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Dimostrazione pick v1.0
- 1. IL Teorema di Pick Questo teorema venne scoperto da George Alexander Pick, un matematico austriaco, amico di Einstein, morto nel 1943 in un campo di concentramento in Repubblica Ceca.
- 2. Teorema di Pick : Sia P poligono semplice ( lati non intrecciati) con vertici nel reticolo quadrato. La sua area 竪 data dalla formula: Con : B = nodi sul bordo del poligono I =nodi interni al poligono 1 - I 2 B ) ( P Area B=8 I=5 8 1 - 5 2 8 1 - I 2 B ) ( triangolo Area
- 3. Schema della dimostrazione Ogni poligono 竪 triangolabile 2) Pick vale per TRIANGOLI nel reticolo 1) Pick vale per UNIONE di poligoni reticolari Pick vale per figure formate dallUNIONE di TRIANGOLI
- 4. 1) Pick vale per UNIONE di poligoni reticolari Unione di due poligoni (web) Componendo insieme figure, la formula di Pick continua a valere, Si dice quindi che la formula 竪 ADDITIVA, cio竪 vale per figure formate da accostamenti di pi湛 poligoni. (La formula 竪 anche SOTTRATTIVA) Passo 1
- 5. Schema della dimostrazione Ogni poligono 竪 triangolabile 2) Pick vale per TRIANGOLI nel reticolo 1) Pick vale per UNIONE di poligoni reticolari Pick vale per UNIONE di TRIANGOLI Abbiamo appena dimostrato che:
- 6. Ogni triangolo generico pu嘆 essere inscritto in un rettangolo con lati paralleli ai bordi : quindi la sua area , pu嘆 essere calcolata: Area(T) = Area(Rettangolo) - Area(triangoli rettangoli) Poich辿 Pick vale per le unioni di poligoni , cio竪 se sommo o sottraggo poligoni: ci basta dimostrare che Pick vale per RETTANGOLI e TRIANGOLI RETTANGOLI. 2) Pick vale per TRIANGOLI nel reticolo T Passo 2
- 7. *piccola osservazione! Un contadino deve alberare un viale lungo 6 metri, con alberi distanti 1 metro luno dallaltro. Di quanti alberi avr bisogno? Un geometra deve progettare un porticato lungo 10 metri, con colonne distanti 1 metro luna dallaltra. quante colonne deve realizzare? Attenzione! Nel geopiano vale la stessa regola per i NODI e le UNITA! Ogni segmento lungo n unit contiene n+1 nodi 6 unit , 7 nodi !
- 8. Pick vale per RETTANGOLI? Supponiamo di avere un rettangolo di base b e altezza h. (Es. nella figura b=4 unit, h=6 unit ) Per la formula geometrica conosciuta: area(rettangolo)= b 揃 h Siamo sicuri che anche Pick mi da questo risultato? Proviamo Nodi sul bordo = B= (b+1)+(b+1)+(h+1)+(h+1)-4 = = 2b+2h Nodi allinterno = I = (b-1)揃( h-1) = b揃h-b-h+1 Applicando la formula di Pick si ha: Area con Pick(rettangolo) = = b 揃 h 1 - I 2 B 1 - 1) h - b - (b揃h 2 2h) (2b 1 - 1 h - b - b揃h h b
- 9. Pick vale per TRIANGOLI RETTANGOLI? Supponiamo di avere un TRIANGOLO rettangolo di base b e altezza h. (Es. nella figura b=4 unit, h=5 unit ) Per la formula geometrica conosciuta: area(rettangolo)= (b 揃 h) 2 Siamo sicuri che anche Pick mi da questo risultato? Proviamo Nodi sul bordo= B= (b+1)+(h+1)-1 = b+h+1 Nodi allinterno= I = (b-1)揃( h-1) 2 Area con Pick(triang. rettangolo) = = . = 2 h 揃 b 1 - I 2 B
- 10. Allora Pick vale rettangoli e per triangoli rettangoli Riprendendo un triangolo generale: Area(T) = Area(Rettangolo) - Area(triangoli rettangoli) , abbiamo visto che vale per i rettangoli, che vale per i tr,rettangoli e che vale per somme e sottrazione di poligoni, allora: Allora Pick vale per un TRIANGOLO GENERALE del reticolo
- 11. Schema della dimostrazione Ogni poligono 竪 triangolabile 2) Pick vale per TRIANGOLI nel reticolo 1) Pick vale per UNIONE di poligoni reticolari Pick vale per UNIONE di TRIANGOLI Abbiamo appena dimostrato che:
- 12. Ogni poligono 竪 triangolabile? Abbiamo gi visto con la scheda alcuni metodi per triangolare: Triangolazione (web) Ma siamo sicuri che anche i poligoni pi湛 difficili sono triangolabili? Dimostrazione per induzione. TRIANGOLAZIONI A RETE ESEGUITE DALL' I.G.M.I. (Istituto geografico militare) PER COPRIRE IL TERRITORIO ITALIANO. La triangolazione 竪 un metodo di rilevamento del terreno introdotto dal geodeta olandese Snellius nel 1617.
- 13. Schema della dimostrazione Ogni poligono 竪 triangolabile 2) Pick vale per TRIANGOLI nel reticolo 1) Pick vale per UNIONE di poligoni reticolari Pick vale per UNIONE di TRIANGOLI FINE DIMOSTRAZIONE
- 14. Approfondimenti: 1) Ogni poligono 竪 triangolabile. Dimostrazione per induzione. Supponiamo che lenunciato sia vero per un poligono con n lati. Voglio dimostrare che 竪 vero per n+1 lati. dimostrazione per induzione (web)