![绕过原点的轴旋转变换 给定具有单位长的旋转轴 A=[ax,ay,az] 和旋转角 theta, 则 物体绕过原点的 OA 轴 旋转变换的矩阵表示可确定如下： 绕过原点的任意轴旋转 z 其中 表示 M 的转置矩阵。 A ? ? x y o P P’](https://image.slidesharecdn.com/2-120304193400-phpapp01/85/2-45-320.jpg)
![利用上述结果，则 绕任意轴旋转的 变换矩阵可表示为 : 传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋转的变换 。与之相比，这种方法更直观。 其中旋转轴 A=[a x ,a y ,a z ] 为 A x y z P 1 ? ? P 2 x y z P’ 1 ? ? P’ 2](https://image.slidesharecdn.com/2-120304193400-phpapp01/85/2-46-320.jpg)
![曲线的参数表示 空间的一条曲线可以表示成随参数 t 变化的运动点的轨迹，其矢量函数为： P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的取值范围是 [0,1] 不难写出空间直线和平面上圆的参数表达式：](https://image.slidesharecdn.com/2-120304193400-phpapp01/85/2-52-320.jpg)
![第七章 图[1]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/1-120715164819-phpapp02-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
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第2讲 课件
- 1. 第二讲 图形变换、表示 孙延奎 清华大学计算机系 2012.02.27
- 2. 课程进度 第一讲 (2.20) 导论 （ 6A203 ） 第二讲 (2.27) 图形的表示及其变换、自由曲线造型基础 第三讲 (3.5) 自由曲线曲面造型 第四讲 (3.12) 3DSMAX( 一 ): 界面与对象控制命令 ( 主楼后厅开放实验室 ) 第五讲 (3.19) 3DSMAX( 二 ): 二维、三维造型与修改器 第六讲 (3.26) 3DS MAX （三） : 复合建模 第七讲 (3.31) 3DS MAX （四） : 中级建模之曲线调整——手机制作 第八 讲 (4.9) 三维模型表示 、颜色模型 第九讲 (4.16) 局部光照模型、 着色处理 第十讲 (4.23) 3DS MAX （五） : 材质贴图 第十一讲 (5.7) 3DSMAX （六） : 三维动画制作 第十二讲 (5.14) 全局光照模型 、场景渲染 第十三讲 (5.21) 3DSMAX （七） : 摄影机动画、灯光 第十四讲 (5.28) 3DSMAX （八）： 渲染 - 环境 - 效果 、 粒子系统 第十五讲 (6.4) 课堂交流
- 3. 内容提要 什么是图形变换？ 图形变换有什么作用？ 有哪些基本的二维（叁维）几何变换？ 如何计算组合变换？难点与解决办法 。 小结
- 4. 什么是图形变换？ 图形变换一般是指对图形的 几何信息 经过 几何变换 后产生新的图形。
- 7. 平移变换 缩放（ / 比例）变换 问：绕空间任意一点的缩放（ / 比例）变换如何计算？ 旋转变换 问：绕空间任意一点的旋转变换如何计算？
- 8. 错切变换 对称变换
- 10. 预备知识 世界坐标系 矢量运算 矩阵运算
- 11. 世界坐标系 世界坐标系（ WC ）也称为自然坐标系 ： 用户定义自己的图形时所采用的坐标系。它的常用形式为二维笛卡儿坐标系和三维笛卡儿坐标系（右手系）。 它的坐标为实数，范围从负无穷到正无穷。
- 12. 矢量运算 坐标空间中的点用 (x,y) 或 (x,y,z) 表示。 x y ? (x,y ） O 用 (x,y) 同时表示点坐标或矢量，从上下文可以区分 P1 P2 矢量是表示空间的点位置和空间方向的数学工具。
- 13. 矢量运算及其几何意义 矢量和 ( 二维和三维 ) 矢量点积
- 15. 矩阵运算 矩阵加法 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C 矩阵乘法 A(BC)=(AB)C (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB 转置矩阵 正交矩阵 对方阵 A ，若 AA T =A T A=I, 则称 A 为正交矩阵。
- 16. ※ 平移变换 x y ? P ? P ' 令 T ＝（ t x , t y ） t x —— 沿 x 方向平移量 t y —— 沿 y 方向平移量 x ' ＝ x ＋ t x y ' ＝ y ＋ t y (x ' , y ' ) ＝ (x, y) ＋ (t x ， t y ) 矩阵表示： P ' ＝ P ＋ T T 性质： 1 ）改变位置而不改变大小与方向； 2 ）连续平移变换？ 二维基本几何变换的数学描述
- 17. ※ 相对坐标原点 的比例变换 矩阵表示： P ' ＝ P ·S 性质：将图形在坐标轴方向上放大或缩小。 连续比例变换？ 三种情况
- 18. ※ 绕原点 的旋转变换 约定： 逆时针旋转时角度为正；顺时针旋转时角度为负。 矩阵表示： P ' ＝ P ·R 另一种表示 ： 性质： 作用？ 连续旋转变换？ ? ? （ x,y) (x ' ,y ' ) x y O
- 19. ?
- 20. ※ 错切变换 沿 x 轴方向的错切变换关系为： 矩阵乘法形式为： 沿 y 轴方向的错切变换的矩阵乘法是什么？ 作用：将原来平行于 y 轴的线向 x 方向错切成与 x 轴成一定角度的线。
- 21. ※ 对称变换 又称反射变换或镜像变换。对称于 y 轴的对称变换关系为： 矩阵乘法形式为： 类似的，可以写出对于 x 轴、原点及 +45 度、 -45 度线的对称变换。
- 22. 坐标变换点不是原点时的几何变换 平面上绕 任意点 的旋转变换 给出 P 绕 P0 点旋转某个角度的变换方法，如何用基本几何变换的组合实现？ P 0 P
- 23. 平面上绕 任意点 的错切变换 给出上 图所示的“ X” 形图形对于 中间交叉点 沿 X 坐标方向错切的 变换方法。如何用基本几何变换的组合实现？
- 24. 组合变换计算举例 例 1 . 对下图所示的“ X” 形图形进行一系列的变换，求变换后的结果 。 变换的步骤如下： （ 1 ）首先，作偏移量为 (-5,-6) 的平移变换； （ 2 ）然后，作 a=0.4 的沿 x 轴的错切变换； （ 3 ）最后，作偏移量为 (5,6) 的平移变换
- 25. 计算举例 计算步骤 ：端点 1~8 的坐标分别为：（ 1,11 ）、（ 3,11 ）、 （ 7,11 ）、 （ 9,11 ）、 （ 1,1 ）、 （ 3,1 ）、 （ 7,1 ）、 （ 9,1 ） (1) 平移变换 (2) 错切变换 (3) 平移变换 变换过程直观描述？
- 26. 计算举例 计算结果： （ 3,11 ）、 (5,11) 、 (9,11) 、 (11,11) 、 (-1,1) 、 (1,1) 、 (5,1) 、 (7,1) 将这些点按照原有关系连成线段，即得到最后变换的结果。如下图 b 所示。
- 27. 如何高效地计算组合变换？ 存在的问题 能否统一以上各种变换的表达式， 使它们都变成矩阵乘法运算？
- 28. 如何用矩阵乘法表示平移变换？ 解决方法 ? 普通坐标 齐次坐标 ( x, y ) ( xw , yw , w ) ( 2, 3, 1 ) ( 2, 3 ) ( 4, 6, 2 ) ( 6, 9, 3 ) 取 w ＝ 1: ( x , y ) ( x , y, 1 ) （ W 是不为零的比例因子） 规范化齐次坐标
- 29. ※ 平移变换 设 P ‘ 和 P 依次表示 (x ’ ,y ‘ ) 和 (x,y) 的规范化齐次坐标 矩阵表示：
- 30. ※ 相对原点的比例变换 矩阵表示： ※ 绕原点的旋转变换 矩阵表示： 类似地，可写出错切变换、对称变换的齐次坐标矩阵表示。
- 31. 计算举例 例 2 . 例 1 的另一种算法。 相应于步骤（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）的平移变换、 错切变换、 平移变换的几何变换矩阵为： 变换结果： 图形旧点集 x 变换矩阵 -> 图形新点集
- 32. 齐次坐标的作用 齐次坐标的基本思想是将 n 维空间的几何问题转换到 n+1 维中去解决 . 在图形变换中的作用：能够统一基本变换的表示形式，使得图形的组合变换可以快速地计算。
- 33. 其它练习 写出以平面上任意固定点 (xf,yf) 做比例变换 (sx,sy) 的变换矩阵。 写出以平面上任意固定点 (xf,yf) 旋转 theta 角的变换矩阵。
- 34. 从变换功能上 T 2D 可分为四个子矩阵，其中： 对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换； 对图形进行投影变换； i 对整体图形做缩放变换。 二维变换矩阵的功能模块 ( c f ) 对图形进行平移变换；
- 35. 除影响投影效果的元素外即当 g=h=0 时，变换矩阵具有以下性质 ： 变换前图形上的每一点，在变换后的图形上都有一确定的对应点，如原来直线上的中点变换为新直线的中点。 平行直线变换后仍保持平行，相交直线变换后仍相交。 ? 变换前直线上的线段比等于变换后对应的线段比。
- 37. 1) 平移变换 若空间平移量为 (t x , t y , t z ) ，则平移变换为 P ( x,y,z ) ? P’ ( x’,y’,z’ ) x y z
- 38. 2) 比例变换 ① 相对坐标原点的比例变换 一个点 P=( x,y,z ) 相对于坐标原点的比例变换的矩阵可表示为 x y z 其中 为正值。
- 39. ② 相对于所选定的固定点的比例变换 z x y ? （ x f ,y f ,z f ) (1) (2) (3) z x y ? （ x f ,y f ,z f ) z x y ? （ x f ,y f ,z f ) z x y ? （ x f ,y f ,z f )
- 40. ３） 旋转变换 三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。 除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴 。 若以坐标系的三个坐标轴 x,y,z 分别作为旋转轴，则图形中的各点实际上只在垂直于坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。 规定在右手坐标系中 , 物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。
- 41. 绕 z 轴旋转 z 绕 x 轴旋转 ① 绕坐标轴旋转 x y x y z
- 42. 绕 y 轴旋转 x y z
- 43. 物体绕平行于某一坐标轴（如 x 轴）的旋转变换。 (a) (b) y (c) x z (d) 基本步骤？ y x y z x y z x z
- 44. ② 绕任意轴旋转变换 基本步骤？ 绕过原点的轴旋转有两种方法，一是转化为一系列绕坐标轴旋转变换的组合变换；另一种是特殊的相对简单一种计算方法。 x y z P 1 ? ? P 2 x y z P’ 1 ? ? P’ 2 x y z P 1 ? ? P 2
- 45. 绕过原点的轴旋转变换 给定具有单位长的旋转轴 A=[ax,ay,az] 和旋转角 theta, 则 物体绕过原点的 OA 轴 旋转变换的矩阵表示可确定如下： 绕过原点的任意轴旋转 z 其中 表示 M 的转置矩阵。 A ? ? x y o P P’
- 46. 利用上述结果，则 绕任意轴旋转的 变换矩阵可表示为 : 传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋转的变换 。与之相比，这种方法更直观。 其中旋转轴 A=[a x ,a y ,a z ] 为 A x y z P 1 ? ? P 2 x y z P’ 1 ? ? P’ 2
- 47. 图形的表示 规则图形 抛物线、圆、椭圆、双曲线等 引入自由曲线曲面造型的必要性 显式、隐式与参数表示
- 49. ?
- 50. 二次曲面显式或隐式表示的优点 ? 计算曲面法向 （ df/dx,df/dy/df/dz ） ? 判定一个点是否在曲面上 ? 计算曲面与其它曲面的交点
- 51. 二次曲面显式或隐式表示的缺点 ? 显式表示的斜率问题 隐式表示可以处理斜率问题 , 但有局限性 : ? 只适合表达简单、规则的曲线曲面
- 52. 曲线的参数表示 空间的一条曲线可以表示成随参数 t 变化的运动点的轨迹，其矢量函数为： P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的取值范围是 [0,1] 不难写出空间直线和平面上圆的参数表达式：
- 54. 用参数表示曲线的优点 （ 1 ）可以处理无穷大的斜率。 （ 2 ）可以处理多值曲线。 （ 3 ）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。 （ 4 ） 易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计算。
- 55. 引入自由曲线曲面造型的必要性 曲线和曲面造型在 CAD/CAM 、机械设计、汽车和飞机制造等领域有着广泛的应用。由于几何外形设计的要求越来越高 , 传统的（规则）曲线曲面表示方法 , 已不能满足用户的需求。为此，人们引入了自由曲线曲面的造型方法。
- 56. 自由曲线曲面的研究对象 计算机辅助设计中，使用最多的是 参数多项式 曲线、曲面 方便、灵活 任一光滑曲线都可用多项式曲线无限逼近
- 58. ?
- 59. 三次多项式曲线 可以证明， 三次多项式曲线是能够描述非平面曲线的最低次多项式曲线 . 我们将重点介绍三次多项式曲线的交互构造方法： Bezier 曲线、 B- 样条曲线
- 60. 联系信息 系与班号： 学号： 姓名 : 联系电话 : 包括手机与宿舍电话 Email 地址 : 曾学过 Autocad 、 3DSMAX 等软件吗？ 希望和建议：
- 61. 小结 基本几何变换的类型 组合变换及其计算 齐次坐标的作用 绕任意轴旋转的三维坐标变换的计算 曲线曲面的三种表示 多项式参数曲线
- 62. 课后作业 祥见网络学堂 1. 已知三角形各顶点坐标为 (10, 10), (10, 30), (30, 15), 试分别对其进行下列变换： (1) 沿 x 向平移 20 ，沿 y 向平移 15 ，再绕原点旋转 90° 。 (2) 绕原点旋转 90° ，再沿 x 向平移 20 ，沿 y 向平移 15 。 写出变换矩阵。 2. 在齐次坐标中，写出下列三维变换的变换矩阵； (1) 图形对于原点的对称变换 (2) 图形对于 z = 3 平面的对称变换 (3) 保持点 (5, 2, -2) 固定，图形 x 向放大 2 倍， y 向放大 3 倍 (4) 图形绕过点 (0, 0, 1) 和点 (-2, -2, -2) 的直线旋转 45° 说明：对（ 4 ），由于计算复杂，写出正确的计算公式即可。