More Related Content
What's hot (20)
Viewers also liked (16)
Similar to 3 อนุกรมลྺคณิต (20)
More from Toongneung SP (20)
3 อนุกรมลྺคณิต
- 1. อนุกรม ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำึϸบ เรียกว่ำ อนุกรม (series) และผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำึϸบ จำกัด ..., na เขียนในรูปของ จะเรียกผลรวมของพจน์ทุกพจน์ของ ลำึϸบจำกัดว่ำ อนุกรมจำกัด ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนอนุกรมจำกัดของลำึϸบจำกัดต่อไปนี้ (1) (2) (3) (4) วิธีทำ (1) เป็นอนุกรมจำกัดของลำึϸบ (2) เป็นอนุกรมจำกัดของลำึϸบ (3) เป็นอนุกรมจำกัดของลำึϸบ (4) 3 3 3 1 2 3 ... เป็นอนุกรมจำกัดของลำึϸบ ... 1a , 2a , 3a , 1 2 3 na a a ... a 12, 9, 6, 3 1, 3, 9, 27, 81 1 , 2 2 1 , 2 3 1 , 2 4 1 , 2 5 1 , 2 6 1 , 2 7 1 2 3 1 , 3 2 , 3 3 , ..., 3 10 12 9 6 3 12, 9, 6, 3 1 3 9 27 81 12, 9, 6, 3 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 , 2 2 1 , 2 3 1 , 2 4 1 , 2 5 1 , 2 6 1 , 2 7 1 2 3 1 , 3 2 , 3 3 , nS 1 2 3 na a a ... a ข้อตกลง ถ้ำ 1a , 2a , 3a , ..., na เป็นลำึϸบจำกัด ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรม 1 2 3 na a a ... a เขียนด้วยด้วย 5S นั่นคือ 5S 1 2 3 4 5a a a a a ในทำนองเดียวกัน ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรม 1 2 3 na a a ... a เขียนด้วยด้วย 6S นั่นคือ 6S 1 2 3 4 5 6a a a a a a ในกรณีทั่วไป จะเขียนแทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมด้วย nS นั่นคือ nS 1 2 3 na a a ... a จำกข้อตกลงนี้จึงได้ว่ำ 1S 1a 2S 1 2a a 3S 1 2 3a a a . . .
- 2. ตัวอย่ำงที่ 2 กำหนดลำึϸบจำกัด (1) จงเขียนอนุกรมของลำึϸบนี้ (2) จงหำผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมในข้อ (1) (3) จงหำผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมในข้อ (1) วิธีทำ (1) เป็นอนุกรมจำกัด (2) ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมในข้อ (1) (3) ผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมในข้อ (1) 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 2 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 2 10 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 55 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385 ข้อตกลง 1. เพื่อควำมสะดวก ต่อไปนี้จะเขียนอนุกรมจำกัดที่มีหลำยพจน์ โดยเขียนเฉพำะ 3 พจน์แรก และ พจน์สุดท้ำย โดยละพจน์อื่นๆ ไว้ในฐำนที่เข้ำใจ เช่น ในตัวอย่ำงที่ 2 ข้อ (1) จะเขียนอนุกรม 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ย่อๆ เป็น 2 2 2 2 1 2 3 ... 10 2. อนุกรมที่เกิดจำกลำึϸบเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมลྺคณิต และอนุกรมที่เกิดจำกลำึϸบเรขำคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเรขำคณิต
- 3. กำรหำผลบวกของอนุกรมจำกัด กำรหำผลบวกของอนุกรมจำกัด สำมำรถหำด้วยวิธีหำผลบวกตำมปกติได้ แต่กรณีที่อนุกรมจำกัดนั้นมี หลำยๆ พจน์ กำรหำผลบวกของอนุกรมด้วยวิธีหำผลบวกตำมปกติจะไม่สะดวก พิจำรณำผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้ (1) 3 5 7 9 11 (2) 1 1 1 4 2 1 2 4 8 (3) 1 1 1 1 1 1 4 2 1 2 4 8 16 32 64 จะเห็นได้ว่ำ ผลบวกของอนุกรม 3 5 7 9 11 หำด้วยวิธีหำผลบวกปกติได้เท่ำกับ 35 ซึ่งหำได้ ง่ำยๆ ผลบวกของอนุกรม 1 1 1 4 2 1 2 4 8 32 16 8 4 2 1 8 63 8 ผลบวกของอนุกรม 1 1 1 1 1 1 4 2 1 2 4 8 16 32 64 256 128 64 32 16 8 4 2 1 63 511 63 จะเห็นว่ำ ในบำงกรณีผลบวกของอนุกรมที่มีจำนวนพจน์หลำยๆ พจน์ จะหำผลบวกตำมปกติไม่ สะดวก ต้องหำผลบวกด้วยวิธีคำนวณจำกสูตร ในหัวข้อนี้ จะกล่ำวถึงกำรหำผลบวกด้วยวิธีคำนวณจำกสูตรเฉพำะของอนุกรมลྺคณิตและอนุกรม เรขำคณิต ดังนี้
- 4. อนุกรมลྺคณิต อนุกรมที่ได้จำกลำึϸบเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมลྺคณิต และเรียกผลต่ำงร่วมของลำึϸบ เลขคณิต ว่ำเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมลྺคณิต เช่น เป็นลำึϸบเลขคณิต มีค่ำ เป็นอนุกรมลྺคณิต มีค่ำ กำรหำผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมนี้ (มีทั้งหมด 5 พจน์) ทำได้อีกวิธีหนึ่ง ดังนี้ เนื่องจำก ดังนั้น ในกรณีของกำรหำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมลྺคณิต จะหำได้ดังนี้ จำก และ จะได้ ------------ d 3, 5, 7, 9, 11 d 2, 1a 3, 5a 11 3 5 7 9 11 d 2, 1a 3, 5a 11 3 5 7 9 11 11 9 7 5 3 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 5 14 3 5 7 9 11 5 14 2 35 n nS 1 2 3 n 2 n 1 na a a ... a a a n 1a a n 1 d nS 1 1 1 1 1a a d a 2d ... a n 3 d a n 2 d 1a n 1 d อนุกรมที่ได้จำกลำึϸบเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมลྺคณิต และเรียกผลต่ำงร่วมของลำึϸบเลขคณิต ว่ำเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมลྺคณิต สูตร อนุกรมลྺคณิต หรือ d nS 1 n 2a n 1 d 2 nS 1 n n a a 2
- 5. จำก สำมำรถเขียน ในรูปผลบวกของพจน์ที่ เรียงตำมลำึϸบไปถึงพจน์ที่ 1 ได้เป็น ------------ นำ จะได้ ดังนั้น ---------- (สูตรที่ 1) เรำสำมำรถแปลงสูตรที่ 1 ให้ง่ำยยิ่งขึ้น โดยใช้สูตร แทนในสูตรที่ 1 ดังนี้ จำก จะได้ ดังนั้น ---------- (สูตรที่ 2) nS n nS 1 1 1a n 1 d a n 2 d a n 3 d ... 1 1 1a 2d a d a n nS S 1 1 1 1a a (n 1)d a d a n 2 d 1 1 1 1a 2d a n 3 d ... a n 3 d a 2d 1 1 1 1a n 2 d (a d) a n 1 d a n2S 1 1 12a n 1 d 2a d nd 2d 2a 2d nd 2d ... 1 1 12a nd 3d 2d 2a nd 2d d 2a n 1 d n2S 1 1 12a n 1 d 2a n 1 d 2a n 1 d ... 1 1 12a n 1 d 2a n 1 d 2a n 1 d n2S 1n 2a n 1 d n 1a a n 1 d nS 1 n 2a n 1 d 2 nS 1 1 n a a n 1 d 2 nS 1 n 2a n 1 d 2 nS 1 n n a a 2
- 6. ตัวอย่ำงที่ 1 จงหำผลบวกของอนุกรมลྺคณิตต่อไปนี้ (1) (2) (3) วิธีทำ (1) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้ ผลบวก วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; จะได้ ผลบวก (2) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้ ผลบวก วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; 10a 47 จะได้ ผลบวก 3 5 7 9 11 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 4 5 7 8 10 11 13 14 1 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 7 9 11 35 nS 1 n n a a 2 n 5, 1a 3, 5a 11 5S 5 3 11 2 5 14 2 35 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 245 nS 1 n n a a 2 n 10, 1a 2, 10S 10 2 47 2 5 49 245
- 7. (3) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้ ผลบวก วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; จะได้ ผลบวก ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมที่กำหนดค่ำ และ ให้ดังนี้ (1) (2) (3) วิธีทำ (1) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ จำก จะได้ วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ 4 5 7 8 10 11 13 14 1 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 102 3 34 nS 1 n n a a 2 n 12, 1a 1, 12 14 a 3 12S 12 14 1 2 3 17 6 3 34 1a d 1a 3, d 2 1a 2, d 5 1a 8, d 2 nS 1 n n a a 2 8a 1a 7d 3 7 2 17 8S 1 8 8 a a 2 8 3 17 2 80 nS 1 n 2a n 1 d 2 5S 8 2 3 8 1 2 2 4 6 14 80
- 8. (2) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ จำก จะได้ วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ (3) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ จำก จะได้ วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ nS 1 n n a a 2 8a 1a 7d 2 7 5 37 8S 1 8 8 a a 2 8 2 37 2 156 nS 1 n 2a n 1 d 2 5S 8 2 2 8 1 5 2 4 4 35 156 nS 1 n n a a 2 8a 1a 7d 8 7 2 6 8S 1 8 8 a a 2 8 8 6 2 8 nS 1 n 2a n 1 d 2 5S 8 2 8 8 1 2 2 4 16 14 8
- 9. ตัวอย่ำงที่ 3 จงหำผลบวกของอนุกรม วิธีทำ อนุกรมนี้มี จะต้องหำค่ำ จำก จะได้ จำก หำผลบวกของ หรือหำ จำก จะได้ ตัวอย่ำงที่ 4 กำหนดให้อนุกรมลྺคณิตมีพจน์ที่ 2 เท่ำกับ 10 และมีผลต่ำงร่วมเท่ำกับ จงหำ และ วิธีทำ กำหนด และ จำก จะได้ จำก จะได้ และ ดังนั้น และ 5 9 13 17 ... 81 1a 5, na 81, d 4 n na 1a n 1 d 81 5 n 1 4 81 5 4n 4 n 20 n 20 5 9 13 17 ... 81 20S nS 1 n n a a 2 20S 20 5 81 2 860 3 15S 20S 2a 10 d 3 na 1a n 1 d 10 1a 2 1 3 10 1a 3 1a 7 nS 1 n 2a n 1 d 2 15S 15 2 7 15 1 3 2 15 14 42 2 420 20S 15 2 7 20 1 3 2 15 14 57 2 710 15S 420 20S 710
- 10. ตัวอย่ำงที่ 5 กำหนดให้อนุกรมลྺคณิตมีพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 9 เท่ำกับ และ ตำมลำึϸบ จงหำผลบวก 20 พจน์แรก วิธีทำ กำหนด และ จำก ----------- ----------- ; แทนค่ำ ลงใน จะได้ จำก ดังนั้น ผลบวก 20 พจน์แรก คือ ตัวอย่ำงที่ 6 จงหำผลบวกของจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ ถึง วิธีทำ เนื่องจำก เป็นอนุกรมลྺคณิตที่มี จำก จำก จะได้ ดังนั้น ผลบวกของจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ ถึง เท่ำกับ 19 35 5a 19 9a 35 na 1a n 1 d 5a 1a 5 1 d 19 1a 4d 9a 1a 9 1 d 35 1a 8d 16 4d d 4 d 4 19 1a 4(4) 1a 3 20a 1a 19d 3 19(4) 79 20S 1 20 20 a a 2 10 3 79 820 9 251 9 11 13 ... 251 1a 9, d 2 na 1a n 1 d 251 9 n 1 2 251 9 2n 2 n 244 2 122 nS 1 n n a a 2 122S 122 9 251 2 15,860 9 251 15,860
- 11. ตัวอย่ำงที่ 7 ผู้รับเหมำก่อสร้ำงคนหนึ่งนำปูนซีเมนต์วำงซ้อนกันเป็นชั้นๆ ถ้ำเขำวำงปูนซีเมนต์ไว้ชั้นล่ำงสุด ถุง และวำงปูนซีเมนต์ไว้ชั้นบนสุดจำนวน 24 ถุง โดยให้แต่ละชั้นที่สูงขึ้นมีปูนซีเมนต์ลดลงชั้นละ ถุง เสมอ จงหำว่ำ (1) ปูนซีเมนต์กองนี้มีกี่ชั้น (2) ปูนซีเมนต์กองนี้มีทั้งหมดกี่ถุง วิธีทำ (1) ถ้ำเรียงจำนวนถุงปูนซีเมนต์จำกบนลงล่ำงจะได้อนุกรมนี้ คือ โดยที่ จำก จะได้ 100 ดังนั้น ปูนซีเมนต์กองนี้มี ชั้น (2) จำนวนถุงทั้งหมดของปูนซีเมนต์กองนี้ คือ หรือ จำก จะได้ ดังนั้น ปูนซีเมนต์กองนี้มีทั้งหมด ถุง 100 4 24 28 32 ... 100 1a 24, d 4 na 1a n 1 d 100 24 n 1 4 24 4n 4 4n 80 n 20 20 24 28 32 ... 100 20S nS 1 n n a a 2 20S 20 24 100 2 1,240 1,240