More Related Content
What's hot (20)
Similar to La parabola (20)
More from uffamate (17)
Recently uploaded (18)
La parabola
- 1. La parabola Sintesi esperienze con Geogebra esempi approfondimenti
- 2. La parabola Un corpo pesante da una torre. Galileo Galilei (1564-1642) in Discorsi e dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze prima osserv嘆 che un corpo lasciato cadere ad esempio da una torre aveva come traiettoria una retta poi prese lo stesso corpo, ritorn嘆 sulla torre e lanci嘆 il corpo (imprimendo quella che chiameremo velocit iniziale); il corpo cadeva ma con una traiettoria diversa: una parabola. Se vuoi provare con Geogebra http://geogebratube.org/student/m23632
- 3. La parabola Un altro esempio di traiettorie lo possiamo trovare nel calcio. Propongo come curiosit: un video; http://www.youtube.com/v/fch08LxzAG8 un link ad un blog http://www.ilpost.it/2012/02/23/come-fare-gol-sucalcio-dangolo/ un titolo di un libro http://online.scuola.zanichelli.it/chiavidilettura/lascienza-nel-pallone/ per coloro che volessero approfondire. E se non piace il calcio?! Proviamo con il basket http://vimeo.com/44572572
- 4. La parabola Limmagine 竪 tratta dal film Tutti pazzi per Mary Un raggio, colpendo una superficie piana con un certo angolo, viene riflesso con lo stesso angolo. Se ora prendiamo lo specchio abbronzante possiamo provare a vedere dove vanno i raggi. Se pieghiamo questo specchio affinch辿 tutti i raggi convergano in un punto.il profilo dello specchio risulter una curva particolare che chiameremo parabola (o meglio un pezzo di parabola). Se i raggi sono molto forti e la signora 竪 di carnagione molto chiara..dopo un po di tempo la signora andr a fuoco!!!! Analogamente per i segnali, ad esempio televisivi, raccolti dalle parabole e convogliati in un ricevitore che 竪 posto proprio in quel punto dove si concentrano i raggi riflessi: il fuoco.
- 5. La parabola Archimede (III a.C.) aveva capito tutto questo e si racconta che con specchi parabolici bruci嘆 le navi romane. Questo tipo di specchio si chiama ustorio. Ed uno specchio era anche messo in cima agli 85mt del faro Alessandria, visibile a 50km di distanza. (280 a.C.) Sullo stesso principio funzionano gli impianti solari a concentrazione.
- 6. La parabola Prima di passare alla definizione della parabola soffermiamoci su un ultima considerazione: pensiamo di sospendere una catena (o un filo pesante) come in figura. La curva individuata dal filo sembra una parabola, ma non lo 竪 si chiama catenaria. (ne riparleremo fra qualche mese). Ha una propriet molto importante dal punto di vista dell'equilibrio: soggetta ad un carico, distribuisce il peso uniformemente lungo la curva stessa (ogni punto 竪 sottoposto allo stesso peso!). se ora pensiamo di appendere, ad esempio con delle funi, alla catena dei pesi distribuiti uniformemente (come nel caso di un ponte sospeso); la curva che si crea 竪 una parabola. Tale curva ha la propriet: se su tale curva agisce una forza peso, questa si distribuisce lungo la parabola in modo che gli sforzi risultino equamente distribuiti lungo la direttrice. E quello che accade in alcuni ponti sospesi:alla catena sono appesi tiranti che sostengono il piano del ponte: il peso 竪 uniforme per unit orizzontale di lunghezza, e la curva risultante 竪 una parabola.
- 7. La parabola E possibile provare che le due curve (filo pesato con o senza carico distribuito) sono differenti. Per il momento accontentiamoci di questo grafico. Elementi architettonici, archi e loghi: Sagrada Familia Barcellona A. Gaudi Gateway arch St. Louis (USA) Se ora pensiamo di prendere il ponte precedente e farne una simmetria otteniamo questa altra situazione. Mc Donald
- 8. La parabola Dagli esempi alla definizione di parabola parabola come luogo di posizioni assunte da un punto che si muove sotto certe ipotesi (definizione cinematica). Parabola come luogo di punti del piano che verificano determinate propriet geometriche (espresse utilizzando altri oggetti del piano e relazioni tra questi oggetti) (definizione metrica) Parabola come coppie di numeri (e quindi punti nel piano cartesiano) che soddisfano una equazione f(x,y)=0. (definizione analitica) Poich辿 la parabola 竪 sempre lo stesso oggetto.le tre definizioni dovranno essere equivalenti; cio竪 scelta una definizione, le altre (definizioni) seguiranno come propriet (o proposizioni).
- 9. La parabola Definizione di parabola. Noi abbiamo scelto la definizione metrica Assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d F 竪 detto fuoco, la retta d 竪 detta direttrice E con alcuni calcoli ricaveremo Lequazione y ax 2 ovvero la definizione analitica
- 10. La parabola definizione metrica: assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d Vediamo di ricavare la curva con alcune esperienze: 1) Ad esempio piegando la carta 2) Ripercorriamo questa esperienza con Geogebra http://geogebratube.org/student/m93631 3) Vediamo una costruzione diversa della parabola come luogo di punti (ripercorreremo la definizione metrica) http://geogebratube.org/student/m93636
- 11. La parabola Sfruttando Geogebra 竪 possibile chiarire le seguenti affermazioni: La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola; Il punto V in cui la parabola incontra lasse 竪 detto Vertice della parabola ed lunico punto della parabola simmetrico a se stesso Preso un punto della parabola esiste sempre un punto della parabola stessa che 竪 simmetrico del punto dato. Diremo che la parabola 竪 una figura con asse di simmetria Variando la distanza tra fuoco e direttrice si ottengono parabole pi湛 o meno aperte La parabola si trova sempre nel semipiano, individuato dalla direttrice, e contente il fuoco http://geogebratube.org/student/m93641
- 12. La parabola Si pu嘆 dimostrare (vedere libro) che Lequazione di una parabola che ha vertice nellorigine degli assi O e asse coincidente con lasse y 竪 del tipo y ax 2 Con (a 0) 1 Fuoco F (0; ) 4a Vertice V (0;0) asse x0 1 direttrice y 4a
- 13. La parabola Vediamo brevemente alcuni esempi/esercizi (a 0) : Si consideri la parabola y ax 1) si determini a affinch辿 passi per P(-2;8); 2) Si determini a affinch辿 il fuoco abbia coordinate (0;-4) 2 1) Ricordiamo che se P appartiene alla curva, allora le coordinate di P soddisfano lequazione. Quindi sostituiamo ad x e y le coordinate di P e ricaviamo a. 8 a 22 8 4a a 2 2) Dalla relazione tra ordinata del fuoco e coefficiente dellequazione ricaviamo a F (0, 1 1 1 ) 4 a 4a 4a 16 Soffermiamoci sul risultato al punto (2): poich辿 sappiamo che il vertice (0;0) 竪 punto medio tra direttrice e fuoco, poich辿 il fuoco ha ordinata -4 possiamo ricavare che la direttrice avr equazione y=4. Inoltre la parabola 竪 contenuta nel semipiano contenente il fuoco e quindi nel III e IV quadrante. Infine poich辿 la parabola non interseca la direttrice, allora dovr essere rivolta verso il basso e quindi a<0. Il risultato ottenuto e le considerazioni sopra possono essere verificate con Geogebra (vediamo come)
- 14. La parabola 1. 2. 3. 4. Apriamo Geogebra e nella riga di inserimento digitiamo lequazione della parabola. Nella stessa riga digitiamo le coordinate del fuoco e 4 lequazione della direttrice Scegliamo un punto sulla parabola e con lo strumento distanza valutiamo la distanza tra il punto e il fuoco e il punto e la direttrice Muoviamo il punto scelto e verifichiamo che la condizione di equidistanza 竪 rispettata 2 3 1
- 15. La parabola Costruiamo ora un foglio di Geogebra per rappresentare la generica parabola di equazione y ax (a 0) 2 2) Utilizziamo uno slider, al quale daremo nome a digitiamo nella riga di inserimento lequazione 3) ydi inserimento le 0) ax (a coordinate del Fuoco e del Digitiamo nella riga 1) 2 4) vertice Facciamo variare a con lo slider Cosa possiamo osservare? Sulla concavit? Sulla posizione di F? Sulla forma della curva?
- 16. La parabola Possiamo provare che tutte le parabole y ax 2 sono tra loro omotetiche (a 0) Ovvero hanno la stessa forma Consideriamo due parabole di equazione y ax x' kx x y ' ky y 2 y a' x 2 x' k Sostituendo nellequazione e y ' svolgendo i calcoli otteniamo k a 2 y ' x' k Poniamo a a' k E ricaviamo k
- 17. La parabola Utilizziamo adesso Geogebra per traslare la parabola Poi carta e penna ricaviamo lequazione della generica parabola con asse parallelo alle y e le sue caratteristiche principali. x' x xv y' y yv Ricaviamo le inverse e sostituiamo nellequazione y ax 2 (a 0) y yv ax xv y ax 2 2axv x axv yv 2 Assegniamo : b 2axv ; c axv yv 2 2 E otteniamo lequazione di una parabola con asse parallelo allasse y: y ax bx c (a 0) 2
- 18. La parabola lequazione di una parabola con asse parallelo allasse y: y ax bx c (a 0) 2 Osserviamo: 1. Le considerazioni su a varranno ancora 2. Il vertice della parabola : Ascissa : la otteniamo da b 2axv b xv 2a Ordinata: la otteniamo sostituendo lascissa nellequazione 3. Lasse avr equazione 4. La direttrice avr equazione 5. Il fuoco avr coordinate