More Related Content
What's hot (20)
Viewers also liked (18)
Similar to Ecuații de gradul Ii (20)
More from oles vol (15)
Ecuații de gradul Ii
- 1. ECUAŢIA DE GRADULECUAŢIA DE GRADUL DOIDOI 2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a+ + = ∈ ≠
- 2. Forma generalForma generalăă 2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a+ + = ∈ ≠ 2 0 0, , ; 0b ax c a c R a= ⇒ + = ∈ ≠ 2 0 0, , ; 0c ax bx a b R a= ⇒ + = ∈ ≠ 2 0 0, ; 0b c ax a R a= = ⇒ = ∈ ≠ Forme particulareForme particulare
- 3. Natura soluţiilor ecuaţiei de gradulNatura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔ Natura soluţiilor ecuaţiei de gradulNatura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔ
- 4. Relaţiile lui VièteRelaţiile lui Viète 2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a+ + = ∈ ≠ 1 2 1 2 b x x a c x x a − + = = b S a c P a − = =
- 5. ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 1 2 1 2 23 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 ( ) ( ) 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + − + = + − + + = + − − = + − FORMULE UTILE !FORMULE UTILE ! 2 2 2 1 2 3 3 3 1 2 4 4 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 ( 2 ) 2 4 4 x x S P x x S PS x x S P P x x S P x x S P + = − + = − + = − − − = − − = ± −
- 6. François VièteFrançois Viète (1540 – 1608)(1540 – 1608)François VièteFrançois Viète (1540 – 1608)(1540 – 1608) François VièteFrançois Viète diplomat şi matematician francez, a fost unul dintre creatorii algebrei mederne. François VièteFrançois Viète diplomat şi matematician francez, a fost unul dintre creatorii algebrei mederne.
- 7. Date numerele reale x1 şi x2 calculăm este ecuaţia care are ca soluţii numerele date. 1 2 1 2,S x x P x x= + = 02 =+− PSxx Formarea ecuaţiei de gradul doiFormarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile Formarea ecuaţiei de gradul doiFormarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile
- 8. unde x1 si x2 sunt soluţiile ecuaţiei Descompunerea trinomului în factori liniari Descompunerea trinomului în factori liniari ( )( )21 2 xxxxacbxax −−=++ 02 =++ cbxax
- 9. Semnul soluţiilor ecuaţiei deSemnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doigradul doi Semnul soluţiilor ecuaţiei deSemnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doigradul doi 0 0 α β > > 0 0 α β α β + > × > 0 0 α β < < 0 0 α β α β + < × > Dacă: 0 0 α β < > 0α β× <
- 10. Dată ecuaţia Având în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorulAvând în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul cui putem stabili fară a rezolva ecuaţia dacă soluţiilecui putem stabili fară a rezolva ecuaţia dacă soluţiile xx11 şi xşi x22 au acelaşi semn sau semne contrare ?au acelaşi semn sau semne contrare ? ÎNTREBARE ?ÎNTREBARE ? 2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a+ + = ∈ ≠
- 11. Semnul numSemnul număărulruluuii Semnul numSemnul număărulruluuii RĂSPUNS CORECT !RĂSPUNS CORECT ! PP SS
- 12. Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doiSemnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnul numarelor P şidepind de semnul numarelor P şi SS Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doiSemnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnul numarelor P şidepind de semnul numarelor P şi SS
- 13. !!!!!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilorNATURA ŞI SEMNUL soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind deecuaţiei de gradul doi depind de semnele numerelorsemnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S !!!!!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilorNATURA ŞI SEMNUL soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind deecuaţiei de gradul doi depind de semnele numerelorsemnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S
- 14. ΔΔ > 0> 0 (( ++ )) P < 0P < 0 (( –– )) S > 0S > 0 ++ S = 0S = 0 00 S < 0S < 0 –– P = 0P = 0 S > 0S > 0 ++ S < 0S < 0 –– P > 0P > 0 (( ++ )) S > 0S > 0 ++ S < 0S < 0 –– ΔΔ = 0= 0 P > 0P > 0 (( ++ )) S > 0S > 0 ++ S < 0S < 0 –– 1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x∈ ≠ < > =− 1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x∈ ≠ < > < 1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x∈ ≠ < > > 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ ≠ = > 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ ≠ = < 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ ≠ > > 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ ≠ < > 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ = > > 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x∈ = < < 1 2 1 2, , 0x x R x x∈ = = 1 2,x x R∉ Natura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doi
- 15. EXERCITIIEXERCITII 1.1. Stabiliţi semnul soluţiilor fară a rezolva ecuaţiile: 2 5 0x x− − = 2 7 3 0x x+ + = 2 3 7 2 0x x− − + = 2 3 5 2 0x x− + =
- 16. ecuaţia are soluţii de semne opuse ecuaţia are soluţii de acelaşi semn ecuaţia are soluţii de semne opuse ecuaţia are soluţii de acelaşi semn 1 1 20 ,x x x> > 1 20 , 0x x< < 1 1 20 ,x x x> > 1 20 , 0x x> > SOLUŢIE CORECTĂ ?!SOLUŢIE CORECTĂ ?! 2 0 5 0 0 P x x S < − − = ⇒ > 2 0 7 3 0 0 P x x S > + + = ⇒ < 2 0 3 7 2 0 0 P x x S < − − + = ⇒ < 2 0 3 5 2 0 0 P x x S > − + = ⇒ >
- 17. 22.. Să se determine parametrul m pentru care soluţiile ecuaţiei sunt: ambele pozitive de semne opuse ambele negative egale EXERCIŢIIEXERCIŢII 2 2 3 0,x x m m R+ × + − = ∈
- 18. m - ∞ 3 4 + ∞ ΔΔ + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - PP - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + SS - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - SOLUŢIESOLUŢIE ambele pozitive ΔΔ > 0 , P > 0 , S > 0> 0 , P > 0 , S > 0 m ∈ ∅ de semne opuse ΔΔ > 0 , P < 0> 0 , P < 0 m ∈ ( - ∞. 3) ambele negative ΔΔ > 0 , P < 0 , S < 0> 0 , P < 0 , S < 0 m ∈ ( 3, 4) egale negative ΔΔ = 0 , P > 0 , S < 0= 0 , P > 0 , S < 0 m = 4
- 19. 3.3. Să discute natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei după valorile parametrul real m. Algoritm de lucru:Algoritm de lucru: calculăm ΔΔ, SS şi PP stabilim semnele acestor numere într-un tablou comun analizând semnele pe intrevalele rezultate din tabloul de semn stabilim natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei EXERCITIIEXERCITII 2 3 2 1 0,x x m m R− × + − = ∈
- 20. Fie ecuaţia determinaţi parametrul m aşa încât ecuaţia să aibă: soluţii reale pozitive soluţii reale de semne opuse Test de autoevaluareTest de autoevaluare 2 2 0,x x m m R− − + = ∈