Banaketa binomiala teoria-
- 1. 1 BANAKETA DISKRETUAK.BANAKETA BINOMIALA 1 Aldagai aleatorioa. Hiru txanpon jaurtiketa esperimentuan lagin espazioaren elementuak emaitza posibleak dira. E = {(A, A, A), (A, A, X), (A, X, A), (A, X, X), (X, A, A), (X, A, X), (X, X, A), (X, X, X)} Aurpegi kopurua irizpidea (aldagai aleatorioa) kontuan harturik, lagin espazioko elementu bakoitzari zenbaki bat esleituko diogu. Zenbaki hauek aldagai aleatorioaren balioak dira. (A, A, A) 3 (X, A, A) 2 (A, A, X) 2 (X, A, X) 1 (A, X, A) 2 (X, X, A) 1 (A, X, X) 1 (X, X, X) 0 Aldagai aleatorioa diskretua da, balio kopuru finitu hartzen badu edo zenbakigarria den multzo baten balio infinituak. Aurreko adibidean adibidez. Aldagai aleatorioa jarraia da, zuzen errealeko tarte batean, infinitu balio hartzen baditu. Ikasleen altuera adibidez. 2 Probabilitate funtzioa. X aldagai aleatorio diskretu baten probabilitate funtzioa , aldagai aleatorio bakoitzari (xi), aldagaiak balio hau hartzeko probabilitatea lotzen dion funtzioa da. Maiztasun banaketetako maiztasun erlatiboaren parekoa da. Aurreko adibidea erabiliz: xi P(X=xi) 1 P(X) 0 1/8 1 3/8 3/8 2 3/8 3 1/8 1/8 0 1 2 3 X
- 2. 2 3 Banaketa binomiala. Demagun esperimentu aleatorio batek honako ezaugarriak dituela: Esperimentuko frogaldi bakoitzak bi aukera ditu: A gertaera (arrakasta) edo A gertaera (porrota). Froga bakoitzaren emaitza, aurrekoarekiko independentea da. A-ren probabilitatea p-ren bidez adierazten da eta A -rena q-ren bidez. q = 1 p Ezaugarri hauek betetzen dituzten esperimentu aleatorioek, banaketa binomialaren eredua betetzen dute. Esperimentuan ateratako arrakasta kopuruari, aldagai aleatorio binomiala deitzen zaio (X). Aldagai hau diskretua da, n frogaldi egin ondoren, 0,1,2,3....n balioak bakarrik har ditzakeelako. n frogaldi egin badira eta p A gertaeraren probabilitatea izanik, banaketa binomiala B(n,p) bezala adierazten da. Suposa dezagun eredu binomiala betetzen duen esperimentu aleatorio batean, n frogaldi egin direla. r arrakasta kopurua lortzeko probabilitatea: 錚n錚 P(r arrakasta lortzea) = P(X=r) = 錚 錚径 p r 揃q n r 錚r 錚 錚 錚 錚n錚 n! Non 錚 錚= 錚 r 錚 r!揃(n r )! 錚 錚 P(X=r), B(n,p) banaketa binomialaren probabilitate funtzioa da. Adibide 1: Eman dezagun txanpon baten alde bat urdinez margotuta dagoela eta beste aldea gorriz. Txanpona trukatuta dago eta urdina ateratzeko probabilitatea 0,4 da. Hamar aldiz jaurti ondoren zein da 4 urdin ateratzeko probabilitatea? Bi emaitza baino ez dira posible: A = {Urdina} A ={Gorria} Ateraldi batean lorturiko emaitzak ez du bigarren ateraldian eraginik; hau da emaitzak independenteak dira. Arrakastaren probabilitatea (Urdina atera) berdina da ateraldi guztietan p = 0,4
- 3. 3 Frogaldi kopurua n = 10 X: 10 frogaldietan lorturiko alde urdinen kopurua X = {0,1,2,3,...,9,10} , aldagai aleatorio diskretua da X B(n, p ) = B(10,0,4) ; hau da, X aldagai aleatorioak n eta p parametrodun banaketa binomiala du. 錚10 錚 10 9 8 7 6! 4 P = (4 urdin ) = P( X = 4 ) = 錚 錚径0,4 4 揃0,6 6 = 10! 錚4 錚 0,4 4 揃0,6 6 = 0,4 揃0,6 6 = 錚 錚 4!揃6! 4!揃6! 10 9 8 7 = 0,4 4 揃0,6 6 = 0,2508 4 3 2 1 (Taulak badaude probabilitate hauek kalkulatzeko). Nola egingo zenukete ariketa hau zuhaitz diagramaren bidez? Zer ikusten duzu? 4 Banaketa binomialaren parametroak. Suposa dezagun banaketa binomial batean froga bakarra egin dugula. Aldagaiaren 0 1 balioa Probabilitatea q p Aldagaiaren batez bestekoa: 袖 = 0揃q + 1揃p = p Bariantza: 2 = (0-p)2揃q + (1-p)2揃p = p2揃q +q2p = pq(p+q) = pq(p+1-p) = pq Desbideratze estandarra: = pq n froga eginez gero: 袖 = np 2 = npq = npq