狠狠撸

Capitolul 2

Rezolvarea numeric膬 a ecua牛iilor
algebrice 艧i transcendente

Rezolvarea numeric膬 a ecua牛iilor algebrice 艧i
transcendente

飦� Solu牛ionarea multor probleme tehnice
impune rezolvarea unor ecua牛ii
algebrice sau transcendente.

f(x)=0,

f:[xmin, xmax]鈫扲, [xmin, xmax]鈯俁.

transcendente

飦� Dac膬 f(x) este o func牛ie pol i nomial 膬 ,
ecua牛ia f(x)=0 este algebric 膬 .
飦� Dac膬 f(x) are 艧i termeni

trigonometric i ,
logaritmic i,
exponen 牛 ial i ,
ecua牛ia f(x)=0 este transcendent 膬 .

transcendente

飦� Exemplu
Un rezervor de combustibil, cilindric, de raz膬 r,
cu axa orizontal膬, este plin cu lichid, doar un
sfert din volumul s膬u. Care este 卯n膬l牛imea, h,
a lichidului din rezervor?

r

h

transcendente

飦� Segmentul de cerc ABC
trebuie s膬 reprezinte un sfert
din aria cercului, deci
胃
C

铮�1 2 1 铮� 1 2
2铮� r 胃鈭� (r sin 胃)(r cos 胃)铮� = 蟺r
铮�2 2 铮� 4
(鈭燗OD=胃)

transcendente

蟺
2胃鈭� 2 sin 胃 cos 胃 =
2
艧i consider芒nd substitu牛ia
x=蟺/2-2胃, ecua牛ia de mai sus devine:

?
x+cosx=0.
x+cosx=0

transcendente

飦� Dac膬 ecua牛ia ar putea fi rezolvat膬, s-ar
ob牛ine pentru unghiul 胃, valoarea:
胃=(蟺/2-x)/2
艧i
h=r(1-cos 胃)

transcendente

飦� Exemplul 2

脦n geometria angrenajelor, trebuie
rezolvat膬 ecua牛ia:
inv(伪)=a , 伪= ?
inv(伪)=tg 伪- 伪

transcendente

Definirea r膬d膬cinilor
Fie ecua牛ia
f(x)=0, unde
f:[xmin, xmax]鈫扲, [xmin, xmax]鈯俁.

飦� Defini牛ia r膬d膬cinii exacte
Orice valoare 尉鈭圼xmin, xmax], pentru care f(尉)=0,
este r膬d膬cin膬 exact膬 sau 鈥渮ero鈥� al func牛iei
f(x).

transcendente

飦� Defini牛ia r膬d膬cinii aproximative
Orice valoare 尉鈥�, apropiat膬 de r膬d膬cina
exact膬尉 , care 卯ndepline艧te una dintre
condi牛iile urm膬toare:
a. 铮ξ�-尉鈥欙＆<蔚 (蔚鈭圧, 蔚>0) or
b. 铮(尉鈥�)铮�<蔚
este considerat膬 r膬d膬cin膬 aproximativ膬
a ecua牛iei f(x)=0.

transcendente

a. 铮ξ�-尉鈥欙＆<蔚 (蔚鈭圧, 蔚>0) b.铮(尉鈥�)铮�<蔚 (蔚鈭圧, 蔚>0)

transcendente

Etapele rezolv膬rii numerice a ecua牛iilor algebrice 艧i
transcendente
飦� Separarea r膬d膬cinilor
飦� Implementarea metodei numerice

transcendente

Separarea r膬d膬cinilor
Obiectiv - ob牛inerea unor intervale care s膬 con牛in膬 cel mult o
r膬d膬cin膬 a ecua牛iei
Teorem膬
Fie o diviziune a intervalului [xmin, xmax]:
xmin=x1<x2<鈥�<xm<xm+1<鈥�<xM=xmax
飦� Dac膬卯n intervalul [xm, xm+1], f (xm)f(xm+1)<0, 卯n acel interval
exist膬 cel pu牛in o r膬d膬cin膬;
飦� Dac膬卯n intervalul men牛ionat, prima derivat膬 exist膬艧i
卯艧i p膬streaz膬 semnul,
atunci, 卯n intervalul [xm, xm+1], exist膬 o singur膬 r膬d膬cin膬尉.

transcendente

transcendente

飦� Metoda bisec牛iei
飦� Metoda secantei
飦� Metoda aproxima牛iilor succesive
飦� Metoda Newton-Raphson

Metoda bisec牛iei
飦� Cunoscut膬艧i ca
metoda 卯njum膬t膬牛irii
intervalului
飦� Strategie:
飦� 脦mp膬r牛irea 卯n dou膬 p膬r牛i
egale a intervalului [a,b];
飦�
P膬strarea acelei jum膬t膬牛i
care con牛ine r膬d膬cina.

transcendente 鈥� Metoda bisec牛iei
飦� Se consider膬 c膬
f(a)f(b)<0
飦� Pasul ZERO
x 0 =(b+a)/2

Dac膬 f(x0)=0, atunci 尉=x0
Dac膬 NU [a1, b1], unde
a1 =a 艧i b1=x0, dac膬 f(a)f(x0)<0,
sau
a1= x0 艧i b1=b, dac膬 f(a)f(x0)>0.
lungimea b1-a1=(b-a)/2

飦� pasul UNU
x 1 =(b 1 +a 1 )/2

Dac膬 f(x1)=0, atunci 尉=x1
Dac膬 NU [a2, b2], unde
a2 =a1 艧i b2=x1, dac膬 f(a1)f(x1)<0,
sau
a2= x1 艧i b2=b1, dac膬 f(a1)f(x1)>0.
lungimea b2-a2=(b-a)/22
鈥�

鈥�
飦� PASUL i

x i =(b i -a i )/2

Dac膬 f(xi)=0, atunci 尉=xi
Dac膬 NU [ai+1, bi+1], unde
ai+1 =ai 艧i bi+1=xi, dac膬 f(ai)f(xi)<0,
sau
ai+1= xi 艧i bi+1=bi, dac膬 f(ai)f(xi)>0.
lungimea bi+1-ai+1=(b-a)/2i+1


Procesul iterativ se va opri la 卯ndeplinirea
uneia dintre urm膬toarele condi牛ii:

飦� 铮i-xi-1铮�<蔚 (蔚鈭圧, 蔚>0) sau
飦� 铮(xi)铮�<蔚.

Valoarea x i este considerat膬 r膬d膬cin膬
aproximativ膬 a ecua牛iei f(x)=0.

De ce x i este considerat膬 r膬d膬cin膬 aproximativ膬 a ecua牛iei
f(x)=0?
Prin 卯njum膬t膬牛irile succesive ale intervalelor, se ob牛in dou膬
艧iruri, a0, a1, a2,..., ai 艧i b0, b1, b2,..., bi , convergente.
Dac膬 se trece la limit膬卯n rela牛ia lungimii intervalului [ai, bi]:
bi-ai=(b-a)/2i b鈭抋
lim(b i 鈭� a i ) = lim i
=0
i 鈫掆垶 i 鈫掆垶 2

lim b i = lim a i = 尉
i 鈫掆垶 i 鈫掆垶


脦n acela艧i timp, dac膬 se aplic膬 limita, rela牛iei
f(ai)f(bi)<0,

lim [f(ai)f(bi)] 鈮�0
艧i prin 卯nlocuire a valorilor limitelor,
f(尉)2 鈮� 0 f(尉)=0
CONCLU ZIE
尉 este chiar r膬d膬cina exact膬 a ecua牛iei f(x)=0.

transcendente

Metoda secantei
飦� Procedura prevede
separarea r膬d膬cinii 卯ntre
dou膬 valori a 艧i b, astfel 卯nc芒t
f(a)f(b)<0.

飦� O valoare aproximativ膬 a
r膬d膬cinii, x0, se va ob牛ine prin
interpolare liniar膬:
af (b) 鈭� bf (a )
x0 =
f ( b) 鈭� f (a )

Secant Method

a i f ( b i ) 鈭� b i f (a i )
xi =
f ( b i ) 鈭� f (a i )

Secant Method
飦� Exemplu
Use the secant method to find the value of the
specific volume, v, of methane gas at a
temperature T=300oK and a pressure P=5鈰�106
Pa. The gas constant for methane is 518 J/
(kg鈰卭K) and the van der Waals constants have
the following values:
a=887 Pa鈰卪6/kg2 and b=0,00267 m3/kg.
Start with va=0,5 RT/P and vb=1,5 RT/P.
Use a value 蔚=0,1.

transcendente

飦� Legea gazului ideal:
ideal
Pv=RT
飦� Legea gazului real 牛ine seama de
for牛ele de atrac牛ie intermolecular膬艧i de
spa牛iul ocupat de molecule:

(P + a / v )( v 鈭� b) = RT
2

Secant Method

(
f ( v) = P + a / v 2
)( v 鈭� b) 鈭� RT

Metoda secantei

Nr. va vb f(v b ) vi
itera牛ie
1 0,0155400 0,0466200 8,22865鈰�104 0,0263331
2 0,0466200 0,0263331 -6,81592 鈰�103 0,0278850
3 0,0263331 0,0278850 -5,61669 鈰�102 0,0280243
4 0,0278850 0,0280243 7,18865 鈰�100 0,0280226
5 0,0280243 0,0280226 -7,00575 鈰�10-3

Valoarea aproximativ膬 a r膬d膬cinii
v i = 0,0280226m 3 /kg.

Metoda aproxima牛iilor
succesive

鈥mpune re scrierea ecua牛iei f(x)=0 sub forma
x= 蠒 (x)

鈥rocedura porne艧te de la o valoare estimat膬 a r膬d膬dcinii x 0 ,
care se va 卯mbun膬t膬牛i pas cu pas, prin itera牛ii succesive.

Metoda aproxima牛iilor succesive

Algoritmul metodei
1. Stabilirea valorii de start x 0 艧i alegerea parametrului
de convergen牛膬 (eroare de aproximare) 蔚 ;

2. Calculul unei valori 卯mbun膬t膬牛ite x im b from x im b = 蠒 (x 0 ) ;

3. Dac膬铮� x im b -x 0 铮� > 蔚 , se va considera x 0 egal cu x im b 艧i
reluarea pasului 2; altfel, ximb este r膬d膬cina aproximativ膬
a ecua牛iei.


Din punct de vedere geometric, aplicarea metodei
aproxima牛iilor succesive, presupune rezolvarea
ecua牛iei x=蠒(x), adic膬 g膬sirea punctului de
intersec牛ie dintre graficele func牛iilor:
y=x ( prima bisectoare )
y= 蠒 (x)


Conclu zie
Convergen牛a metodei este asigurat膬 atunci c芒nd
铮� d 蠒 /dx 铮� <1, cel pu牛in pentru valorile lui x care
<1
intervin 卯n timpul acestui proces iterativ.


Ex e mpl u
O grind膬卯ncastrat膬 este 卯nc膬rcat膬 cu o sarcin膬 vertical膬, uniform
ditribuit膬 pe lungimea acesteia, L. Deforma牛ia grinzii
corespunz膬toare distan牛ei x fa牛膬 de cap膬tul 卯ncastrat, este 未, iar la
cap膬tul liber deforma牛ia este 未max. Dependen牛a dintre deforma牛ia 未
艧i distan牛a x este modelat膬 prin ecua牛ia urm膬toare:
f( 伪 )= 伪 4 -4 伪 3 +6 伪 2 - 未 / 未 max =0 , 伪 =x/L.
Folosind metoda aproxima牛iilor succesive, s膬 se determine 伪 care
corespunde raportului 未 / 未 max =0,75.


x
L

x=伪L
f( 伪 )= 伪 4 -4 伪 3 +6 伪 2 - 未 / 未 max =0


Alte exemple

1. x4-2x+9=0 x=(x4 +9)/2

2. tan(x)=0 x=tan(x)+x


Alte exemple
x 3 +4x 2 -10=0
Ecua牛ia are o r膬d膬cin膬 unic膬卯n
intervalul [1, 2].

g1(x) =x-x3-4x2+10
1
铮� 10 铮� 2
g2 ( x ) = 铮� 铮�
铮�4+ x铮�


g 1 (x) =x-x 3 -4x 2 +10

g 1 (1) =6
g 1 (2) =-12

g 1 '(x) =1-3x 2 -8x < -1 pt. 鈭€ x 鈭� [1, 2]

Proces iterativ divergent!!!

1
铮� 10 铮� 2
g2 ( x ) = 铮� 铮�
铮�4+ x铮�

鈭�5 5
g鈥�( x ) = 鈮� < 0,15
10 ( 4 + x ) 10 ( 5)
3 3
2 2

Proces iterativ convergent

transcendente

Metoda Newton-Raphson
飪� Este una dintre cele mai populare metode de rezolvare a ecua牛iilor;

飪� Pentru 卯mbun膬t膬牛irea preciziei de aproximare a r膬d膬cinii se

folosesc informa牛ii despre func牛ia f(x) 艧i derivata acesteia f鈥�(x).

transcendente

Metoda Newton-Raphson

f(b)f鈥�(b)>0, x0=b f(a)f鈥�(a)<0, x0=a

transcendente - Metoda Newton-Raphson

飦� Algorit m
1. Alegerea valorii de start x0
(a sau b, astfel 卯nc芒t f(x0)f鈥�(x0)>0)
2. Evaluarea f(x0)
3. Dac膬铮(x0)铮� 鈮の�, x0 este solu牛ia estimat膬; altfel,
se merge la Pasul 4.
4. Evaluare ximb=x0-f(x0)/f鈥�(x0)
5. Se consider膬 x0 equal to ximb 艧i 卯ntoarcere la
Pasul 2.


飦� De艧i, determinarea derivatei pentru unele
func牛ii ar putea fi complicat膬,
implementarea metodei este simpl膬艧i
convergen牛a rapid膬 .


飦� Totu艧i, aplicarea metodei poate e艧ua din
mai multe motive:

a. f鈥�(x 0 ) (numitorul) este zero datorit膬 unei
alegeri nefericite a valorii de start x0;
Ac牛iune corectiv膬鈥� reset are a lui x 0 ;


b. Oscila牛ie a valorilor ximb poate indica faptul
c膬 ecua牛ia nu are r膬d膬cini reale.


c . Oscila牛ii pot ap膬rea 艧i 卯n cazul unei func牛ii ca 卯n
figura de mai jos;
Erorile de rotunjire vor rupe acest ciclu.


d . Divergen牛a poate ap膬rea 艧i 卯n cazul ecua牛iilor cu
dou膬 r膬d膬cini reale;
alegerea potrivit膬 a valorii de start x 0
garanteaz膬succesul 卯n aplicarea metodei.


Exemplu
x 2 -3sinx +2ln(x+1)=3,5

Fie x 0 =2

f(x 0 )= 2 2 -3sin2 +2ln(2+1)-3,5=-0,0307

f鈥�(x 0 )= 2x-3cosx +2/(x+1)
f鈥�(2)= 2*2-3cos2 +2/(2+1)=5,9151

x 1 =2+0,0307/ 5,9151=2,005

狠狠撸

Ecuatii neliniare rom

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (6)

Similar to Ecuatii neliniare rom (20)

Ecuatii neliniare rom