狠狠撸

U N I T A T 2 : E L C A M P G R A V I T A T O R I
C o n s u e l o B a t a l l a G a r c 铆 a
I N S Va l l d e m o s s a
B a r c e l o n a
F铆sica 2n de Batxillerat

1 . - C o n c e p t e d e c a m p
2 . - C a m p g r a v i t a t o r i c r e a t p e r m a s s e s p u n t u a l s
3 . - R e p r e s e n t a c i 贸 d e l c a m p g r a v i t a t o r i
4 . - C a m p c r e a t p e r u n a d i s t r i b u c i 贸 c o n t 铆 n u a d e
m a s s a
5 . - M o v i m e n t d e l s p l a n e t e s i d e l s s a t 猫 l 路 l i t s
A d r e c e s w e b
B i b l i o g ra f i a
脥ndex

C a m p : r e g i 贸 d e l 鈥� e s p a i e n q u 猫 s 鈥� a p r e c i a l 鈥� e f e c t e
d 鈥� u n a p e r t o r b a c i 贸 .
S e g o n s e l t i p u s d e l a m a g n i t u d q u e d e f i n e i x l a
p e r t o r b a c i 贸 e l s c a m p s p o d e n s e r :
鈥� E s c a l a r s : l a m a g n i t u d q u e m e s u r a l a p e r t o r b a c i 贸
茅 s e s c a l a r . P e r e x e m p l e , u n c a m p d e t e m p e r a t u r e s
o d e p r e s s i o n s .
鈥� V e c t o r i a l s : l a m a g n i t u d q u e m e s u r a l a
p e r t o r b a c i 贸茅 s v e c t o r i a l . P e r e x e m p l e , u n c a m p d e
f o r c e s g r a v i t a t 貌 r i e s o e l 猫 c t r i q u e s .
Concepte de camp

C a m p g r a v i t a t o r i : r e g i 贸 d e l 鈥� e s p a i e n q u 猫 s 鈥� a p r e c i a l a
p e r t o r b a c i 贸 p r o v o c a d a p e r l a m a s s a d 鈥� u n c o s .
P e r q u 猫 e l c a m p e s p o s i d e m a n i f e s t , c a l q u e s 鈥� i n t r o d u e i x i
e n e l c a m p u n a l t r e c o s a m b m a s s a . L a i n t e r a c c i 贸 q u e
s 鈥� o r i g i n a 茅 s u n a f o r 莽 a d 鈥� a t r a c c i 贸 g r a v i t a t 貌 r i a e n t r e e l
c o s q u e c r e a e l c a m p i e l q u e h i i n t r o d u 茂 m .
Camp gravitatori creat per
masses puntuals

C a m p c r e a t p e r u n c o s p u n t u a l d e m a s s a M
C a m p c r e a t p e r u n a d i s t r i b u c i 贸 d e m a s s e s p u n t u a l s
Intensitat del camp gravitatori en un punt
Intensitat del camp gravitatori en un punt, , 茅s la for莽a que el
cos M exerceix sobre el cos de massa unitat que es col路loca en
aquest punt:
La intensitat del camp gravitatori en un punt 茅s la suma
vectorial dels camps que crearien cadascuna d鈥檃questes
masses si estigu茅ssim soles en aquesta regi贸 de l鈥檈spai
(principi de superposici贸).
2
2
r
G
r
GMm
uF GMrg g u
m m r
飦诧伈
飦� 飦� 飦�
2
i
Total i ri
i i i
GM
g g u
r
飦� 飦�

E l t r e b a l l q u e f a n l e s f o r c e s d e l c a m p g r a v i t a t o r i d e p 猫 n d e l p u n t i n i c i a l i d e l
p u n t f i n a l d e l d e s p l a 莽 a m e n t , n o d e l a t r a j e c t 貌 r i a
s e g u i d a . 脡 s u n c a m p c o n s e r v a t i u .
Treball causat per les forces gravitat貌ries
鈥� El treball de les forces del camp gravitatori al llarg d鈥檜na traject貌ria
tancada 茅s zero.
鈥� Si rf < ri 鈫� Wi鈫抐 > 0. El treball de les forces del camp gravitatori 茅s
positiu quan el cos que es despla莽a s鈥檃costa al que crea el camp.
鈥� Si rf > ri 鈫� Wi鈫抐 < 0. El treball de les forces del camp gravitatori 茅s
negatiu quan el cos que es despla莽a s鈥檃llunya del que crea el camp.
2 2
f f f
r
i f
i i i
GMm u GMm
W F dr dr dr
r r
飦诧伈飦� 飦�
2
1 1 1f
i f
i
f i f i
GMm GMm
W GMm dr GMm
r r r r r
i f
f i
GMm GMm
W
r r

L 鈥� e n e r g i a p o t e n c i a l g r a v i t a t 貌 r i a , E p , : e n e r g i a q u e t 茅 u n a m a s s a p e l
f e t d e t r o b a r - s e s o t a l a i n f l u 猫 n c i a g r a v i t a t 貌 r i a d 鈥� u n a a l t r a o d 鈥� u n e s
a l t r e s . T a m b 茅 e s d e f i n e i x c o m e l t r e b a l l q u e h a n d e f e r l e s f o r c e s d e l
c a m p p e r p o r t a r - l a d e s d 鈥� a q u e s t p u n t f i n s a f o r a d e l c a m p a m b
v e l o c i t a t c o n s t a n t :
脡 s u n a m a g n i t u d e s c a l a r . E n e l S I e s m e s u r a e n J o u l e s ( J ) .
Energia potencial gravitat貌ria
conservativos p i f pf pi
f i
GMm GMm
W E W E E
r r
p
GMm
E
r

Q u a n t e n i m u n s i s t e m a f o r m a t p e r d u e s p a r t 铆 c u l e s , e l v a l o r d e l a s e v a
e n e r g i a p o t e n c i a l 茅 s :
S i t e n i m u n s i s t e m a f o r m a t p e r n p a r t 铆 c u l e s , l a s e v a e n e r g i a s e r 脿 l a
s u m a d e l 鈥� e n e r g i a d e t o t e s l e s p a r e l l e s q u e h i p o d e m f o r m a r :
Energia potencial d鈥檜n sistema de part铆cules
1 2
1,2
1,2
p
GM M
E
r
1 2 1 3 2 3
t 1,2 1,3 2,3
1,2 1,3 2,3
p p p
GM M GM M GM M
E E E E
r r r

Q u a n u n c o s d e m a s s a m e s d e s p l a 莽 a d 鈥� u n p u n t a u n a l t r e p u n t d e l
c a m p g r a v i t a t o r i c r e a t p e r u n a m a s s a M , l a s e v a e n e r g i a p o t e n c i a l
v a r i a s e g o n s l 鈥� e x p r e s s i 贸 :
Difer猫ncia d鈥檈nergia potencial
pf pi
f i
GMm GMm
E E
r r
Si el cos de massa m s鈥檃costa al cos que crea el camp (ri > rf):
鈥� El treball que fan les forces del camp 茅s positiu.
鈥� El cos perd energia potencial.
Si el cos de massa m s鈥檃llunya del cos que crea el camp (ri < rf):
鈥� El treball que fan les forces del camp 茅s negatiu. Cal una for莽a exterior perqu猫 es produeixi
el despla莽ament.
鈥� El cos guanya energia potencial.

Q u a n u n s i s t e m a e s t 脿 s o t m 猫 s n o m 茅 s a l 鈥� a c c i 贸 d e f o r c e s c o n s e r v a t i v e s ,
l a s e v a e n e r g i a m e c 脿 n i c a e s c o n s e r v a :
Conservaci贸 de l鈥檈nergia mec脿nica
en un camp gravitatori
M cf pf Ci piE E E E E

P o t e n c i a l e n u n p u n t ( V ) 茅 s l 鈥� e n e r g i a p o t e n c i a l q u e t 茅 l a u n i t a t d e
m a s s a q u a n e s c o l 路 l o c a e n a q u e s t p u n t :
E l p o t e n c i a l 茅 s u n a m a g n i t u d e s c a l a r j a q u e e n c a d a p u n t d e l c a m p ,
e l p o t e n c i a l t 茅 u n v a l o r . L a s e v a u n i t a t e n e l s i s t e m a i n t e r n a c i o n a l e s
J / k g .
E l p o t e n c i a l a l 鈥� i n f i n i t ( f o r a d e l c a m p ) 茅 s z e r o , i e n q u a l s e v o l a l t r e
p u n t d e l c a m p 茅 s n e g a t i u , j a q u e l a f o r 莽 a g r a v i t a t 貌 r i a 茅 s a t r a c t i v a .
Potencial gravitatori en un punt
p
GMm
E GMrV
m m r

Q u a n e n u n a r e g i 贸 d e t e r m i n a d a d e l 鈥� e s p a i s 鈥� a p r e c i a l 鈥� e f e c t e d e
d i v e r s o s p u n t s m a t e r i a l s d e m a s s a M 1 , M 2 , M 3 , e t c . , e l p o t e n c i a l
g r a v i t a t o r i e n u n p u n t P 茅 s l a s u m a d e l s p o t e n c i a l s q u e c r e a r i e n
c a d a s c u n d 鈥� a q u e s t s c o s s o s s i e s t i g u e s s i n t o t s s o l s e n a q u e s t a r e g i 贸 d e
l 鈥� e s p a i ( p r i n c i p i d e s u p e r p o s i c i 贸 ) .
C o m q u e e l p o t e n c i a l 茅 s u n e s c a l a r , e l p o t e n c i a l t o t a l 茅 s l a s u m a
e s c a l a r d e l s p o t e n c i a l s c r e a t s p e r c a d a p u n t m a t e r i a l :
Potencial en un punt causat per una distribuci贸
de masses puntuals
i
Total i
i i i
GM
V V
r

C o n s i d e r a n t d o s p u n t s d 鈥� u n c a m p g r a v i t a t o r i , i i f , l a d i f e r 猫 n c i a d e
p o t e n c i a l e n t r e t o t s d o s , v f 鈭� v i , 茅 s :
L a d i f e r 猫 n c i a d e p o t e n c i a l g r a v i t a t o r i e n t r e d o s p u n t s 茅 s i g u a l i d e
s i g n e c o n t r a r i a l t r e b a l l q u e f a n l e s f o r c e s d e l c a m p p e r t r a s l l a d a r l a
u n i t a t d e m a s s a e n t r e a q u e s t s p u n t s :
鈥� S i r i > r f , 螖 V < 0 . E n a c o s t a r - s e a l c o s q u e c r e a e l c a m p , e l
p o t e n c i a l d i s m i n u e i x .
鈥� S i r i < r f , 螖 V > 0 . E n a l l u n y a r - s e d e l c o s q u e c r e a e l c a m p , e l
p o t e n c i a l a u g m e n t a .
Difer猫ncia de potencial
f i
f i
GM GM
V V V V
r r
i fW
V
m

E l c a m p g r a v i t a t o r i e s p o t r e p r e s e n t a r g r 脿 f i c a m e n t
d e d u e s m a n e r e s :
鈥� L 铆 n i e s d e c a m p .
鈥� S u p e r f 铆 c i e s e q u i p o t e n c i a l s .
Representaci贸 del camp
gravitatori

L e s l 铆 n i e s d e c a m p s 贸 n t a n g e n t s a l v e c t o r i n t e n s i t a t d e c a m p e n c a d a p u n t .
E s d i b u i x e n d e m a n e r a q u e e l n o m b r e d e l 铆 n i e s d e c a m p q u e t r a v e s s e n u n a
u n i t a t d e s u p e r f 铆 c i e p e r p e n d i c u l a r a l e s l 铆 n i e s 茅 s p r o p o r c i o n a l a l a
i n t e n s i t a t d e l c a m p e n e l p u n t .
鈥� S i e l c a m p 茅 s c r e a t p e r u n a 煤 n i c a m a s s a p u n t u a l , l e s l 铆 n i e s d e
c a m p t e n e n d i r e c c i 贸 r a d i a l i s e n t i t c a p a l c o s q u e c r e a e l c a m p .
鈥� E n u n c a m p c r e a t p e r d u e s m a s s e s , a l a z o n a i n t e r m 猫 d i a l e s
l 铆 n i e s e s d e f o r m e n . H i h a u n p u n t e n t r e l e s m a s s e s
o n e l c a m p 茅 s n u l : s i l e s m a s s e s s 贸 n i g u a l s , e l p u n t
e s t r o b a a l m i g d e l e s d u e s m a s s e s , p e r 貌 s i u n a d e
l e s m a s s e s 茅 s m 茅 s g r a n q u e l 鈥� a l t r a , e l p u n t e s t 脿 m 茅 s
p r 貌 x i m a l c o s d e m a s s a m e n o r .
L e s l 铆 n i e s d e c a m p n o e s p o d e n e n c r e u a r j a q u e s i d u e s
l 铆 n i e s d e c a m p s 鈥� e n c r e u e s s i n , e n e l p u n t d e t a l l h i h a u r i a
d o s v a l o r s d 鈥� i n t e n s i t a t d e l c a m p g r a v i t a t o r i ,
L铆nies de camp

S u p e r f 铆 c i e s e q u i p o t e n c i a l s : r e g i o n s d e l 鈥� e s p a i e n q u 猫 e l p o t e n c i a l
g r a v i t a t o r i t 茅 e l m a t e i x v a l o r . P r t a n t , e l t r e b a l l n e c e s s a r i p e r d e s p l a 莽 a r
u n a m a s s a d 鈥� u n p u n t d 鈥� u n a s u p e r f 铆 c i e e q u i p o t e n c i a l a u n a l t r e 茅 s n u l :
W i 鈫� f = - ( E p f - E p i ) = - ( m 鈰� V f - m 鈰� V i ) = 0
鈥� L e s s u p e r f 铆 c i e s e q u i p o t e n c i a l s n o e s p o d e n t a l l a r . S i h o f e s s i n , e l p u n t
d e t a l l h a u r i a d e t e n i r d o s v a l o r s d e p o t e n c i a l .
鈥� L e s s u p e r f 铆 c i e s e q u i p o t e n c i a l s s 贸 n p e r p e n d i c u l a r s
a l e s l 铆 n i e s d e c a m p .
Superf铆cies equipotencials

C a m p g r a v i t a t o r i t e r r e s t r e :
鈥� P e r a u n p u n t i n t e r i o r a l a T e r r a ( r < R ) :
D e n s i t a t , 蟻 = M 鈥� / V
V o l u m d 鈥� u n a e s f e r a ,
i 鈫�
P e r t a n t :
鈥� P e r a u n p u n t e x t e r i o r a l a T e r r a ( r 鈥� > R ) :
Camp creat per una distribuci贸
cont铆nua de massa
T
2
'
r
M
g G u
r
飦碉伒飦� 飦碉伒飦�

1 . - S a t 猫 l 路 l i t s q u e o r b i t e n l a t e r r a
V e l o c i t a t o r b i t a l
P e r 铆 o d e d e r e v o l u c i 贸
S a t 猫 l 路 l i t s g e o e s t a c i o n a r i s
2 . - E n e r g i a d e l s s a t 猫 l 路 l i t s
V e l o c i t a t d e l l a n 莽 a m e n t p e r p o s a r e n 貌 r b i t a u n
s a t 猫 l 路 l i t .
E n e r g i a n e c e s s 脿 r i a p e r e n v i a r u n s a t 猫 l 路 l i t d 鈥� u n a
貌 r b i t a a u n a a l t r a
V e l o c i t a t d 鈥� e s c a p a m e n t
Moviment dels planetes i dels
sat猫l路lits

V e l o c i t a t o r b i t a l
S u p o s a n t q u e l 鈥� 貌 r b i t a 茅 s c i r c u l a r , q u a n u n s a t 猫 l 路 l i t g i r a a u n a
a l t u r a h s o b r e l a s u p e r f 铆 c i e d e l a T e r r a ,
鈥� v : v e l o c i t a t o r b i t a l d e l c o s q u e g i r a .
鈥� M T : m a s s a d e l a T e r r a
.
鈥� R T : r a d i d e l a T e r r a ( 6 . 3 7 0 k m ) .
鈥� r : r a d i d e l 鈥� 貌 r b i t a q u e d e s c r i u , r = R T + h ,
o n h 茅 s l 鈥� a l t u r a a l a q u a l e s t 脿 s i t u a t p e r s o b r e d e l a
s u p e r f 铆 c i e d e l a t e r r a .
Sat猫l路lits que orbiten la terra
2
2
T s s
C G
M m m v
F F G
r r
T T
T
G M G M
v
r R h

P e r 铆 o d e d e r e v o l u c i 贸
E l p e r 铆 o d e d 鈥� u n s a t 猫 l 路 l i t q u e o r b i t a a u n a a l t u r a h 茅 s :
2
2
2
s sT T
C G
M m Mm v
F F G v G
r rr
2
2 2 2 2
2
2 4; TGM
v r v r r
T rT
2 32 3 4 ( )4 T
T T
R hrT
G M G M

S a t 猫 l 路 l i t g e o e s t a c i o n a r i o g e o s 铆 n c r o n : o r b i t e n a l v o l t a n t d e l a
T e r r a m a n t e n i n t - s e s e m p r e e n u n m a t e i x p u n t ; p e r t a n t , e l s e u
p e r 铆 o d e d e r e v o l u c i 贸 h a d e s e r e l m a t e i x q u e e l d e l a T e r r a ( 2 3 , 9 8 h ) i
h a d 鈥� o r b i t a r e n e l p l a d e l 鈥� e q u a d o r t e r r e s t r e .
S u s t i t u i n t l e s d a d e s G , M T i T = 2 3 , 9 8 h , o b t e n i m : r =
A l t u r a a l a q u a l o r b i t a s o b r e l a s u p e r f 铆 c i e t e r r e s t r e :
22 3
3
2
4
4
T
T
T G MrT r
G M

E n e r g i a m e c 脿 n i c a :
E n u n s a t 猫 l 路 l i t e n 貌 r b i t a : 鈫�
A i x 貌 e n s p e r m e t o b t e n i r u n a f o r m a m 茅 s s i m p l i f i c a d a p e r a
l a s e v a E M :
Energia dels sat猫l路lits
21
2pM C
GMmE E E m v
r
G CF F
2
2
2
M m v M mG m G m v
r rr
1 1
2 2M M
GMm GMm GMmE E
r r r

V e l o c i t a t d e l l a n 莽 a m e n t p e r p o s a r e n 貌 r b i t a u n s a t 猫 l 路 l i t
A p l i c a c i 贸 d e l p r i n c i p i d e c o n s e r v a c i 贸 d e l 鈥� e n e r g i a :
E n l a p o s i c i 贸 2 :
R e l a c i o n a n t l e s e q u a c i o n s a n t e r i o r s :
P e r t a n t , l a v e l o c i t a t d e l l a n 莽 a m e n t n e c e s s 脿 r i a p e r p o s a r u n s a t 猫 l 路 l i t e n
貌 r b i t a 茅 s :
1 2 1 1 2 2M M C p C pE E E E E E
2 2
1 2
1 1
2 2T
GMm GMm
mv mv
R r
2
22
22C G
m vM m GM
F F G v
r r r
2 2
1 1
1 1 1
2
2 2 2T T
GM GM GM GM GM
v v
R r r R r
1
1 1
2
2T
v GM
R r

E n e r g i a n e c e s s 脿 r i a p e r e n v i a r u n s a t 猫 l 路 l i t d 鈥� u n a 貌 r b i t a a u n a
a l t r a
E n e r g i a d 鈥� u n s a t 猫 l 路 l i t e n u n a 貌 r b i t a :
L 鈥� e n e r g i a n e c e s s 脿 r i a p e r p a s s a r d 鈥� u n a 貌 r b i t a d e r a d i r 1 a u n a a l t r a
d e r a d i r 2 , s i r 1 < r 2 茅 s :
21 1
2 2
M C p
GMm GMm
E E E m v
r r
2 1
2 1
1 1
2 2
GMm GMm
E E E
r r
1 2
1 1 1
2
E GMm
r r

V e l o c i t a t d 鈥� e s c a p a m e n t
V e l o c i t a t d ' e s c a p a m e n t 茅 s l a m 铆 n i m a v e l o c i t a t a m b q u e s 鈥� h a d e l l a n 莽 a r u n
c o s v e r t i c a l m e n t c a p a m u n t , d e s d e l a s u p e r f 铆 c i e d ' u n p l a n e t a , p e r t a l q u e
e s c a p i d e l ' a t r a c c i 贸 g r a v i t a t 貌 r i a d e l p l a n e t a .
E n e r g i a t o t a l d 鈥� u n s a t 猫 l 路 l i t q u e e s t 脿 o r b i t a n t :
E l s a t 猫 l 路 l i t s u r t d e l c a m p g r a v i t a t o r i q u a n r 鈫� 鈭� , e l q u e f a q u e E M = 0 .
E n e l p u n t d e l l a n 莽 a m e n t c a l d r 脿 c o m u n i c a r - l i u n a v e l o c i t a t q u e f a c i q u e :
R e o r d e n a n t l 鈥� e x p r e s i 贸 a n t e r i o r :
M
1
2
GMm
E
r
21
0
2
M C p
GMm
E E E m v
r
escapament 2
GM
v
r

Adreces web
1. 脪RBITES DE PROJECTILS I SAT脠L路LITS
http://www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaq
uimica/applets/Orbitas%20de%20Proyectiles%2
0y%20satelites/projectileOrbit.html
Inclou un interessant applet que permet simular el
llan莽ament tant de projectils com de sat猫l路lits des de la
superf铆cie de la Terra.
2. CAMPS VECTORIALS
http://www.falstad.com/vector3d
Permet visualitzar camps vectorials de caracter铆stiques
diferents: lineals, radials, etc.
3. LA CONSTANT DE LA GRAVITACI脫 UNIVERSAL
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/
constante/constante.htm
En aquesta p脿gina es descriu amb detall l鈥檈xperi猫ncia
realitzada per Cavendish i es proposa una experi猫ncia
virtual amb l'objectiu de determinar el valor de G.
4. GRAVITACI脫
http://www.xtec.es/~ocasella/applets/gravita/
alumne2.html
Permet col路locar un o diversos planetes i visualitzar-ne
les l铆nies de for莽a, les superf铆cies equipotencials en dues i
en tres dimensions.
5. 脪RBITES DE TRANSFER脠NCIA
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/
kepler3/kepler3.html
Les 貌rbites de transfer猫ncia de Hohman es fan servir per
llan莽ar sondes i naus espacials des d鈥檜n planeta cap a un
altre. L鈥檕bjectiu 茅s triar el moment del llan莽ament i la
velocitat per estalviar combustible.
6. LLAN脟AMENT DE SAT脠L路LITS
http://www.mcasco.com/p1aso.html
Inclou un applet per situar un sat猫l路lit sobre la Terra i
llan莽arlo amb una velocitat inicial.

B a t a l l a G a r c 铆 a , C . ; V i d a l F e r n 谩 n d e z , M . C . ( 2 0 0 8 ) .
F 铆 s i c a 2 . B a r c e l o n a : G r u p P r o m o t o r S a n t i l l a n a
Bibliografia

狠狠撸

Camp gravitatori

Recommended

More Related Content

Similar to Camp gravitatori (20)

More from Consuelo Batalla (20)

Recently uploaded (11)

Camp gravitatori