�ݺ�ߣ

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ๶�มทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
เมตริกซ์
เมตริกซ์ คือการแสดงข้อมูลหรือตัวเลขชุดหนึ่งหรือกลุ่มหนึ่งด้วยการจัดลาดับของตัวเลขให้อยู่ใน
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ประกอบด้วยแถวนอนและแถวตั้ง
ความรู้เกี่ยวกับเมตริกซ์ จะเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการแก้ปัญหาระบบสมการเส้นตรงโดยในบทนี้จะ
เริ่มจากการอธิบายคาจากัดความของเมตริกซ์ ขนิดของเมตริกซ์ การดาเนินการบนเมตริกซ์ ทรานสโพส
ของเมตริกซ์ เมตริกนอนซิงกูลาร์และซิงกูลาร์ ดีเทอร์มินันต์ และการแก้ไขสมการโดยใช้เมตริกซ์และ
ดีเทอมินันต์
MATRIX

อธิบายเพิ่มเติม
ไมเนอร์ (Mij(A)) และ โคแฟกเตอร์(Cij(A))
ไมเนอร์ (Mij(A))
คือ ค่าของดีเทอร์มิเนนต์ของ๶�มทริกซ์ ซึ่งได้จากการตัดแถวที่ i และ ตัดหลักที่ j ของ๶�มทริกซ์ A ออก
เช่น ให้ A =
M23(A) = = = 8-14 = -6
โคแฟกเตอร์(Cij(A))
คือ Cij(A) = (-1)i+j
.Mij(A)
I+j เลขคู่แล้ว Cij = Mij
I+j เลขคี่แล้ว Cij = - Mij
เช่น จากตัวอย่างก่อนหน้า
C23(A) = (-1)2+3
.M23(A)
= (-1)5
.(-6)
= (-1).(-6) = 6
ดีเทอร์มิแนนต์ (det A , )
นิยาม
ดีเทอร์มิแนนต์ คือ ฟังก์ชันจากเซตของ๶�มทริกซ์จัตุรัสทั้งหลายซึ่งมีขนาด n x n ไปยังเซตของจานวนจริง
สามารถเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ๶�มทริกซ์ A ด้วย det(A) หรือ ก็ได้
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกซ์
1. เมตริกซ์ 1 x 1
ถ้า A = [a]
จะได้ว่า det(A) = a กล่าวง่ายๆ คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของ๶�มทริกซ์ที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว จะมีค่าเท่ากับ
สมาชิกตัวนั้น

ad
-(bc)
(a31.a22.a13)+ (a32.a23.a11)+ (a33.a21.a12) = k2
2. เมตริกซ์ 2 x 2
ถ้า A =
det A = = ad – bc
จะได้ว่า det(A) = ad - bc
3. ๶�มทริกซ์ 3 x 3
วิธีที่1 หลักต่อแถววิธีนี้ใช้คิดได้เฉพาะ๶�มทริกซ์ที่มีมิติ3x3เท่านั้น
กาหนดให้ A =
โดยการนาแถวที่1และ2มาต่อท้าย แล้วคูณทแยงเหมือนกับ 2 X 2
A =
แล้วนา k1- k2 ก็จะได้ det A
***ข้อสังเกต
1.)ถ้า๶�มทริกซ์ มีสมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่งเป็น 0 det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
2.)ถ้า๶�มทริกซ์ มีสมาชิก 2 แถวใดๆ เหมือนกันทุกตัวแล้ว det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
3.)ถ้า๶�มทริกซ์ มีสมาชิก 2 แถวใดๆ หรือ 2 หลักใดๆ เป็นสัดส่วนกันแล้ว det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
(a11.a22.a33)+ (a12.a23.a31)+ (a13.a21.a32) = k1

วิธีที่2 ใช้โคแฟกเตอร์  วิธีนี้สามารถใช้ได้กับ๶�มทริกซ์จัตุรัสทุกขนาด
กาหนดให้ A =
ให้เลือกแถวใดแถวหนึ่ง หรือหลักใดหลักหนึ่งมาคิด
สมมติว่าเลือกแถวที่1 จะได้
det(A) = a11 .C11(A)+ a12 .C12(A)+ a13 .C13(A)
= a11 .(-1)1+1
.M11(A)+ a12 .(-1)1+2
.M12(A)+ a13 .(-1)1+3
.M13(A)
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
ให้ A = nxn โดยที่ n 2
1.) det A = 0 เป็น๶�มทริกซ์เอกฐาน เพราะหา A-1
ไม่ได้
det A 0 เป็น๶�มทริกซ์ไม่เอกฐาน เพราะหา A-1
ได้
2.)ถ้าสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่ง ใน A เป็น 0ทุกตัว จะได้ det A = 0
เช่น A = หรือ A = จะได้ det A = 0
3.)ถ้า ๶�มทริกซ์ B เกิดจากการสลับกันระหว่าง 2 แถว หรือ 2 หลัก ของ๶�มทริกซ์ A จะได้ det B = -det A
เช่น A = และ B =
จะได้ det B = -det A
4.)ถ้า ๶�มทริกซ์ A มีแถว 2 แถว เหมือนกัน หรือ มีหลัก 2 หลัก เหมือนกันทุกตัว จะได้ det A = 0
เช่น A = จะได้ det A = 0
5.) ถ้านาค่าคงตัวไปคูณกับแถวใดแถวหนึ่ง แล้วนาไปบวกหรือลบกับอีกแถวหนึ่ง
จะได้ว่า ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของ๶�มทริกซ์ใหม่นั้นมีค่าเท่าเดิม (ระหว่างหลักกับหลักสมบัตินี้ก้สามารถใช้ได้)
เช่น =

6.) ถ้านาค่าคงตัว k ไปคูณกับแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่งของ๶�มทริกซ์ A
จะได้ว่า ค่าดีเทอร์มแนนต์ขงเทรกซ์ใหม่ เท่ากับ k det A
เช่น = k
7.) det(At
) = det(A)
8.) det(AB) = det A . det B
9.) det(Am
) = (det(A))m
โดย m เป็นจานวนเต็มบวกใดๆ
10.) det(kA) = kn
(det(A)) โดย A มีมิติ n x n
11.) det(A-1
) = โดย det(A) 0
12.) det(I)= 1 โดย I คือ๶�มทริกซ์เอกลักษณ์
๶�มทริกซ์ผูกพัน ( adj(A))
๶�มทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix) มิติ n x n ,n = 2,3…คือ ทรานสโพสของโคแฟคเตอร์ของ๶�มทริกซ์นั้น
สมบัติ A(adjA) = (adjA)A = (det A )Inxn
ให้ A =
จะได้ adj(A) = t

ตัวผกผันการคูณของ๶�มทริกซ์ ( A-1
)
ให้ A มีมิติเป็น n x n และ A-1
จะมีมิติ n x n ด้วย
จะได้ A.A-1
= A-1
.A = In
การหา A-1
ของ ๶�มทริกซ์ มิติ 2 x 2
A =
จะหา A-1
ได้ ก็ต่อเมื่อ ad – bc 0
และ A-1
=
–
หรือ A-1
= . adj(A)
เทียบกันแล้วจะได้ว่า
det(A) = ad – bc และ
adj(A) =

การหา A-1
ของ ๶�มทริกซ์ มิติ 3 x 3
ให้ A มีมิติ n x n โดยที่ det(A) 0
A-1
= . adj(A)
สมบัติ
ถ้า A , B และ C เป้ น๶�มทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณ
1.) AB = AC จะได้ A-1
AB = A-1
AC จะได้ IB = IC จะได้ B= C
2.) (A-1
)-1
= A
3.) (An
)-1
= (A-1
)n
= A-n
4.) (kA)-1
= k-1
. A-1
= . A-1
5.) (AB)-1
= B-1
. A-1
และ (ABC)-1
= C-1
. B-1
. A-1

14.Roll operation

การดาเนินการตามแถว
เช่น =
=
5R1 R12 R2 – 2R1
Note
ถ้า
จะได้ว่า
B = A-1

ตัวอย่างโจทย์ เรื่อง ๶�มทริกซ์
1. กําหนด A = ค่าของ A + 2A
ก. A
t
ข. A
ค. –A
t
ง. 2A
t
2. ให้ A = , B = , C = และ 3A –B + 2C = แล้ว ค่าของ 2a-
b+c+d เท่ากับข้อใด
ก. 4
ข. 10
ค. 24
ง. 30
3. กําหนด A = , B = และ C = ค่า a ที่สอดคล้องกับสมการ
(At
)t
B + (Bt
A)t
= (4C)t
ก. 4
คือข้อใด
ข. 3
ค. 2
ง. 1
4. ให้ A , B และ C เป็นเมตริกซ์มิติ 3*3
ถ้า det(A) = -4 และ At
B – 2At
Ct
= -4A-1
แล้ว det(2C-Bt
ก. -2
) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ข. -4
ค. 2
ง. 4

5. กําหนดให้ a, b, c เป็นจํานวนจริง และ A = ถ้า C12
ก. -4
(A) = 1 และ det(A) = -9 แล้วค่า
ของ a ตรงกับข้อใด
ข. -3
ค. 3
ง. 4
6. จากผลคูณ๶�มทริกซ์ที่กําหนดให้
ส่งผลให้เกิด ค่า det(c) = = 6
จงหาค่า a เมื่อ a > 0
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
7. กําหนด A และ B เป็น๶�มทริกซ์ 4 × 4
โดยที่ A+B = AB det(A-I) = 97 จงหา 194det(B-I)
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4

8. กําหนด เมื่อสมาชิกทุกตัวใน๶�มทริกซ์ є R
จะได้ f1(x) = (a31+a21)x2
f
; x≥ 0
2(x) = (a11-a33)x2
f
+8 ; x≥0
3(x) = ; y ≥0
ข้อใดถูกต้องในช่วง [5, )
1. f1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 2. f2 เป็นฟังก์ชันลด 3. f3 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
4. f1,f2,f3 เป็น f
ก. 1,2 ถูก
1-1
ข. 3,4 ถูก
ค. 1 เท่านั้น
ง. 2,4 ถูก
9. ให้ A = จงหาค่า det(adj(A+A2
+A3
+…+A10
ก. 1
))
ข. 25
ค. 55
ง. 100
10. ให้ g(x) = 3x+5
f( ) = (1+ )+1 ซึ่ง h(x)= k(x+2) โดยที่ k3
-7k2
จาก f ข้างต้นทําให้เกิด
+21k-294 =0
A =
จงหา
ก.
ข.
ค.
ง.

11. กําหนดสมการวงกลม
X2
+y2
ก่อให้เกิด A =
-2x-6y-6 = 0
เมื่อ r คือ รัศมีของวงกลม
ซึ่งมี B =
จงหา det(2(adj(AB+A))det[5](A-1
)t
)t
ก.
ข. 1,000
ค. 2,500
ง.

1. จงตรวจสอบประพจน์ต่อไปนี้
แถม
1.)
2.)
3.)
เมื่อ A,B เป็น๶�มทริกซ์ non-singular มิติ 2×2
ซึ่ง detA + detB = 3 ------------(1)
detA – detB = 1 ------------(2)
4.)
ข้อใดเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น
ก. 1.) และ 2.)
จริง
ข. 2.) และ 3.)
ค. 1.) และ 3.)
ง. 2.) และ 4.)
2. กําหนด
จงหา (- ] [y, เป็นสับเซตช่วงใด เมื่อ y อยู่ในช่วง (- ]
1)
2)
3) [-10,-3]
4) (- ]
ก. 1) และ 2)
ข. 1) และ 3)
ค. 2) และ 4)
ง. 3) และ 4)

เฉลยโจทย์เมตริกซ์
1. ตอบ ข.
วิธีทํา จากโจทย์จะเห็นได้ว่า๶�มทริกซ์ A เป็น๶�มทริกซ์ เสมือนสมมาตร ซึ่ง At
ดังนั้น A + 2A
จะมีค่าเท่ากับ –A
t
= A + (-2A)
= A + 2(-A)
= A – 2A
= -A = At
2. ตอบ ก.
วิธีทํา
3A =
หาค่าของ 3A
=
หาค่าของ 2C
2C = =
หาค่าของ 3A – B + 2C
- + = =
ดังนั้น a = 7 b = 10 c = -9 d = 9
หาค่าของ 2a-b+c+d = 2(7) – 10 + (-9) + 9 = 4
3. ตอบ ก.
วิธีทํา จัดรูปสมการจะได้ (A)B + (At
)B = 4(Ct
(A+A
)
t
)B = 4(Ct
)
ดังนั้น 4a-16 = 0 และ 6a-8 = 16
a = 4 a = 4
จะได้ว่า a = 4

4. ตอบ ง.
วิธีทํา
det(A
จัดการใส่ det ทั้ง2 ข้าง
t
B – 2At
Ct
) = det(-4A-1
det(A
)
t
(B – 2Ct
)) = (-4)3
(det(A-1
(detA
))
t
)(det(B – 2Ct
)) = -64 ( )
-4 (det(B – 2Ct
det(-2C + B
) = 16
t
)t
det((-1)(2C – B
= -4
t
))t
(-1)
= -4
3
det(2C – Bt
det(2C – B
) = -4
t
) = 4
5. ตอบ ง.
วิธีทํา ดูที่ C12
C
(A) = 1 ก่อน
12(A) = (-1)1+2
(M12(A)) = 1 ดังนั้น M12
M
(A) = -1
12(A) = -1  
จะได้ว่า –b – c = -1 ------------
พิจารณา det(A) = -9
= - a – c + 0 – 0 – a – b = -9
-2a – b – c = -9
จาก จะได้
-2a -1 = -9
-2a = -8
ดังนั้น a = 4

จากการคูณ๶�มทริกซ์ที่กําหนดให้จะได้ว่า
6. ตอบ ง.
สามารถสรุปเป็นสมการ การเท่ากันของตําแหน่งในเมตริกซ์
x+ y+ z = 6 -------- (1)
-2x+ 3y+ 19z = 61 -------- (2)
x+ 7y+ 8z = 39 -------- (3)
(1)×8 ; 8x+ 8y+ 8z = 48 -------- (4)
(4)-(3); 7x+y = 9 -------- (5)
(1)×19; 19x+ 19y+ 19z = 114 ------ (6)
(6)-(2); 21x+ 16y = 53 ------- (7)
(5) ×3 ; 21x+ 3y = 27 ------- (8)
(7)-(8); 13y = 26 y=2
x =1 , z = 3
det(C) = (y+a)(a-z)-0 = 6
(2+a)(a-3)= 6
a2
(a-4)(a+3)= 0
–a – 12 = 0
a = -3,4 จากโจทย์ a>0 จึงต้องตอบตัวเลือก ง. 4
A+B = AB
7. ตอบ ข.
แล้ว A = AB-B
A = (A-I) B
detA = det(A-I)detB
detA = 97detB ----------------(1) จาก det(A-I) = 97
B = AB-A
B = A(B-I)
detB = detAdet(B-I)-----------(2)
detB = 97detBdet(B-I) แทน(1) ใน(2)
det(B-I) = 194det(B-I) = 2 ในตัวเลือก ข.

กําหนด
8. ตอบ ง.
A A
จาก (A
-1
-1
)-1
จะได้ A =
=A
f1(x) = (a31+a21)x2
f
; x≥ 0
1(x) = (0+0)x2
f
; x≥ 0
1
คือ แกน +x ไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่มหรือลด เป็นฟังก์ชันคงตัว
(x) = 0
f2(x) = (a11-a33)x2
f
+8 ; x≥0
2(x) = (1-(-1))x2
= 2x
+8 ; x≥0
2
เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
+ 8
f3(x) = ; y ≥0
f3(x) = ; y ≥0
y2
เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
= 23x ; y ≥0
แสดงว่า 1. ผิด 2. ถูก 3. ผิด 4. ถูก ตอบ ง. 2, 4 ถูก
ให้ A =
9. ตอบ ง.
จงหาค่า det(adj(A+A2
+A3
+…+A10
A
))
2
= A2
=
A3
=
…
A10
=
ไม่มีผลต่อ det det(adj(A+A2
+A3
+ … + A10
)) = det 2-1
= 100

ให้ g(x) = 3x+5
10. ตอบ ข.
f( ) = (1+ )+1
ซึ่ง h(x) = k(x+2) โดยที่ k3
-7k2
สามารถใช้ทฤษฎีเศษ (k-3)(k
+21k-294 =0
2
k = 3
-4k+98) = 0
h(x)= 3x+6 f(x)=x+1
A =
= = ตัวเลือก ข.
กําหนดสมการวงกลม
11. ตอบ ข.
X2
+y2
(x-1)
-2x-6y-6 = 0
2
+(y-3)2
= 42
ก่อให้เกิด A =
r = 4
B =
det(2(adj(AB+A))det[5](A-1
)t
)
= 2
t
2
det(A)2-1
det(B+I)2-1
52
=4det(B+ I)25
=100(10)= 1,000 ตัวเลือก ข.

1. ตอบ ค.
เฉลยแถม
จาก 1.)
ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริงอยู่แล้ว จากนิยาม det ของ๶�มทริกซ์ 1×1
เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง ถ้าจริง แล้ว เท็จ ย่อมมีค่าความจริงเป็น
2.)
จริง
จริง แต่เมื่อ B ≠ A-1
ทําให้ AB ≠ I ประพจน์นี้ค่าความจริงเป็นเท็จ
เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง เท็จ ก็ต่อเมื่อ จริง ย่อมมีค่าความจริงเป็น เท็จ
3.)
ซึ่ง detA + detB = 3 ------------(1)
detA – detB = 1 ------------(2)
ซึ่ง detA + detB = 3 ------------(1)
detA – detB = 1 ------------(2)
จะได้ว่า detA = 2
detB = 1
ประพจน์แรกมีค่าความจริงเป็นจริง
จากสมบัติการสลับแถวและหลัก

ประพจน์ที่สองจึงมีค่าความจริงเป็นจริง จริงและจริง ได้
4.)
จริง
ประพจน์แรก ค่า det ≠ ๶�มทริกซ์ อยู่แล้วจึงมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ประพจน์ที่สอง -2C1 =C3 ทําให้ det = 0 เป็น๶�มทริกซ์ singular จึงหา A-1
จึงมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ไม่ได้
เท็จหรือเท็จ ได้
จึงสามารถสรุปได้ว่า ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น
เท็จ
จริง
2. ตอบ ง.
คือ ข้อ 1. และ 3. ตัวเลือก ค.
จะได้ว่า xy = 30 ---------(1)
-1(2x+y) = 16 --------(2)
-2x – y = 16
y = -2x-16 ----(3) แทนใน(1)
(-2x-16)x = 30
(x+8)x = -15
x2
(x+3)(x+5) = 0
+8x +15 = 0
x = -3,-5 y = -10, -6
ต้องเลือกกรณี x =-3 y = -10 จากช่วง y = (- ]
(- ] [y, = (- ] [-10, =[-10,-3]
ซึ่ง 1) =
2) = [8,9]
3) [-10,-3]
4) (- ] พบว่า [-10,-3] เป็นสับเซตของ 3) และ 4) พอดี จึงตอบตัวเลือก ง.

�ݺ�ߣ

๶��Ȩ��้อหา๶�มทริกซ์

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to ๶��Ȩ��้อหา๶�มทริกซ์ (20)

๶��Ȩ��้อหา๶�มทริกซ์