�ݺ�ߣ

KBUZEM
Karabük Üniversitesi
Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM 221
MANTIK DEVRELERİ
Prof Dr Mehmet AKBABA
mehmetakbaba@karabuk.edu.tr
7. HAFTA

Temel Kavramlar
KBUZEM
2
ÇOK DÜZEYLĠ (BASAMAKLI) MANTIK DEVRELERĠ,
NAND VE NOR KAPILARI
• Dört basamaklı (Düzeyli) Mantık Devresi
• Üç basamaklı (Düzeyli) Mantık Devresi
• NAND (VE-DEĞĠL) ve NOR (VEYA-DEĞĠL) Kapıları
• Ġki ve Üç Basamaklı (Düzeyli) NAND VE NOR Kapısı
Devrelerinin Tasarımı
• Çok basamaklı (düzeyli) NAND ve NOR Kapıları
Devreleri
• Alternatif Simge Kullanarak Devre DönüĢümü
• Ġki basamaklı (Düzeyli) Çok ÇıkıĢlı Devre Tasarımı
• Çok çıkıĢlı NOR ve NAND kapısı devreleri

ÇOK DÜZEYLĠ (BASAMAKLI) MANTIK
DEVRELERĠ, NAND VE NOR KAPILARI
KBUZEM
3
ġekil 7.1: Dört basamaklı (Düzeyli)
Mantık Devresi

KBUZEM
4
Z’ nin ifadesini baĢka türlü yazarak üç basamaklı
devre elde edebiliriz. Bu kısmi çarpma ile
gerçekleĢtirilebilir.
Z= (AB + C)[(D + E) + FG ] + H
= AB(D + E) + C(D + E) + ABFG + CFG + H

KBUZEM
5
Şekil 7.2: Üç basamaklı (Düzeyli) Mantık Devresi

KBUZEM
6
Problem: AĢağıda verilen lojik fonksiyonu AND ve OR
kullanarak gerçekleĢtiriniz:
f(a,b,c,d) =  m(1,5,6,10,13,14)
Kuaracağınız devreyi iki basamaklı (düzeyli) ve üç
düzeyli olarak tasarlayınız. Her iki devreden hangisinin
daha basit ve en az lojik kapı kullanılarak
gerçekleĢtirildiğini belirleyiniz ve sonucun yorumunu
yapınız. Bütün değiĢkenlerin kendilerinin ve
tümleyenlerinin giriĢ olarak hazır olduğunu varsayın.

KBUZEM
7
ġekil 7.3
(7.1)

KBUZEM
8
Şekil 7.4
f=a’b’c+bc’d+bcd+acd’
Bu eĢitliği gerçekleĢtiren devre aĢağıda verilmiĢtir
Ġki basamaklı (düzeyli),
beĢ kapılı, 16 kapı giriĢli devre

KBUZEM
9
(7.1) eĢitliğinde ortak terimler kullanılırsa aynı fonksiyon
aĢağıdaki yazılabilir:
F=c’d(a’+b)+cd’(a+b) (7.2)
(buda üç basamaklı bir devreye dönüĢür)
Üç basamaklı (seviyeli)
beĢ kapılı
12 kapı giriĢli devreġekil 7.5

KBUZEM
10
Karno haritasında sıfırlar kullanılarak aynı fonksiyonun
Tersi aĢağıdaki Ģekilde elde edilir:
f’= c’ d’ + ab’ c’ + cd + a’ b’ c (7.3)
(7.3) ün tersi alınırsa:
f = (c + d)( a’ + b + c )(c’ +d’ )( a + b + c’ ) (7.4)
Elde edilir. (7.4) EĢitliği iki seviyeli OR-AND devresi ile
ġekil 7.6 daki gibi gerçekleĢtirilebilir.

KBUZEM
11
beĢ kapılı
12 kapı giriĢli devre
ġekil 7.6

KBUZEM
12
Üç basamaklı AND çıkıĢlı devre elde edebilmek için (7.4)
denklemine önce (X+Y)(X+Z)=X+YZ teoremi
uygulayalım:
f = [c + d(a’ + b )][c’ + d’ (a+b)] (7.5)
elde edilir. (7.5) eĢitliği dört basamaklı devre gerektirir.
KöĢeli parantez içindeki ifadeleri çarpıp açarsak :
f = (c + a’ d + bd )(c’ + ad’ +bd’ ) (7.6)
elde edilir. (7.6) eĢitliği üç basamaklı AND-OR-AND
devresi olarak ġekil 7.7 verildiği gibi gerçekleĢtirilir:

KBUZEM
13
yedi kapılı
16 kapı giriĢli devre
ġekil 7.7

KBUZEM
14
NAND (VE-DEĞĠL) ve
NOR (VEYA-DEĞĠL) Kapıları
Buraya kadar lojik ifadeleri AND, OR ve EX-OR kapıları
ile gerçekleĢtirdik.
Bu bölümde NAND ve NOR kapıları tanıtılacak ve
devrelerin bu kapılarla nasıl gerçekleĢtirileceği
gösterilecektir.
NAND ve NOR kapıları daha hızlı çalıĢtıklarından ve
genel olarak daha az devre elemanı kullanılarak
yapıldıklarından lojik devre tasarımcılarının çokça tercih
edilmektedirler.

KBUZEM
15
2.1 NAND Kapısı
ġekil 7.8(a) da NAND kapısının simgesi gösterilmiĢtir.
VE (AND) kapısının çıkıĢ ucuna küçük bir daire eklenince
NAND kapısı simgesi elde edilir. ÇıkıĢ ucundaki küçük
daire ters alma alma veya tümleyan alma veya değilleme
(NOT) anlamında kullanılmaktadır. NADN kapısı ġekil
7.8(b) de görildüğü gibi AND kapısının sonuna bir NOT
(ters alma) kapısı eklenerek elde edilebilir. Buda NAND
kapısının AND kapısının terine eĢit olduğu anlamina gelir
veya NADN=AND.NOT= (AND)’ yazılabilir. NAND
kapısının bağıntısı aĢağıdaki gibidir:
F=(ABC)’=A’+B’+’C’
Görüldüğü gibi NAND kapısı giriĢ değiĢkenlerinin
terslerini toplayan bir devredir.

KBUZEM
16
n giriĢli bir NAND kapısının çıkıĢ bağıntısı
F=(X1X2X3……….Xn)’=X1’+X2’+X3’+……..Xn’ (7.8)
(7.8) bağıntısı NAND kapısının giriĢlerinden en az birisi
0 ise kapının çıkiĢ değiĢkeninin 1 olması gerektiğini
ifade etmaktedir.

KBUZEM
17
NAND kapısı
NAND  AND-NOT =(AND)’
(ABC)’=A’+B’+C’ (değillerin (terslerin) toplamı
(a) Üç kapılı NAND kapısı (b) NAND eĢdeğer devresi
(c) n giriĢli NAND
Şekil 7.8: NAND kapısı (gate)

KBUZEM
18
2.2 NOR Kapısı
ġekil 7.9(a) üç giriĢli NOR kapısını göstermektedir.
Simgenin çıkıĢındaki küçük daire iĢareti tersleme (NOT
veya tümleyen) anlamında kullanılmaktadır. Bu nedenle
NOR kapısı OR kapısını izleyen bir NOT kapısının
bileĢiminden oluĢmaktadır. NOR=OR.NOT=(OR)’
Üç giriĢli bir NOR kapısının çıkıĢ değiĢkeninin ifadesi
F=(A+B+C)’=A’B’C’ (terslerin (tümleyenlerin) çarpımı)
olur.

KBUZEM
19
NOR gate
NOR kapısı ≡ NOR-NOT =(NOR)’
(A+B+C)’=A’B’C’ (tümleyenlerin çarpımları)
(a) Üç kapılı NOR kapısı (b) NOR eĢdeğer devresi
(c) n giriĢli NOR
Şekil 7.9: NOR kapısı (gate)

KBUZEM
20
ġekil 7/9(c) de göserilen n-giriĢli NOR (VEYA)
kapsımın çıkıĢ değĢkeninin ifadesi:
Figure is
F = (X1+X2+………+Xn)’ = X1’ X2’……Xn’ (7.9)
Herhangi bir kapı diğer kapılar kullanılarak
geçekleĢtirilebilir. Örneğin VEYA kapısı NOT ve AND
kapıları ile aĢağıdaki gibi gerçekleĢtirilebilir:

KBUZEM
21
Şekil 7.10: NAND kapısının NOT, AND, ve OR
kapıları ile gerçekleĢtirilmesi

KBUZEM
22
AND veya OR kapısı varsa, bir diğri DeMorgan kuralı
kullanılarak gerçekleĢtirilebilir. Örneğin, OR ve NOT
varsa, AND and aiağıdeki gibi gerçekleĢtirilir:
XY = (X' + Y’)’ (7.10)

KBUZEM
23
ĠKĠ VE ÜÇ BASAMAKLI (DÜZEYLĠ) NAND VE
NOR KAPISI DEVRELERĠNĠN TASARIMI
Ġki basamaklı (düzeyli) AND ve OR kapı vevreleri kolayca
NAND ve NOR kapı devrelerine dönüĢtürülebilir. Bu
dönüĢümde DeMorgan kuralı aĢağıdaki gibi kullanılır:
(7.11)
(7.12)
AĢağıdaki örnek minimum SOP ifadesinin değiĢik diğer
formlara nasıl dönüĢtürüldüğünü göstermektedir:
(X1+X2+X3+...........Xn)’=X1’.X2’.X3’...............Xn’
(X1.X2.X3........Xn)’=X1’+X2’+X3’+............+Xn’

KBUZEM
24
(7.13), (7.14), (7.15) ve (7.16) eĢitlikleri ġekil 7.11 de
gösterildiği gibi, sıra ile AND-OR, NAND-NAND, OR-
NAND, NOR-OR devrelerine karĢılık gelmektedirler.
(7.16) eĢitliğini yeniden aĢağıdaki gibi yazalım:
F = {[A + (B' + C)' + (B + C' + D')' ]'}'
F = A + BC' + B‘ C D = [(A +B C‘ + B’ CD)’ ]'
= [A' • (BC‘ )' • (B‘ CD)‘ ] '
= [A' • (B' + C) • (B + C' + D‘ ) ]'
= A + (B' + C)' + (B + C' + D‘ )'
(7.17)
(7.13)
(7.11) den (7.14)
(7.12) den (7.15)
(7.12) den (7.16)

KBUZEM
25
(7.17) eĢitliği üç bamaklı NOR-NOR-INVERT devresi
verir. Fakat iki basamaklı NOR devresi elde etmek
istiyorsak, minimum SOP yerine minimum POS
(product-of-sums) formu ile baĢlamamız gerekir.
Karnaugh haritasından minimum POS ifadesi
bulunduktan sonra fonksiyon aĢağıdaki gibi iki
basamaklı devre veren formda yazılır:
F=(A+B+C)(A+B’+C’)(A+C’+D)
= {[(A+B+C)(A+B’+C’)(A+C’+D)]’}’
= [(A+B+C)’+(A+B’+C’)’+(A+C’+D)’]’
= (A’B’C’+A’BC+A’CD’)’
= (A’B’C’)’.(A’BC)’.(A’CD’)’
(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)

KBUZEM
26
Şekil 7.11(a): Ġki basamaklı (düzeyli) sekiz temel devreler
(devamı ġekil 7.11(b) de)

KBUZEM
27
F=,*(A+B+C)(A+B’+C’)(A+C’+D)+’-’
=,A’B’C’+A’BC+A’CD’-’
=(A’B’C’)’.(A’BC)’.(A’CD’)’
F=*(A+B+C)’+(A+B’+C’)’+(A+C’+D)’+’
Şekil 7.11(b): Ġki basamaklı (düzeyli) sekiz temel devreler

KBUZEM
28
F=[(abcde’)’+’=*(ab)(cd)e’)’+’=*(ab)’+(cd)’+e+’
Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisini verir (hatırlatma). POS
Ģeklinde yazılmıĢ herhagi bir lojik fonksiyon NAND-NOR olarak
gerçeleĢtirilebilir. Örnek:
(F=(a+a)(b+b)(c+c)(d+d)(e’+e’) yazılıp POS şekline dönüştürülebilir)

KBUZEM
29
İki Basamaklı NAND-NAND devresi tasarımı yapılası
işlemi
1. Fonksiyonun minimum SOP ifadesini bulunuz.
2. Buna karşılık gelen iki basamaklı (düzeyli) AND-OR
devresini çiziniz.
3. Sonra aynı çizizmi, arabağlantıları aynı bırakarak
aynı çizizmi NAND kapıları ile tekrarlayınız.
4. Herhangi bir kapının girişinde tek literal (değişken)
varsa o literalin tümleyenini alınız.

KBUZEM
30
Şekil 7.12 AND-OR devresinden NAND devresine
geçmek için yapılması gereken adımları sergilemektedir.
Devrenin çıkışında herhangi bir değişiklik olmamaktadır.
Genel olarak fonksiyon literallerin toplamı (l1, l2, l3,….)
ve çarpım terimlerden (P1, P2,…..) oluşmaktadır.
F = l1 + l2 +…..+ P1 + P2 + …..
DeMorgan kuralı uygulandıktan sonra
F = (l1’ l2‘ ……… P1‘ P2’ …..)’

KBUZEM
31
Şekil 7.12: AND-OR devresinin NAND-NAND devresine
dönüĢtürülmesi örneği
(a) DönüĢtürülmeden önceki devre
(b) DönüĢtürülmeden sonraki devre

KBUZEM
32
Çok basamaklı (düzeyli) NAND ve
NOR Kapıları Devreleri
Örnek: AĢağıdaki fonksiyonu NAND devresi ile
geçekleĢtiriniz.
F1=a’ [b’ + c(d + e’ ) + f’ g’ ] + hi’ j + k
ġekil 7.13 görüldüğü gibi devrenin Ģması önce AND-OR
devresi olarak çizilmiĢ ve daha sonra yukarıda anlatıldığı
gibi NAND devresine dönüĢtürülmüĢtür.

KBUZEM
33
Çok basamaklı (düzeyli) NAND ve
NOR Kapıları Devreleri
(a) AND-OR devresi
(b) NAND devresi
ġekil 7.13 Çok basamaklı NAND devresi dönüĢümü
1. basamak2. basamak3. basamak4. basamak5. basamak
1. basamak2. basamak3. basamak4. basamak5. basamak

KBUZEM
34
Alternatif Simge Kullanarak Devre DönüĢümü
Alternatif kapı Simgeleri
NOT
Şekil 7.14: Alternatif Kapı Simgeleri

KBUZEM
35
(a) NAND kapısı devresi
(b) Alternatif NAND kapısı devresi
(c) Eşdeğer AND-OR kapısı devresi
Şekil 7.15:
NAND Kapı devresi
dönüĢümü

KBUZEM
36
(a) OR ve AND kapılarından oluşan devresi
Çift terslemeler biribirini yok ediyor
Tümleyeni alınmış girişler
terslemeleri yok ediyor
(b) NOR kapıları ile kurulmuş devre
Şekil 7.16:
NAND Kapı devresi
dönüĢümü

KBUZEM
37
(a) AND-OR devresi
Küçük dairecikler (bubbles) biribirini yok ediyor
(b) NAND’e dönüştürmede ilk basamak
İlave edilmiş inverter
İlave edilmiş inverter
Şekil 7.17:
AND-OR devresinin
NAND devresine
dönüĢtürülmesi
(c) İlaveli alternatif dönüştürme

Ġki basamaklı (Düzeyli) Çok ÇıkıĢlı
Devre Tasarımı
KBUZEM
38
Bu konu aĢağda verilen bir örneklerle açıklanacaktır.
ÖNEK 1: AĢağıdaki üç fonksiyonu sağlayan dört giriĢli üç
çıkıĢlı bir devre tasarlayalım:
F1(A,B,C,D)=m(11,12,13,14,15)
F2(A,B,C,D)=m(3,7,11,12,13,15)
F3(A,B,C,D)=m(3,7,12,13,14,15)
(7.22)

Devre Tasarımı
KBUZEM
39
Şekil 7.18: (7.22) EĢtliklerini
minimize eden Karnaugh haritası
F1=AB+ACD F2=CD+ABC’
F3=AB+A’CD

Devre Tasarımı
KBUZEM
40
Şekil 7.19: (7.22) Eşitliklerini
gerçekleştiren devre

Devre Tasarımı
KBUZEM
41
Şekil 7.20: (7.22) EĢitliklerinin çok çıkıĢlı tek devre
olarak gerçekleĢtirilmesi

Devre Tasarımı
KBUZEM
42
f1 =  m(2,3,5,7,8,9,10,11,13,15)
f2 =  m(2,3,5,6,7,10,11,14,15)
f3 =  m(6,7,8,9,13,14,15)
(7.23)
ÖRNEK 2: Diğer bir dört giriĢli-üç çıkıĢlı devre
tasarımı
(7.23) eĢikliklerinin minimum ifadelerini bulmak için
ġekil 7.21 deki Karnaugh haritaları kullanlmıĢtır.

Devre Tasarımı
KBUZEM
43
f1=bd + b’c + ab’
f2=c + a’bd
f3= bc + ab’c’ +
abd
ac’d
veya
(7.23.a)
Önce ġekil (7.21) de verilen Karnaugh haritasından
fonksiyonların aĢağıda verilen minimum ifadeleri bulunur.
Bu fonksiyonlar 10 kapı ve 25 kapı giriĢi ile
gerçekleĢtirilebilir.

Devre Tasarımı
KBUZEM
44
ġekil 7.21

Devre Tasarımı
KBUZEM
45
Karnaugh haritalarından a' bd ( f2 den), abd ( f3 den), ve
ab' c’ ( f3 den) terimlerinin f1’ in içinde kullanılabileceği
kolayca görülmekedir. Eğer bd terimi yerine a' bd + abd
kullanılırsa bd terimini gerçekleĢtirecek olan kapı elimine
edilir. f1 ‘ in içindeki m10 ve m11 terimleri b'e, ve ab' c' ( f3
teki ) terimlerinin içinde zaten bulunmaktadır ve bunlar aynı
zamanda m8 ve m9; terimlerinide kapsamada kullanılabilir
ve ab‘ terimini gerçekleştirecek olan kapı elimine edilebilir.
Bu durumda en uygun çözüm aşağıdaki eşitliklrden elde
edilir:
f1=a’bd + abd + ab’c’ + b’c
f2=c + a’bd
f3=bc + ab’c’ + abd
(7.23.b)

Devre Tasarımı
KBUZEM
46
(7.23.b) eĢitlikleri 8 kapı ve 22 kapı giriĢi gerektirir ve 2
kapı 3 kapı giriĢi tasarruf ediĢlmiĢ olur.
Çok çıkıĢlı devre tasarlanırken bazı durumlarda
komĢu 1 lerin aynı guruba alıması daha az devre
elemanı kullanma yerine daha fazla devre elemanı
kullanmayı gerektireceğinden uygun değildir. Veya
baĢka bi değiĢle en çok sayıda ortak terim kullanmak
her zaman en iyi çözüm olmayabilir. Bunun örneği
ileride ġekil 7.23 de gösterilecektir.
(Ġki fonksiyon arasında ortak kullanılan terimlerin altları
çizilmiĢtir.)

Devre Tasarımı
KBUZEM
47
Çok ÇıkıĢlı devre tasarımı için Karnaugh haritalarından
gerekli temel (prime) gurupların (implicant’ ların
belirlenmesi
Ġki-Basamaklı çok çıkıĢlı devre tasarımında ilk adım
gerekli temel (prime) gurupların (implikants) bulunmasıdır.
Bunu yaparken çok dikkatli olmamız gereken bir özelliği
gözden kaçırmamak lazım. Buda birtek fonksiyon için
gerekli temel gurup (essential prime implicant) olan bir
gurup çok çıkışlı devre tasarımı için gerekli temel gurup
(essential prime implicant) olamayabilir. Örneğin Şekil 7.21
de, bd terimi f1 fonksiyonu için gerekli temel gurup
(essential prime implicant) (m5 ‘i içeren tek temel gurup)
olmasına karĢın, çok çıkıĢlı devre tasarımı için gerekli
temel guruplardan biri değildir.

Devre Tasarımı
KBUZEM
48
Bunun nedeni (bd nin temel guruplardan birisi olmaması)
m5 aynı zamanda f2 ‘nin haritasında da gözükmesi, bu
nedenle de f1 ve f2 fonksiyonlarının ortak bir terimi
tarafından kapsama alınabileceğidir.
f1 = a’c’d+abd+ab’c’d
f2 = bc’d’+abcd+bcd’
Bu iki fonksiyonu Karnaugh haritalarına taĢıyıp en iyi
çözümü veren gerekli temel gurupları (essential prime
implicans) bulalım. Sonuç bir sonraki slaytta (ġekil 7.22)
gösterilmiĢtir.
Örnek 1: Aşağdaki iki fonksiyonu göz önüne alalım;

Devre Tasarımı
KBUZEM
49
(a) En iyi çözüm
(b) Bu çözüm bir fazla kapı gerektiriyor
Şekil 7.22

Devre Tasarımı
KBUZEM
50
f1=a’b’d’+a’bc’d+a’bd’+abcd’
f2=a’b’c’+a’bd’+abc’d’+bcd’
Örnek 2: Aşağdaki iki fonksiyonu göz önüne
alalım:
Bu iki fonksiyonu Karnaugh haritalarına taĢıyıp
en iyi çözümü veren gerekli temel gurupları
(essential prime implicans) bulalım. Sonuç bir
sonraki slaytta (ġekil 7.23) gösterilmiĢtir.

Devre Tasarımı
KBUZEM
51
(a) En çok ortak terimle elde edilen çözüm: 8 kapı, 22 kapı giriĢi gerekli
(b) En iyi çözüm: 7 kapı, 18 kapı giriĢi gerekli ve ortak terim yok.
ġekil 7.23

Çok çıkıĢlı NOR ve NAND kapısı devreleri
KBUZEM
52
F1 = [(a + b’ )c + d](e’ + f )
F2 = [(a + b’ )c + g’ ](e’ + f )h
ÖRNEK 1: AĢağıda verilen iki fonksiyonu çok çıkıĢlı
NOR devresi olarak geçekleĢtirelim.
Ġstenen NOR devresi olduğundan önce OR-AND
devresini kurmamız doğru yaklaĢımdır bu devre
ġekil 7.24.a da verilmiĢ ve NOR devresine
dönüĢümü ġekil 7.24.b de verilmiĢtir.

KBUZEM
53
1. Basamak2. Basamak3. Basamak4. Basamak
(a) AND ve OR devresi
(b) Eşdeğer NOR devresi
Şekil 7.24 Çok basamaklı NOR devresi dönüşümü

KBUZEM
54
ÖRNEK 2: AĢağıda verilen iki fonksiyonu çok çıkıĢlı
NAND devresi olarak gerçekleĢtirelim.
f1=(ab+c’d+n)h+(a+e’)g+k
f2=(c’d+eh+g)k+(a+e’)g+b
Ġstenen NAND devresi olduğundan önce AND-OR
devresini kurmamız doğru yaklaĢımdır. Bu devre
ġekil 7.25.a da verilmiĢ ve NAND devresine
dönüĢümü ġekil 7.25.b de verilmiĢtir.

KBUZEM
55
Şekil 7.25.a Çok basamaklı AND-OR devresi

KBUZEM
56
Şekil 7.25.b. Çok basamaklı NAND devresi dönüşümü

Kaynakça
• 1.Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim
Yayınları, 4. Baskı, 2005
• 2.Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals,
Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006
• 3.M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital
Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997
• 4.Hüseyin Demirel, Dijital Elektronik, Birsen
Yayınevi, İstanbul, 2012
KBUZEM
57

Teşekkür Ederim
Sağlıklı ve mutlu bir hafta
geçirmeniz temennisiyle, iyi
çalışmalar dilerim…
KBUZEM
58

�ݺ�ߣ

H7 blm221 (1)

More Related Content

H7 blm221 (1)