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11.第十一章用惭补迟濒补产计算多元函数的积分

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Xin Zheng
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第十一章 用 MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的 积分限，便可在 MATLAB 中通过多次使用 int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域 ? 是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难 ， 此时，可以借助 MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出 ? 的三维立体图，然后执行 命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使 ? 的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将 ? 的图形向三 个坐标平面进行投影： view(0,0),向 XOZ 平面投影； view(90,0),向 YOZ 平面投影； view(0,90),向 XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例 11.6.1 计算 ∫∫∫ zdv ，其中 ? 是由圆锥曲面 z ? 2 = x 2 + y 2 与平面 z=1 围成的闭区域 解 首先用 MATLAB 来绘制 ? 的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on↙ 然后用下述命令就可以将平面 z=1 与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到 ? 的三维图形如图:
由该图很容易将原叁重积分化成累次积分： 1 1? y 2 1 ∫∫∫ zdv = ∫ dy ∫ ? ?1 ? 1? y 2 dx ∫ x2 + y 2 zdz 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all↙ syms x y z↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi π 计算结果为 4 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积 分，因此可完全类似的使用 int 命令进行计算，并可用 diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例 11.6.2 用 MATLAB 求解教材例 11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用 factor 命令进行合并化简： factor（ans） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例 11.6.3 用 MATLAB 求解教材例 11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙
z2y=diff(z2,y); ↙ f1=f*sqrt(1+z1x^2 +z1y^2); ↙ f2=f*sqrt(1+z2x^2 +z2y^2); ↙ fy=int(f1+f2,x,-sqrt(1-y^2), -sqrt(1-y^2)); ↙ factor(intt(fy,y,-1,1)) ↙ ans= 1/2*pi*(2^(1/2)+1) 计算结果为 π ( 2 + 1). 2
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  • 2. 由该图很容易将原叁重积分化成累次积分： 1 1? y 2 1 ∫∫∫ zdv = ∫ dy ∫ ? ?1 ? 1? y 2 dx ∫ x2 + y 2 zdz 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all↙ syms x y z↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi π 计算结果为 4 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积 分，因此可完全类似的使用 int 命令进行计算，并可用 diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例 11.6.2 用 MATLAB 求解教材例 11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用 factor 命令进行合并化简： factor（ans） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例 11.6.3 用 MATLAB 求解教材例 11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙
  • 3. z2y=diff(z2,y); ↙ f1=f*sqrt(1+z1x^2 +z1y^2); ↙ f2=f*sqrt(1+z2x^2 +z2y^2); ↙ fy=int(f1+f2,x,-sqrt(1-y^2), -sqrt(1-y^2)); ↙ factor(intt(fy,y,-1,1)) ↙ ans= 1/2*pi*(2^(1/2)+1) 计算结果为 π ( 2 + 1). 2