 8. Ekstr¨¥ma punkti ? Maksimuma un minimuma punktus sauc par ekstr¨¥ma punktiem (extremum lat.v. ¨C gal¨¥js).
  • 9. Ekstr¨¥mu nepiecie?am¨¡ paz¨©me ? Ja diferenc¨¥jamai funkcijai f(x) punkt¨¡ x0 ir ekstr¨¥ms, tad f ¡¯(x0) = 0. ? Punktus, kuros funkcijas f(x) atvasin¨¡jums ir nulle, sauc par funkcijas stacion¨¡rajiem punktiem.
  • 10. Ekstr¨¥mu atra?anas algoritms ? Atrod punktus, kuros y = f(x) atvasin¨¡jums f ¡¯(x) ir vien¨¡ds ar nulli vai neeksist¨¥. ? Izp¨¥ta atvasin¨¡juma f ¡¯(x) z¨©me kritisko punktu apk¨¡rtn¨¥s. ? Ja argumentam, ejot caur kritisko punktu f ¡¯(x), z¨©me main¨¡s un f(x) kritiskaj¨¡ punkt¨¡ ir defin¨¥ta, tad funkcijai f(x) ?aj¨¡ punkt¨¡ eksist¨¥ ekstr¨¥ms ? J¨¡apr¨¥?ina funkcijas v¨¥rt¨©ba ekstr¨¥ma punkt¨¡.
  • 11. ? Ja stacion¨¡raj¨¡ punkt¨¡ f ¡¯¡¯(x) < 0, tad tas ir minimuma punkts. ? Ja stacion¨¡raj¨¡ punkt¨¡ f ¡¯¡¯(x) > 0, tad tas ir maksimuma punkts.
  • 12. Funkcijas grafika ieliekums un izliekums ? Diferenc¨¥jamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc par izliektu, ja tas atrodas zem grafika jebkuras pieskares min¨¥taj¨¡ interv¨¡l¨¡. ? Ieliektas funkcijas grafiks ¨C m¨¡j¨¡s.
  • 13. ? Ja funkcijai f(x) interv¨¡l¨¡ (a; b) eksist¨¥ otr¨¡s k¨¡rtas atvasin¨¡jums un visos interv¨¡la punktos f ¡¯¡¯(x) < 0, tad funkcijas grafiks ir ?aj¨¡ interv¨¡l¨¡ izliekta, ja f f¡¯¡¯(x) < 0, ¡¯¡¯(x) > 0, tad ieliekts. ? Funkcijas grafika punktu, kas atdala grafika izliekto da?u no ieliektas da?as, sauc par grafika p¨¡rliekuma punktu jeb infleksijas punktu.
  • 14. ? Ja punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas y = f(x) grafika p¨¡rliekuma punkts, tad f ¡¯¡¯(x) = 0 vai neeksist¨¥. ? Ox ass punktus, kuros funkcijas f(x) otr¨¡s k¨¡rtas atvasin¨¡jums f ¡¯¡¯(x) ir vien¨¡ds ar nulli vai neeksist¨¥, sauc par otr¨¡s k¨¡rtas kritiskajiem punktiem. ? Ja, argumentam ejot caur punktu x = x0, otr¨¡s k¨¡rtas atvasin¨¡jums f ¡¯¡¯(x) maina z¨©mi, tad punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas f(x) grafika p¨¡rliekuma punkts.
  • 15. P¨¡rliekuma punktu atra?anas algoritms ? Nosaka punktus, kuros funkcijas y = f(x) otr¨¡s k¨¡rtas atvasin¨¡jums f ¡¯¡¯(x) ir vien¨¡ds ar nulli vai neeksist¨¥, t.i., nosaka funkcijas kritiskos punktus. ? Atrod tos kritiskos punktus, kuri funkcijas grafika izliekuma interv¨¡lus atdala no ieliekuma interv¨¡liem un kuros funkcija ir defin¨¥ta. ?ie kritiskie punkti ir p¨¡rliekuma punkti. ? Apr¨¥?ina katra p¨¡rliekuma punkta ordin¨¡tu.
  • 16. Funkcijas y = f(x) grafika p¨¡rliekuma punkti ? Atrod funkcijas atvasin¨¡jumus f ¡¯¡¯(x) un f ¡¯¡¯¡¯(x). ? Uzraksta vien¨¡dojumu f ¡¯¡¯(x) = 0 un atrod ?¨© vien¨¡dojuma visas re¨¡l¨¡s saknes, ieg¨±stot otr¨¡s k¨¡rtas kritiskos punktus. ? Apr¨¥?ina f¡¯¡¯¡¯(x) v¨¥r¨©bas katr¨¡ kritiskaj¨¡ punkt¨¡. ? Atrod tos kritiskos punktus, kuros f ¡¯¡¯¡¯(x) ¡Ù 0. ?iem kritiskajiem punktiem atbilsto?ie funkcijas grafika punkti ir p¨¡rliekuma punkti
  • 17. Funkcijas grafika asmptotas ? Taisni sauc par l¨©nijas y = f(x) asimptotu, ja l¨©nijas punkts M(x; y), tiecoties uz bezgal¨©bu, neierobe?oti tuvojas ?ai taisnei, t.i. att¨¡lums no punkta M l¨©dz taisnei tiecas uz nulli. ? Funkcijas y = f(x) grafikam var b¨±t vertik¨¡las asimptotas, t.i., paral¨¥las Oy asij, un sl¨©pas asimptotas. Pie sl¨©p¨¡m asimptotam pieder ar¨© horizont¨¡las asimptotas.
  • 18. Vertik¨¡l¨¡ asimptota ? Vertik¨¡l¨¡s asimptotas. Ja lim f x a x ? tad taisne x=a ? Ir funkcijas y = f(x) vertik¨¡l¨¡ asimptota.
  • 19. Sl¨©p¨¡ asimptota ? Sl¨©p¨¡s asimptotas vien¨¡dojums ir y = kx + b f x k lim x x b lim x f x kx

Editor's Notes