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Circonferenza e cerchio
- 1. Circonferenza e cerchioCirconferenza e cerchio
- 2. Definizione di circonferenzaDefinizione di circonferenza Si definisceSi definisce circonferenza ilcirconferenza il luogo geometricoluogo geometrico dei punti del pianodei punti del piano equidistanti da unequidistanti da un punto detto centropunto detto centro delladella circonferenzacirconferenza
- 3. Definizione di cerchioDefinizione di cerchio Si definisceSi definisce cerchio lacerchio la porzione diporzione di pianopiano racchiusa daracchiusa da unauna circonferenzacirconferenza
- 4. RaggioRaggio Si definisceSi definisce raggio di unaraggio di una circonferenza incirconferenza in segmento chesegmento che unisce il centrounisce il centro con un qualsiasicon un qualsiasi punto dellapunto della circonferenzacirconferenza
- 5. Corda e diametroCorda e diametro Si definisce cordaSi definisce corda qualsiasi segmento chequalsiasi segmento che unisce due punti dellaunisce due punti della circonferenzacirconferenza Si definisce diametroSi definisce diametro una corda che passauna corda che passa per il centro dellaper il centro della circonferenzacirconferenza facile vedere che : facile vedere che : dd == 2r2r
- 6. Rapporto fra circonferenza eRapporto fra circonferenza e diametrodiametro Il rapporto fra circonferenza e diametro 竪 uno dei numeriIl rapporto fra circonferenza e diametro 竪 uno dei numeri che pi湛 ricorrono e non solo in matematicache pi湛 ricorrono e non solo in matematica Si tratta di un numero che non pu嘆 essere espressoSi tratta di un numero che non pu嘆 essere espresso come rapporto di numeri interi perci嘆 appartiene allacome rapporto di numeri interi perci嘆 appartiene alla categoria dei numeri irrazionalicategoria dei numeri irrazionali Abbiamo gi trovato un numero di questo tipo quandoAbbiamo gi trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate .. d/l = 2abbiamo studiato i quadrati ricordate .. d/l = 2 Nel nostro caso abbiamo che:Nel nostro caso abbiamo che: C d 3,14
- 7. FormuleFormule C = x d Ma d = 2 x r allora Circonferenza uguale a p greco per il diametro C = x 2r Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Formu le invers e C d C r 2
- 8. problemiproblemi Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suoTrovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo diametro misura 12 cmdiametro misura 12 cm c =c = x dx d c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cmc = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggioUna circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio r = c/2r = c/2 r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cmr = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cmTrovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm c = 2 xc = 2 x x rx r c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cmc = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametroUna circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro d = c/d = c/ d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cmd = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm
- 9. Area del cerchioArea del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolariConsideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 latiUn poligono a 6 lati Un poligono a 10 latiUn poligono a 10 lati Un poligono a 24 latiUn poligono a 24 lati La formula per calcolare larea di questiLa formula per calcolare larea di questi poligoni 竪 sempre la stessa:poligoni 竪 sempre la stessa: A = (2P x a) : 2A = (2P x a) : 2 dove a 竪 lapotema (celeste)dove a 竪 lapotema (celeste) 2P = n x l2P = n x l ((nn = numero dei lati= numero dei lati ll lato)lato) Ogni poligono 竪 inscritto in un circonferenzaOgni poligono 竪 inscritto in un circonferenza ed in rosso 竪 mostrato il raggioed in rosso 竪 mostrato il raggio Asserviamo cosa succede al poligonoAsserviamo cosa succede al poligono allaumentare del numero dei lati fissandoallaumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza fraprima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscrittapoligono e circonferenza circoscritta
- 10. Puoi osservare che allaumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di pi湛 ad assomigliare ad una circonferenza tanto che gi a 24 lati si fa fatica a distinguerli Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sullapotema Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nellultima essa diventa trascurabile Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coincider con la circonferenza e lapotema con il raggio
- 11. ConclusioniConclusioni Nella formula diventa Formula della lunghezza di una circonferenza diventa segue A = (2r x r) : 2 infi ne Larea del cerchio 竪 data dal prodotto di p greco per il raggio al quadrato
- 13. problemiproblemi Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area delUn cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del cerchiocerchio c = 2c = 2 r A =r A = rr22 Un cerchio ha larea di 1256 cmUn cerchio ha larea di 1256 cm22 trovare raggio, diametro etrovare raggio, diametro e circonferenza del cerchiocirconferenza del cerchio r = (A/r = (A/)) r = (1256 cmr = (1256 cm22 /3,14) = 400 cm = 20 cm/3,14) = 400 cm = 20 cm d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cmd = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm c =c = d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cmd = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm La somma delle circonferenze di due cerchi 竪 di 60La somma delle circonferenze di due cerchi 竪 di 60 cm, una 竪 i 7/5cm, una 竪 i 7/5 dellaltra. Trovare le aree dei due cerchidellaltra. Trovare le aree dei due cerchi c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm A = 3,14 x (10 cm )2 = 314 cm2 c1 +c2 = 60 cm c2 = 7/5 c1 c1 + 7/5 c1 = 60 cm 5 5 c1 + 7 c1 = 60 cm 12 5 c1 60 cm c1 60 cm x 5 12 c1 = 25 cm C2 = 35 cm d1 = 25 cm/ r1 = 12,5 cm A1 = (12,5 cm)2 = 152,5 cm2
- 14. Arco di circonferenza Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti I punti B e C individuano larco c e larco d
- 15. Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro 留 Tale angolo prende il nome di angolo al centro Si dice che larco AB sottende un angolo 留 e langolo a 竪 sotteso da un arco AB Cosa succede se in una circonferenza aumento lampiezza dellarco? Cosa succede allangolo 留? Vediamo che esso aumenta e questo aumento 竪 proporzionale allampiezza dellarco
- 16. Calcolo della lunghezza dellarco Se il valore il valore dellangolo al centro arriva a 360属 il corrispondente valore dellarco sar lintera circonferenza Questo valore sar uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro Da cui ottengo il modo di calcolarmi l Sapendo che c = x 2r C 360属 l 留 = l = C 360属 留x l = x 2r 留x 360属
- 17. Formule Inverse =c 360属 留 x x l d = 360属l x 留 x r = 360属l 2 留x = c 360属 留 xl d = 360属l x 留x x r = 360属l 2 留 x
- 18. Settore circolare Prendiamo un cerchio e un suo arco BC Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dellarco con il centro Otteniamo cosi una porzione di cerchio Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza.Cosa succede se aumento 留?
- 19. Calcolo dellarea settore circolare Larea del settore circolare 竪 proporzionale al valore dellangolo al centro Se il valore il valore dellangolo al centro arriva a 360属 il corrispondente settore circolare coincider con larea del cerchio Questo rapporto e quello precedente saranno uguali Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi larea de settore circolare La cui soluzione mi dar larea del settore circolare As 留 = Ac 360属 As = Ac x 留 360属 As = r2 x 留 360属
- 20. Formule Inverse =A c 360属 留 x x A s r = 360属 留x = 360属 留 x x r2 = 360属 留 x A s A c A s A s
- 21. Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed una sua corda a La corda divide il cerchio in due parti Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda
- 22. Caso 1 il segmento non contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO Larea del segmento circolare sar data dalla differenza fra larea del settore circolare a larea del triangolo Asc = As - At
- 23. Caso 2 il segmento contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO Larea del segmento circolare sar data dalla somma fra larea del settore circolare a larea del triangolo Asc = As + At Se non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce allangolo convesso
- 24. Corona circolare Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2 fra le due circonferenze si trova una porzione di piano Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze
- 25. Area della corona circolare Larea della corona circolare si ottiene sottraendo allarea del cerchio maggiore quella del cerchio minore Acc = r2 2 r1 2 Acc = (r2 2 r1 2 )