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Successioni e laboratorio
Geogebra
Dalla teoria
successione [numerica] una funzione il cui dominio è
l’insieme dei numeri naturali .
[ovvero una legge che associa ad ogni numero naturale
uno e un solo numero appartenente ad un dato
insieme A]

Definiamo Dato un insieme numerico A si dice superiormente limitato quando
esiste un numero k tale che ogni elemento di A è minore o uguale a k.
[in simboli A superiormente limitato se ∃𝑘 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑎 ≤ 𝑘 ∀𝑎 ∈ 𝐴]
Definiamo un valore k tale che 𝑎 ≤ 𝑘 ∀𝑎 ∈ 𝐴 si chiama maggiorante di A
Definiamo Dato un insieme numerico A si dice inferiormente limitato quando
esiste un numero k tale che ogni elemento di A è maggiore o uguale a k.
[in simboli A inferiormente limitato se ∃𝑘 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑎 ≥ 𝑘 ∀𝑎 ∈ 𝐴]
Definiamo un valore k tale che 𝑎 ≥ 𝑘 ∀𝑎 ∈ 𝐴 si chiama minorante di A
Usiamo Geogebra per sperimentare queste due definizioni
Consideriamo la successione
3
𝑛 + 3

Successione e Geogebra – superiormente e inferiormente limitata
• Apriamo Geogebra
3
𝑛 + 3
Nella riga di inserimento digitiamo il comando
L=Successione[3/(n+3),n,1,10]

Sintassi del comando usato
L = Successione [3/(n+3),n,1,10]
3
𝑛 + 3
Comando.
In inglese “Sequence”
Espressione
variabile
Valore iniziale
Valore finale

Osserviamo che Geogebra ha creato un insieme L con i valori della successione.
Ma se vogliamo rappresentarli occorre creare dei punti; ovvero scegliamo di
assegnare ad ogni n il punto (n;an)
Portiamo il puntatore sull’oggetto L e cliccando con il tasto sinistro del mouse dal
menù scegliamo Elimina (Delete)
Ora digitiamo nella riga di inserimento
3
𝑛 + 3
L=Successione[(n,3/(n+3)),n,1,10]
In questo modo creiamo una lista
(sequenza) di punti (x,y)

Riassumendo: per creare una sequenza di valori possiamo usare il comando
Successione [<espressione>,<variabile>,<inizio>,<fine>]
3
𝑛 + 3
Proviamo a scrivere nuovamente il comando questa volta, ad esempio, scegliendo
come inizio 50 e come fine 100
Usiamo poi gli strumenti per modificare il punto di vista della finestra grafica

3
𝑛 + 3
Torniamo al nostro obiettivo:
1) valutare se la successione è superiormente e
inferiormente limitata
2) Individuare un maggiorante ed un minorante
Vedendo il grafico possiamo intuire che:
- Un minorante è 0
- Un maggiorante è 1
Occorre però provarlo algebricamente sfruttando le definizioni date inizialmente

da un punto di vista grafico3
𝑛 +3
Intuiamo che: un minorante è 0, un maggiorante è 1
Per provarlo graficamente seguiamo i seguenti passaggi:

𝑛 +3
Intuiamo che: un minorante è 0, un maggiorante è 1
Per provarlo graficamente vogliamo disegnare una retta y=k e verificare, al variare di k
cosa accade. Seguiamo questi passaggi:
1
1) Creiamo uno “slider”.
Ovvero un cursore che ci
permetta di cambiare
facilmente il valore di k.
Clicchiamo sulla penultima
icona e poi in un punto
della finestra grafica

𝑛 +3
1
Si apre una nuova finestra:
- Nome indichiamo il nome M della
variabile
- Intervallo:
indichiamo il minimo e il massimo
valore che assumerà la variabile;
l’incremento con il quale varierà.
Clicchiamo su Apply

da un punto di vista grafico
3
𝑛 +3
1
2
3
3) Scriviamo nella barra di input l’equazione della retta
y=M e diamo invio
4) Selezioniamo l’icona “Muovi” e con il puntatore
muoviamo lo slider
4
Possiamo intuire che 1 è maggiorante e 0 è minorante

3
𝑛 + 3
Sarebbe necessario dimostrare algebricamente che
Maggiorante=1 Minorante=0
Per fare questo abbiamo numerosi strumenti oltre alla carta e alla penna
1na 0na
Computer Algebra System (CAS) di Geogebra

3
𝑛 + 3
Carta e penna: Maggiorante=1 Minorante=0
Computer Algebra System (CAS) di Geogebra
𝑎 𝑛 ≤ 1 ↔
3
𝑛+3
≤ 1 ↔ 3 ≤ 𝑛 + 3 ↔ 0 ≤ 𝑛 sempre vero
𝑎 𝑛 ≥ 0 ↔
3
𝑛 + 3
≥ 0 ↔ 3 ≥ 0 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑜
In Geogebra: Visualizza - CAS
Digitiamo la nostra disequazione;
• se premiamo invio … non otteniamo molto.
• se premiamo «Risolvi» otteniamo il risultato
Poiché n è naturale, consideriamo solo n>=0

Possiamo ripetere quanto fatto anche
per altre successioni
𝑛 − 2
2𝑛
2 𝑛
− 𝑛 ; 𝑛 − 𝑛2

Possiamo ripetere quanto fatto anche
per altre successioni
𝑛 − 2
2𝑛
2 𝑛
− 𝑛 ; 𝑛 − 𝑛2
Una cresce, l’altra decresce e
sembra che nessuna sia limitata
In particolare la seconda
successione ha minoranti, ma non
maggioranti
La terza ha maggioranti ma non
minoranti.

Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade
ad una successione quando n→∞
𝑛 − 2
2𝑛
Riconsideriamo la successione:
Per indagare su cosa accade per n grandi, potremmo chiedere a Geogebra di
elencare alcuni termini della successione per n «grandi»
1. Poiché dovremo usare più volte la nostra espressione, assegniamole un
nome: digitiamo nella riga di inserimento a(n):=(n-2)/(2n)
2. In CAS digitiamo il comando per creare la successione partendo ad
esempio da n=1 e arrivando a n=10^5 con un incremento 10^4
Cliccando su «Calcolo numerico» otteniamo una informazione numerica.

Attenzione!!!
• Il computer lavora in aritmetica finita, quindi avremo valori
approssimati.
• Inoltre in Geogebra possiamo variare il numero di cifre
decimali.
Opzioni - Arrotondamento
Osserviamo i risultati
Possiamo ipotizzare che i termini della successione,
all’aumentare di n, si avvicinino a
1
2
Occorre:
• Trovare un modo «più semplice» per scrivere questo risultato
• Chiarire cosa intendiamo con «all’aumentare» e «si avvicinano»
• Dimostrare la nostra congettura.

Cerchiamo adesso di scoprire cosa accade ad una successione quando n→∞
Possiamo ipotizzare che i termini della successione, all’aumentare di n, si avvicinino a
1
2
Questa affermazione può essere tradotta in simboli nel seguente modo:
2
1
  nna Tende a
Chiariamo cosa significa «all’aumentare» e «si avvicinano»:
Per fare questo rappresentiamo i termini della successione sull’asse x:
• Creiamo una successione di punti con ascissa 𝑎 𝑛 e ordinata 0
• Limitiamoci inizialmente a far variare n da 1 a 10 con incremento 1.
L=Successione[(a(n),0),n,1,10]

Usiamo lo zoom per vedere il risultato
2
1
  nna Scopriamo il significato di «si avvicina»
Proviamo a parafrasare «i termini della successione si avvicinano a …»
Confrontiamo le risposte
trovate con questa
immagine:
le linee tratteggiate
indicano la distanza di
ogni termine dal punto
1
2
, 0
Proviamo a riformulare
l’idea

2
1
  nna Scopriamo il significato di «si avvicina»
«i termini della successione si avvicinano a …»
«la distanza del termine 𝑎 𝑛 da
1
2
tende a diminuire all’aumentare di n»
|𝑎 𝑛 −
1
2
|
Se la nostra idea è corretta questa distanza diventerà piccola
quanto vogliamo.
Per scoprirlo costruiamo una tabella con i valori di queste distanze

• Possiamo utilizzare ancora il comando
successione. Oppure il foglio di calcolo
(Spreadsheet) di Geogebra
Da “Vista” (View) “Foglio di calcolo” (Spreadsheet)
2
1
  nna |𝑎 𝑛 −
1
2
|
Creiamo un foglio con 3 colonne:
• Nella prima colonna: i valori di n
• Nella seconda colonna: i valori assunti dalla successione in corrispondenza di n
• Nella terza colonna: la distanza tra il termine della successione e il valore che
abbiamo individuato in precedenza.

• per generare ad esempio i primi 20 numeri naturali,
procediamo nel seguente modo:
• In A6 scriviamo 1
• In A7 scriviamo =A6+1
• Copiamo per trascinamento
2
1
  nna |𝑎 𝑛 −
1
2
|
Nel primo rigo: [in A1] digitiamo l’etichetta «Limite»; [in B1]
digitiamo il valore.
Sotto, ad esempio rigo 5: [in A5] digitiamo l’etichetta «n»;
[in B5] l’etichetta «a_n»; in [C5] l’etichetta «|a_n-L|.
• In B6 calcoliamo il termine della successione «=a(A6)»
Copiamo per trascinamento
• In C6 calcoliamo la distanza «=|B6-$B$1|
Copiamo per trascinamento

Per aumentare il numero di cifre decimali scegliere “opzioni”
(options) “approssimazione” (rounding)
2
1
  nna
Vediamo dalla colonna C che la distanza
tra L e an diviene sempre più piccola
|𝑎 𝑛 −
1
2
|
Per studiare cosa accade per un n iniziale maggiore:
• In A3 etichettiamo: «n iniziale»
• In B3 digitiamo il valore iniziale che desideriamo
Modifichiamo in A6: =B3

Ma quanto piccola può essere resa questa distanza?
2
1
  nna |𝑎 𝑛 −
1
2
|
Immaginiamo di scegliere un numero «piccolo»,
ad esempio 10−3
:
• Cerchiamo nella lista (eventualmente
modificando n iniziale) per quale valore di n, la
differenza risulta essere <10−3
• Possiamo ripetere per un altro valore «piccolo»?
• Possiamo ripetere il ragionamento per un valore che
stabiliremo successivamente?

Possiamo ripetere il ragionamento per un valore che stabiliremo
successivamente?
2
1
  nna |𝑎 𝑛 −
1
2
|
Procediamo «carta e penna»:
• Indichiamo con 𝜀 (epsilon) il valore «piccolo»
• Vogliamo cercare n tale che:
𝑎 𝑛 −
1
2
< 𝜀 ↔
𝑛−2
2𝑛
−
1
2
< 𝜀
Poiché gli 𝑎 𝑛 sono tutti < di
1
2
possiamo considerare:
1
2
−
𝑛−2
2𝑛
< 𝜀 ↔
𝑛−𝑛+2
2𝑛
< 𝜀 ↔ 2 < 2𝑛 ∙ 𝜀 ↔ 𝑛 >
1
𝜀
Dunque qualunque 𝜀 «piccolo» scegliamo, basterà prendere un valore di
𝑛 >
1
𝜀
affinché otteniamo una distanza minore di 𝜀

Si dice che una successione di numeri reali 𝑎 𝑛 converge al
limite l quando, fissato comunque un numero 𝜀 positivo (anche
molto piccolo) esiste un indice 𝑛0 (la cui scelta in genere dipende
da 𝜀 tale che, per ogni 𝑛 > 𝑛0 sia verificata la relazione
𝑎 𝑛 − 𝑙 < 𝜀
In simboli: ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0 > 0 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑎 𝑛 − 𝑙 < 𝜀 ∀𝑛 > 𝑛0
Per esprime che la successione converge al limite l si scrive 𝑙𝑖𝑚
𝑛 +∞
𝑎 𝑛 = 𝑙 e leggeremo
“Il limite, per n che tende a + infinito, di 𝑎 𝑛 è uguale a l”
Osservazione: ribadiamo il fatto che la successione in generale tende al numero l,
ma nessun elemento della successione è = a l.

Una successione 𝑎 𝑛 si dice diverge a +∞ e si scrive
𝑙𝑖𝑚
𝑛 ∞
𝑎 𝑛 = +∞ se per ogni K>0 (anche molto grande)
esiste un indice 𝑛0 ∈ ℕ tale che 𝑎 𝑛 > 𝑘 per ogni n> 𝑛0.
In simboli ∀K>0 ∃𝑛0 ∈ ℕ t.c. 𝑎 𝑛 > 𝐾 ∀𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 > 𝑛0.
Una successione 𝑎 𝑛 si dice diverge a −∞ e si scrive
𝑙𝑖𝑚
𝑛 ∞
𝑎 𝑛 = −∞ se per ogni K>0 (anche molto grande)
esiste un indice 𝑛0 ∈ ℕ tale che 𝑎 𝑛 < −𝑘 per ogni n> 𝑛0.
In simboli ∀K>0 ∃𝑛0 ∈ ℕ t.c. 𝑎 𝑛 < −𝐾 ∀𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 > 𝑛0.

Una successione “speciale”
Iniziamo con una esperienza in Geogebra
http://www.geogebratube.org/student/m21445

Lato poligono
𝑙 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛
180°
𝑛
Perimetro
2𝑝 = 2 ∙ 𝑛 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛
180°
𝑛
Studiamo la successione
2 ∙ 𝑛 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛
180°
𝑛
Osserviamo per come abbiamo costruito la successione
2 ∙ 𝑛 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛
180°
𝑛
< 2𝜋𝑟
La successione 𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛
180°
𝑛
converge a 𝜋

Possiamo utilizzare Derive o Geogebra per
calcolare alcuni elementi della successione
ed ottenere un valore approssimato di π
La successione 𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛
180°
𝑛
converge a 𝜋

Una curva particolare:
curva di Von Koch o fiocco di neve
Si ottiene da un triangolo equilatero, dividendo ciascuno dei suoi lati in tre parti;
Sul segmento centrale di ogni lato costruiamo esternamente ad esso un triangolo
equilatero,
Cancelliamo il segmento centrale.
Ripetiamo il procedimento

Una curva particolare:
curva di Von Koch o fiocco di neve
Calcoliamo la lunghezza della curva dopo n
iterazioni 𝑙 𝑛 = 3𝑎
4
3
𝑛
dove a è il lato del triangolo iniziale

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