Analisis Vektor
- 1. Elektromagnetika I Bab I: Analisis Vektor (Vektor dan Sistem Koordinat)
- 2. MMR/KRU Aljabar Vektor Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai Contoh : Temperatur, laju, jarak, dll Vektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arah Contoh : Medan listrik, medan magnet, Gaya, kecepatan, posisi, percepatan, dll
- 3. MMR/KRU Aljabar Vektor Notasi Vektor A ditulis dengan A atau AAA rr = dengan A r adalah besar vektor A atau panjang vektor A A adalah unit vektor A atau vektor satuan searah A Vektor satuan atau unit vektor menya- takan arah vektor, besarnya satu
- 4. MMR/KRU Sistem Koordinat Lebih mudah menuangkan konsep vektor menggunakan sistem koordinat Tiga sistem koordinat : - Koordinat Cartesius - Koordinat Silinder - Koordinat Bola
- 5. MMR/KRU Koordinat Cartesius Koordinat Cartesius tersusun atas tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus masing-masing sumbu x, y, dan z adalah vektor satuan searah sumbu x, sumbu y, dan Sumbu z zyx aaa ,, xa za y x z ya
- 6. MMR/KRU Koordinat Cartesius Dalam koord. Cartesius sembarang vektor A ditulis Ax, Ay, Az adalah komponen vektor A dalam arah sb x, sb y, dan sb z zzyyxx aAaAaAA ++= r yA y x z A r xA zA
- 7. MMR/KRU Koordinat Cartesius Besar vektor A ditulis 222 zyx AAAA ++= r Unit vektor A atau vektor satuan searah A ditulis 222 zyx zzyyxx AAA aAaAaA A A A ++ ++ == r r
- 8. MMR/KRU Contoh 1 Vektor A berpangkal di (0,0,0) dan memiliki komponen 2 ke arah x, 3 ke arah y, dan 4 ke arah z. Vektor A dapat ditulis: A = 2 ax + 3 ay + 4 az.
- 9. MMR/KRU Contoh 2 Vektor B berpangkal di (3,0,0) dan memiliki komponen 1 ke arah x, -2 ke arah y, dan 4 ke arah z. Vektor B dapat ditulis: B = ax + -2 ay + 4 az.
- 11. MMR/KRU Pada sistem koordinat kartesian, suatu vektor tidak tergantung titik pangkal dari vektor tersebut. Atau dengan kata lain, pada sistem koordinat kartesian, vektor adalah independen dengan titik pangkalnya.
- 12. MMR/KRU Soal Titik A terletak dalam koordinat Carte- sius (3,4,5), semua koordinat dalam meter. Tentukan : Gambar vektor posisi A Penulisan vektor posisi A Besar vektor A Unit vektor searah A
- 13. MMR/KRU Koordinat Cartesius Elemen kecil perpindahan (displace- ment infinitesimal) : zyx adzadyadxld ++= r dx dy x y z P2 P1 Lihat jarak P1 ke P2dz
- 14. MMR/KRU Koordinat Cartesius Elemen kecil luas Elemen kecil luas dalam bidang yz yy adxdzdS r = xx adydzdS r = Elemen kecil luas dalam bidang xz Elemen kecil luas dalam bidang xy zz adxdydS r = Elemen kecil volume dxdydzdV =
- 15. MMR/KRU Koordinat Silinder z za a a Dalam koord. Silinder sembarang vektor A ditulis zzaAaAaAA ++= r A, A, Az adalah kompo- nen vektor A dalam arah sb , sb , dan sb z
- 16. MMR/KRU Contoh Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat silinder A= 3a + 2a + az berpangkal di M(2, 0, 0) B= 3a + 2a + az berpangkal di N(2, /2, 0)
- 18. MMR/KRU Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda. Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax +2ay + az. Dan vektor B ekivalen dengan 2ax + 3ay + az.
- 19. MMR/KRU Koordinat Silinder d d dz zadzadadld ++= Elemen kecil perpin- dahan : r Elemen kecil volume dzdddV =
- 20. MMR/KRU Koordinat Silinder Elemen kecil luas adzddS = adzddS = zz adddS =
- 21. MMR/KRU Koordinat Bola x y z 慮 a ra 慮ar r Vektor A ditulis : 慮慮 aAaAaAA rr ++= r Ar, A, A慮 adalah kompo- nen vektor A dalam arah sb r , sb , dan sb 慮
- 22. MMR/KRU contoh Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat bola A= 3ar + a慮 + 2a berpangkal di M(2, /2, 0) B= 3ar + a慮 + 2a berpangkal di N(2, /2, /2)
- 24. MMR/KRU Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda. Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan: 3ax +2ay - az. Dan vektor B ekivalen dengan 2ax + 3ay - az.
- 25. MMR/KRU Koordinat Bola Elemen vektor perpindahan Elemen volume 慮慮 ddrdrdV sin2 = 慮慮 drrdrdld sin++= rr
- 26. MMR/KRU Transformasi Koordinat 1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder (, ,z) zz x y yx = = += 1 22 tan zz yx yx AA AAA AAA = += += cossin sincos
- 27. MMR/KRU Contoh Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak pada bidang kartesian xy. Tentukan : Koordinat titik P pada sistem koordinat Silinder Vektor B dalam koord. Silinder Besar dan arah B pada titik x=3 dan y=4
- 28. MMR/KRU Transformasi Koordinat 2. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, 慮, ) + = = ++= z yx x y zyxr 22 1 1 222 tan tan 慮 慮慮慮 慮慮慮 慮 cossin sincossincoscos cossinsinsincos yx zyx zyxr AAA AAAA AAAA += += ++=
- 29. MMR/KRU Contoh Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor E = (xax+yay+zaz)/(x2+y2+z2)3/2 Tentukan : Koordinat titik P pada sistem koordinat Bola Vektor E dalam koord. Bola
- 30. MMR/KRU Transformasi Koordinat 3. Silinder (, ,z) ke Kartesius (x,y,z) zz y x = = = sin cos 00 sincos = AAAx 00 cossin += AAAy zz AA =
- 31. MMR/KRU Contoh Vektor A= 3a+4a+5az berada pada sistem koordinat silinder dengan titik pangkal di (10,/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian
- 32. MMR/KRU Transformasi Koordinat 4. Bola ke Kartesius (x,y,z) 慮 慮 慮 cos sinsin cossin = = = rz ry rx 慮慮慮 coscos0sincossin 00 += AAArAx 00000 sincoscossinsin 慮慮 慮 ++= AAAA ry 00 sincos 慮慮 = AArAz
- 33. MMR/KRU Contoh Vektor A=3ar+5a慮+4a berada pada sistem koordinat bola dengan titik pangkal di (10,/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian