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L'armonia matematica della musica (Contare senza rendersene conto) - Urbisaglia, 6 febbraio 2011 - Federica Sargolini

CHE COS’E’ LA MUSICA? " La musica è ritmo prodotto per mezzo del suono “ (W.A. Mozart) “ Senza la musica, la vita sarebbe un errore” (F. Nietzsche) “ La musica ha una fondamentale componente spirituale. Rende meno arida, meno egoista, meno violenta la società” (U. Ughi) “ La musica è l'armonia dell'anima” (A. Baricco) “ La musica è un esercizio occulto di aritmetica dello spirito, ignaro del proprio numerare” (G.W. Leibniz) Cosa significa l’espressione di Leibniz? “ La musica è una lingua universale al massimo grado” (A. Schopenhauer) “ La musica è una delle vie per le quali l'anima ritorna al cielo” (T. Tasso)

Aspetto scientifico della musica musica e matematica: le origini armonia delle sfere nuove esigenze: Zarlino e V. Galilei soluzione di Galileo Galilei: passaggio matematica-fisica Pitagora vs Aristosseno Arco temporale: VI sec. a.C. – XVII sec.

La musica come disciplina scientifica CIVILTA’ ELLENICA, VI-IV sec. a.C.: Pitagora, Filolao, Archita Platone, Eudosso Aristosseno ELLENISMO - fase greca, 323-31 a.C., Euclide, Didimo… - fase romana, 31 a.C.-529 d.C., Tolomeo, Boezio… RINASCIMENTO teorici: Gaffurio, Zarlino, V. Galilei… artisti: L.B. Alberti, Leonardo da Vinci, F. Brunelleschi… RIVOLUZIONE SCIENTIFICA, XVI-XVII sec.: - Keplero, Mersenne, Galileo, Stevino, Cartesio, Huygens, Hooke, Newton...

Esperienza musicale fondata sull’udito Proprietà numeriche sottostanti alle consonanze udibili Astronomia e musica: “ scienze sorelle” Pitagora (VI sec. a.C.) Aristosseno (IV sec. a.C.) Civiltà ellenica: Grecia e Italia meridionale, VI-IV secolo a.C. Musica come ordine matematico dell’universo Medioevo: musica parte del Quadrivium Priorità della teoria sulla pratica Aritmetica Geometria Astronomia Musica

Franchino Gaffurio (1451-1522), Theorica musicae 1492 fabbri che producono suoni di diverse altezze forgiando il ferro con martelli di diverso peso. monocordo IUBAL (personaggio biblico della Genesi a cui viene attribuita l’invenzione della musica) Pitagora e Filolao, che con la ragione e l’esperimento scoprono le leggi matematico-musicali Racconto del “fabbro armonioso”

Intervallo = distanza tra due note misurata per mezzo del rapporto delle loro frequenze ESPERIMENTI con il monocordo scoperta di una connessione sistematica tra le lunghezze delle corde che producono due suoni e l'esperienza percettiva della consonanza tra i suoni Da dove deriva la consonanza? Perché alcuni intervalli sono consonanti e altri no? I numeri di Pitagora

Ottava = DO-do = 2/1 Quarta = DO-FA = 4/3 Quinta = DO-SOL = 3/2 Il giudizio dell'esperienza percettiva (Aristosseno) ne è semplicemente una conferma Tutte le consonanze musicali si ottengono dai rapporti tra i primi quattro numeri naturali

Consonanze fondamentali: rapporti superparticolari Coinvolgono sempre un numero pari (illimitato) ed uno dispari (limitato) (n + 1)/n con n = 1, 2, 3, … - Ottava 2/1 - Quinta 3/2 - Quarta 4/3 1 + 2 + 3 + 4 = 10 tetraktys “ TUTTO E’ ARMONIA E NUMERO” Corrispondenza immediata tra suoni e numeri

"In ogni caos c'è un cosmo, in ogni disordine un ordine segreto" (Carl Gustav Jung)

Scoperta di un ordine matematico intrinseco alla natura del suono musicale Linguaggio matematico della natura che esprime il divino Dio matematico consonanza musicale: fonte di piacere intellettuale la sua dimensione percettiva è solo la conferma dell'appartenenza dell'uomo ad un cosmo armonioso retto dai numeri semplici rilevante contenuto scientifico della musica: le consonanze musicali rispecchiano l’ARMONIA DELLE SFERE CELESTI

L’armonia delle sfere Armonia universale (cosmo) Armonia delle sfere: unione della musica con l’astronomia Musica prodotta dal movimento perenne delle sfere celesti

Sull’alto di ciascuno dei suoi cerchi stava una sirena che, trascinata in quel movimento circolare, emetteva un’unica nota su un unico tono; e tutte otto le note creavano un’unica armonia Musicus è il filosofo che dalle armonie sensibili risale alle armonie universali attraverso le armonie intermedie dell’anima e del corpo PLATONE: Repubblica , X libro, mito di Er: una nota fissa assegnata a ciascun pianeta BOEZIO (476-525): De institutione musica Musica mundana Musica humana Musica instrumentalis La musica non è un intrattenimento piacevole o una consolazione superficiale per un animo abbattuto, ma una chiave essenziale per interpretare l’armonia segreta di Dio e della natura, in cui l’unico elemento dissonante è il male che si annida nel cuore degli uomini

Il mondo greco assimila il cosmo ad una scala musicale ove i suoni più acuti sono assegnati a Saturno e al Cielo delle stelle fisse. Il Sole è indispensabile per la realizzazione dell'armonia poiché corrisponde alla nota centrale che congiunge due tetracordi, ossia due scale composte ognuna da quattro suoni.

Libro della Sapienza, XI, 21: Dio ha creato l'universo attenendosi al numero , alla misura e al peso Il mondo ha una struttura armonica perché Dio gli ha conferito ordine e misura Interpretazione medioevale Salmo 19: I cieli narrano la gloria di Dio e l'opera delle sue mani annunzia il firmamento. Il giorno al giorno ne affida il messaggio e la notte alla notte ne trasmette notizia. Non è linguaggio e non sono parole di cui non si oda il suono.

L’armonia di Keplero Dal cerchio all’ellisse: i pianeti percorrono orbite con velocità variabile Il pianeta va più veloce vicino al Sole (presso il perielio), più lento lontano dal Sole (presso l’afelio) l'ampiezza degli intervalli è direttamente proporzionale all'eccentricità dei pianeti Harmonices mundi (1619): ad ogni pianeta corrisponde non un singolo suono ma un intervallo la cui nota più grave corrisponde alla velocità minima e quella più acuta alla massima.

quinta 38’01’’ : 25’29’’ = 3 : 2 MARTE semit. diat. nat. 61’18’’ : 57’28’’ = 16 : 15 TERRA semit. crom. nat. 98’47’’ : 94’50’’ = 25 : 24 VENERE ottava + terza min. 394’00’’ : 164’00’’ = 12 : 5 MERCURIO terza minore 5’30’’ : 4’35’’ = 6 : 5 GIOVE terza maggiore 2’15’’ : 1’46’’ = 5 : 4 SATURNO Intervallo corrispondente Rapporto perielio/afelio Pianeta

Il monocordo di Robert Fludd (1574-1637) Le sfere dei quattro elementi, dei pianeti e degli angeli sono disposte verticalmente sul monocordo accordato dalla mano divina. Si stabilisce così una corrispondenza precisa tra livelli della realtà e consonanze musicali

Fortuna in ambito luterano, giungendo sino a Johann Sebastian Bach e al figlio Carl Philipp Emanuel, che ne realizzò infatti una risoluzione in partitura. Musurgia universalis (1650), frontespizio: composizione musicale caratterizzata da una struttura circolare potenzialmente eseguibile all’infinito, e che riflette pertanto le peculiarità dei moti planetari e del canto degli angeli. Athanasius Kircher, (1602-1680), "maestro in un centinaio d'arti"

Athanasius Kircher (1602 – 1680), canone angelico a 36 voci dal frontespizio della Musurgia Universalis (1650)

W. Shakespeare, Il Mercante di Venezia (1596), Atto V - Scena I - Belmonte, il giardino della casa di Porzia. Notte. Vieni, Gessica, siedi, guarda l'immensa distesa del cielo come scintilla di patène d'oro: non c'è una stella, per quanto minuscola, che non canti con una voce d'angelo nel suo moto orbitale, e non s'unisca sempre cantando in coro ai cherubini dagli occhi giovani. E questa musica sta pur nella nostra anima immortale, anche se noi non possiamo sentirla, finché resta racchiusa in questo involucro nostro d'argilla, rozzo e corruttibile.

“ Music of the Spheres è la mia interpretazione di questa teoria. Ogni pianeta e ogni stella, l’intero universo contiene una musica che nessuno può udire. Ecco come suonerebbe se esso fosse lasciato libero” (Mike Oldfield) Mike Oldfield (1953), Music of the Spheres

I numeri di Zarlino Nascita della polifonia Utilizzo terze (do-mi) e seste (do-la) Come giustificarle? GIOSEFFO ZARLINO Istitutioni harmoniche, 1558 Accettazione terze (4/5 e 5/6) seste (3/5 e 5/8) SENARIO MADRIGALI XVI-XVII (sovrapposizione di più di due voci) Ancora modello pitagorico Definizione aritmetica della consonanza

Vincenzo Galilei, liutista Numero come armonia del mondo (impostazione pitagorico-platonica) ZARLINO Fisicità del suono (impostazione Aristosseno) V. GALILEI I rapporti delle consonanze definiti con relazioni tra altezze dei suoni e lunghezze delle corde non sono validi universalmente Tensioni delle corde: ottava = ¼ (e non ½) Passaggio da approccio matematico a indagine fisica 4 1 DO do V. Galilei: Esperimenti (1580 c.ca)

La magia dei numeri nella pratica musicale enigma specchio unità Combinazione del misticismo matematico-pitagorico con la simbologia cristiana R I C E R C A R Regis Iussu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Resoluta (per ordine del re il canto, e il rimanente risolto con arte canonica) J.S. BACH, L’offerta musicale Enigmistica musicale (temi musicali nascosti, presentati sottoforma di indovinelli): derivazione pitagorica

J.S. Bach, L’offerta musicale (1747) - Canon A 2 Per Tonos “ Ascendente modulatione ascendat Gloria Regis ” - E’ un canone che potrebbe essere eseguito all'infinito, poiché la conclusione conduce direttamente a un nuovo inizio. Il senso simbolico è che la celebrazione della gloria del Re (a cui il canone era dedicato) segue di pari passo l'ascensione della melodia. Terminato il ciclo di un'ottava, ne ascenderebbe subito un'altra e poi un'altra ancora, e così all'infinito, con frequenze sempre più alte, dove il suono non è più udibile, ma si configura solo come numero astratto. Richiama la dimensione cosmica della musica e il mondo mistico-pitagorico dell'armonia delle sfere

Pendoli e corde Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze , 1638 Tre sono le maniere con le quali noi possiamo inacutire il tuono a una corda: l'una è lo scorciarla; l'altra, il tenderla più, o vogliam dir tirarla; il terzo è l'assottigliarla. Ritenendo la medesima tiratezza e grossezza della corda, se vorremo sentir l'ottava, bisogna scorciarla la metà, cioè toccarla tutta, e poi mezza: ma se, ritenendo la medesima lunghezza e grossezza, vorremo farla montare all'ottava col tirarla più, non basta tirarla il doppio più, ma ci bisogna il quadruplo, sì che se prima era tirata dal peso d'una libbra, converrà attaccarvene quattro per inacutirla all'ottava: e finalmente se, stante la medesima lunghezza e tiratezza, vorremo una corda che, per esser più sottile, renda l'ottava, sarà necessario che ritenga solo la quarta parte della grossezza dell'altra più grave. E questo che dico dell'ottava, cioè che la sua forma presa dalla tensione o dalla grossezza della corda è in duplicata proporzione di quella che si ha dalla lunghezza, intendasi di tutti gli altri intervalli musici. I numeri di Pitagora sono relativi soltanto ad alcune grandezze fisiche (le lunghezze delle corde), ma non ad altre (le sezioni e le tensioni delle corde) il segreto di quei rapporti semplici va ricercato nella dimensione fisica del suono (con i procedimenti della scienza sperimentale), anziché limitarsi a speculazioni teoriche

Analogia con l’oscillazione dei pendoli Teoria della coincidenza della consonanza consonanza dipende dall'accordo della vibrazione delle due corde, assimilate a pendoli Gerarchia delle consonanze: Ottava Quinta Quarta ecc. = Pitagora e Zarlino, ma su altre basi Consonanza: risultato dell'interazione tra vibrazione delle corde, vibrazione dell'aria e comportamento del sistema percettivo

Dalla matematica alla fisica Spostamento dalla magia dei numeri alla materialità del suono e della percezione dalla musica: contributo alla nascita della Rivoluzione scientifica del Seicento “ sensate esperienze” e “matematiche dimostrazioni” GALILEO GALILEI: l’ordine è armonico in quanto sistema di proporzioni tra variabili quantitative della realtà fisica la natura non ha “riguardo alcuno delle nostre intese simmetrie”, e non è aliena da proporzioni “incommensurabili e irrazionali”, quando non addirittura “incomprensibili dal nostro intelletto”.

I 273'' che costituiscono la sua durata totale richiamano esplicitamente la temperatura di -273 gradi, detta zero assoluto: non a caso, perchè il silenzio è per la musica ciò che lo zero è per la matematica. 4'33'' è una composizione di John Cage del 1952 ed è divisa in tre movimenti. Una provocazione? Anche, ma non solo, perché questa musica ha un senso e, al di là di tutto, si ascolta. Prendiamola come un invito: 4'33'' è una proposta divertita di un compositore umorista, che prende la vita e la musica come un bellissimo gioco infantile in cui ci si meraviglia ancora delle cose. Allora cerchiamo di rilassarci e percepiamo i più piccoli rumori delle persone e delle cose che sono intorno a noi. C'è un senso? Possiamo dire di no. Ma non è bellissimo? Sì, lo è. Autore : John Cage (1912-1992) Titolo del brano : 4’33’’, in tre movimenti: 30’’ – 2’23’’ – 1’40’’.

“ L'anima, sebbene non s'accorga di compiere un calcolo, avverte tuttavia l'effetto di questo calcolo inconscio o attraverso un senso di piacere di fronte ad una consonanza, o di fastidio di fronte alla dissonanza” (G.W. Leibniz) Grazie per l'attenzione!

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