![สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์
ถ้า A , B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n และ k เป็นสเกลาร์แล้ว
1. det(kA) = kndet(A)
2. det(Ak) = [detA]k เมื่อ k เป็นจานวนเต็มบวก](https://image.slidesharecdn.com/random-220222071547/85/Determinant-38-320.jpg)
More Related Content
What's hot (20)
Similar to ตัวกำหȨ(ٱٱԲԳ) (20)
More from kroojaja (20)
ตัวกำหȨ(ٱٱԲԳ)
- 2. Determinant ดีเทอร์มิแนนต์ คือ ฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่า ของ n ในมิติ n x n ของเมทริกซ์จัตุรัส A
- 4. Determinant
- 5. Determinant ตัวอย่าง จงหา det(A) det(B) det(C) 4 3 4 2 1 5 , , 2 1 2 1 2 1 A B C = = =
- 6. Determinant ตัวอย่าง จงหา det(A) , det(B) เมื่อกาหนด 1 2 3 2 1 0 0 4 1 , 3 4 5 1 2 0 9 8 7 A B = =
- 7. การหาค่าดีเทอร์มินันต์โดยการกระจายโคแฟคเตอร์ บทนิยาม Minor กาหนด A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n โดยที่ n ≥ 2 1. ไมเนอร์ของ เขียนแทนด้วย 2. ไมเนอร์ของ คือดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัด แถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A ออก ij a ij M ij a
- 8. ตัวอย่าง จงหาไมเนอร์ทั้งหมดของเมทริกซ์ A 2 1 0 3 4 5 9 8 7 A =
- 9. การหาค่าดีเทอร์มินันต์โดยการกระจายโคแฟคเตอร์ บทนิยาม Cofactor กาหนด A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n โดยที่ n ≥ 2 1. โคแฟคเตอร์ของ เขียนแทนด้วย 2. โคแฟคเตอร์ของ คือ ij a ij C ij a ( 1)i j ij M + −
- 10. ตัวอย่าง จงหาโคแฟคเตอร์ทั้งหมดของเมทริกซ์ A 2 0 1 3 1 2 4 5 6 A − − =
- 11. Determinant ทฤษฎีบท กาหนด โดย เป็นสเกลาร์ และ n Z , n ≥ 2 จะได้ เมื่อกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวที่ I เมื่อกระจายโคแฟกเตอร์ตามหลักที่ j ij nxn a A = ij a
- 12. Determinant ตัวอย่าง จงหา det(A) โดยใช้โคแฟกเตอร์ 4 1 1 2 1 2 3 5 2 A =
- 13. Determinant ตัวอย่าง จงหา det(A) โดยใช้โคแฟกเตอร์ 1 1 1 2 1 2 2 1 4 3 0 1 3 0 2 1 A − − − =
- 15. Determinant ทฤษฎีบท กาหนด โดย เป็นสเกลาร์ และ n Z , n ≥ 2 จะได้ ถ้า det(A) ≠0 แล้ว ij nxn a A = ij a 1 1 ( ) det( ) adj A A A− =
- 16. Determinant ตัวอย่าง จงหาดีเทอร์มินันต์ของ ***จากสไลด์ 10 ตัวอย่างที่ 4 หน้า 56 หาโคแฟกเตอร์แล้ว*** 2 0 1 3 1 2 4 5 6 A − − =
- 17. Determinant ตัวอย่าง จงหาดีเทอร์มินันต์ของ ***จากสไลด์ 10 ตัวอย่างที่ 4 หน้า 56 หาโคแฟกเตอร์แล้ว*** 2 0 1 3 1 2 4 5 6 A − − = 4 26 19 5 8 10 1 7 2 จะได้ C − − − = 4 5 1 ( ) C 26 8 7 19 10 2 T adj A = = − − −
- 18. Determinant 2 0 1 4 5 1 27 0 0 ( ) 3 1 2 26 8 7 0 27 0 27 19 10 2 0 0 27 4 5 6 n Aadj A I = − − − − − = = จาก จะได้ det A = 27
- 19. Determinant ตัวอย่าง จงหาอินเวอร์สการคูณของ A 1 0 1 2 1 0 1 1 1 A − =
- 20. Determinant
- 21. Determinant ตัวอย่าง ให้ ถ้า แล้ว b31 + b23 มีค่าเท่าไร 3 2 1 5 6 2 1 0 3 A − − = 11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 b b b A b b b b b b − =
- 22. Determinant
- 23. การแก้ระบบสมการโดยใช้กฎของคราเมอร์ ทฤษฎีบท กฎของคราเมอร์ ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ nxn โดยที่ det(A) ≠0 แล้วระบบสมการ ที่เขียนในรูปสมการเมทริกซ์ Ax = b เมื่อ x1, x2,…, xn เป็นตัวแปร และ b1, b2,…, bn เป็นค่าคงตัว โดยที่ และ มีคาตอบคือ เมื่อ Ai คือเมทริกซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ I ของ A ด้วย b 1 2 n X X X X = 1 2 n b b b b = 1 2 1 2 det( ) det( ) det( ) , ,..., det( ) det( ) det( ) n n A A A A A A X X X = = =
- 26. ตัวอย่าง จงหาคาตอบของระบบสมการที่กาหนดโดย ใช้กฎของคราเมอร์ 2x + 3y = 9 2x – 3y = 3
- 28. ตัวอย่าง จงหาคาตอบของระบบสมการที่กาหนดโดย ใช้กฎของคราเมอร์ 3x + y - z = 3 2x – y + 3z = 20 7x + y + z = 23
- 30. การหาค่าดีเทอร์มินันต์โดยการลดรูปตามแถว ทฤษฎีบท ให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A มีสมาชิกแถวใดแถว หนึ่ง หรือหลักใดหลักหนึ่งเป็นศูนย์ทุกตัว แล้ว det(A) =0
- 31. Determinant การหาค่าดีเทอร์มินันต์โดยการลดรูปตามแถว ทฤษฎีบท ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส 1. ถ้าคูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A ด้วยค่าคงที่ แล้วดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ใหม่เท่ากับ cdet(A) 2. ถ้าสลับที่กันระหว่างแถวสองแถวใดๆ(หรือหลักสองหลักใดๆ)ของ A แล้ว ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ใหม่เท่ากับ –det(A) 3. ถ้าเปลี่ยนแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A โดยใช้ค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ คูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A แล้วนาไปบวกกับสมาชิกในแถว (หรือหลัก) ที่ต้องการเปลี่ยนนั้นโดยบวกสมาชิกในลาดับเดียวกันเข้าด้วยกัน แล้วใช้ผลบวกแทนที่ สมาชิกเดิมแล้วดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ใหม่เท่ากับ det(A)
- 32. Determinant
- 33. Determinant ทฤษฎีบท ให้ E เป็นเมทริกซ์มูลฐาน 1. ถ้า E เป็นผลจากการคูณเมทริกซ์ In ด้วยค่าคงที่ k แล้ว det(E) = k 2. ถ้า E เป็นการสลับแถวของสองแถวใดใน In แล้ว det(E) = -1 3. ถ้า E เป็นผลจากการคูณแถวใดแถวหนึ่งแล้วบวกกับแถวอื่นใน In แล้ว det(E) = 1
- 34. Determinant ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ A โดยการลดรูปตามแถว 0 1 5 3 6 9 2 6 1 A − =
- 35. Determinant
- 36. Determinant ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ A โดยการลดรูปตามคอลัมภ์ 1 0 0 3 2 7 0 6 0 6 3 0 7 3 1 5 A − =
- 37. Determinant
- 38. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์ ถ้า A , B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n และ k เป็นสเกลาร์แล้ว 1. det(kA) = kndet(A) 2. det(Ak) = [detA]k เมื่อ k เป็นจานวนเต็มบวก
- 39. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์ ถ้า A , B , C เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n และมีสมาชิกแตกต่าง กันเพียงแถวเดียว แถวที่แตกต่างกันคือแถวที่ r ซึ่งสมาชิกแถว ที่ r ของ C เกิดจากการบวกกันของสมาชิกแถวที่ r ของ A และ B ที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกัน แล้ว det(EA) = det(E)det(A)
- 40. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n และ E เป็นเมทริกซ์มูลฐานที่ มีมิติ n x n 1แล้ว det(A) = det(A)+det(B) ผลลัพธ์ดังกล่าวยังคงเป็นจริงเมื่อเปลี่ยนจากแถวเป็นหลัก
- 41. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์ เมทริกซ์จัตุรัส A เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ ก็ต่อเมื่อ det(A) ≠ 0
- 42. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์ ถ้า A , B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n แล้ว det(AB) = det(A)det(B)
- 43. Determinant ตัวอย่าง det(ABCD) 1 2 2 1 2 1 2 1 , , , 3 4 3 0 4 3 4 3 A B C D − = = = =
- 44. Determinant
- 45. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน ทฤษฎีบท ถ้าเมทริกซ์จัตุรัส A เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ แล้ว 1 1 det( ) det( ) A A
- 46. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน ทฤษฎีบท กาหนดให้ A มีมิติ n x n ข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน 1. A มีอินเวอร์สการคูณ 2. Ax = 0 มีคาตอบชัดแจ้งเพียงคาตอบเดียว 3. A = I โดยที่ เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของเมท ริกซ์ A 4. สามารถเขียน A ในรูปผลคูณของเมทริกซ์มูลฐานได้ 5. Ax = b เป็นระบบคล้องจองสาหรับทุก b ที่มีมิติ n x 1 6. Ax = b มีคาตอบเดียว สาหรับทุก b ที่มีมิติ n x 1 7. det(A) ≠ 0
- 47. Determinant ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ A เมื่อ 1 1 1 2 1 2 2 1 4 3 0 1 3 0 2 1 A − − − =
- 48. Determinant
- 49. Determinant ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ A เมื่อ 1 1 3 1 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 2 5 A − − − =
- 50. Determinant
- 51. Determinant ตัวอย่าง กาหนด จงหา 2 1 5 3 3 4 3 4 1 1 1 1 2 1 2 1 a b c d = a b c d
- 53. ระบบสมการเชิงเส้นในรูป Ax = x ระบบสมการนี้สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งดังนี้ Ax - x = 0 Ax - Inx = 0 (A - In)x = 0 ดังแสดงให้เห็น ระบบสมการ (A - In)x = 0 เป็นระบบสมการ เชิงเส้นเอกพันธ์ และเป็นระบบคล้องจอง (มีคาตอบชัดแจ้งเป็น คาตอบหนึ่งของสมการ)
- 62. Eigenvalue and Eigenvector จงหา Eigenvalue ของ A 1 1 1 1 0 2 0 2 1 A − − − =
- 64. ลองทาดู
- 65. ลองทาดู
- 69. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ เพื่อหาดีเทอร์มินันต์ วิธีการเรียงสับเปลี่ยน นิยาม วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} หมายถึง การนาจานวนเต็ม 1 , 2 , 3 , … , n มาจัดเรียงโดยไม่ขาดตัวใดและไม่มีตัวใดซ้ากัน เขียนแทนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} ด้วยสัญลักษณ์ (p1 , p2 , … , pn) โดยที่ p1 , p2 , … , pn เป็นจานวนเต็มในเซต {1 , 2 , 3 , … , n} ที่ไม่ซ้ากัน
- 70. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ เพื่อหาดีเทอร์มินันต์ ตัวอย่าง วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2} มี 2 วิธี คือ (1 , 2) และ (2 , 1) หมายเหตุ จานวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} เท่ากับ n! วิธี ตัวอย่าง วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3} มี 6 วิธี คือ (1 , 2 , 3) , (1 , 3 , 2) , (2 , 1 , 3) , (2 , 3 , 1) , (3 , 1 , 2) และ (3 , 2 , 1)
- 71. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ เพื่อหาดีเทอร์มินันต์ การผกผัน (inversion) นิยาม ถ้า P = (p1 , p2 , … , pn) เป็นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} การผกผัน (inversion) จะปรากฏใน P ก็ต่อเมื่อ มีจานวน pi และ pj ใน P ซึ่ง pi > pj แต่ pi อยู่ในตาแหน่งหน้า pj เขียนแทนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} ด้วยสัญลักษณ์ (p1 , p2 , … , pn) โดยที่ p1 , p2 , … , pn เป็นจานวนเต็มในเซต {1 , 2 , 3 , … , n} ที่ไม่ซ้ากัน
- 72. จะนับจานวนการผกผันใน P = (p1 , p2 , … , pn) ดังนี้ - หาจานวนเต็มใน P ซึ่งน้อยกว่า p1 แต่อยู่หลัง p1 สมมติให้มี m1 จานวน - หาจานวนเต็มใน P ซึ่งน้อยกว่า p2 แต่อยู่หลัง p2 สมมติให้มี m2 จานวน : - หาจานวนเต็มใน P ซึ่งน้อยกว่า pn-1 แต่อยู่หลัง pn-1 สมมติให้มี mn-1 จานวน จะได้ว่าจานวนของการผกผันใน P = (p1 , p2 , … , pn) เท่ากับ m1+ m2 + ... + mn-1 จานวน
- 73. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ เพื่อหาดีเทอร์มินันต์ ตัวอย่าง j1 = (1 , 3 , 2) การผกผันของ j1 คือ (3 , 2) จะได้จานวนการผกผันใน j1 คือ 1 ดังนั้น t(1 , 3 , 2) = 1 จานวนการผกผันใช้สัญลักษณ์ t(j) แทนจานวนการผกผันในการเรียงสับเปลี่ยน j2 = (5 , 4 , 2 , 3 , 1) การผกผันของ j2 คือ (5 , 4) , (5 , 2) , (5 , 3) , (5 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 1) , (2 , 1) , (3 , 1) จะได้จานวนการผกผันใน j2 คือ 9 ดังนั้น t(5 , 4 , 2 , 3 , 1) = 9 j3 = (1 , 2 , 5 , 3 , 4) การผกผันของ j3 คือ (5 , 3) , (5 , 4) จะได้จานวนการผกผันใน j3 คือ 2 ดังนั้น t(1 , 2 , 5 , 3 , 4) = 2
- 74. ตัวอย่าง จงหาจานวนของการผกผัน (6 , 2 , 5 , 3 , 1 , 4) (7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1) (4 , 2 , 1 , 3)
- 75. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ เพื่อหาดีเทอร์มินันต์ วิธีการเรียงสับเปลี่ยนคู่ วิธีการเรียงสับเปลี่ยนคี่ นิยาม วิธีการเรียงสับเปลี่ยน P จะเรียกว่า วิธีการเรียงสับเปลี่ยนคู่ (even permutation) เมื่อจานวนการผกผันใน P เป็นจานวนคู่ และจะเรียกว่า วิธีการเรียง สับเปลี่ยนคี่(odd permutation) เมื่อจานวนการผกผันใน P เป็นจานวนคี่ เขียนแทนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} ด้วยสัญลักษณ์ (p1 , p2 , … , pn) โดยที่ p1 , p2 , … , pn เป็นจานวนเต็มในเซต {1 , 2 , 3 , … , n} ที่ไม่ซ้ากัน
- 76. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ เพื่อหาดีเทอร์มินันต์ ตัวอย่าง กาหนดให้ j1 = (3 , 1 , 2 , 5 , 4) , j2 = (4 , 1 , 3 , 2) และ j3 = (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6) จงหาว่า j1 , j2 , j3 เป็นการเรียงสับเปลี่ยนคู่หรือคี่ j1 = (3 , 1 , 2 , 5 , 4) การผกผันของ j1 คือ (3 , 1) , (3 , 2) , (5 , 4) จะได้จานวนการ ผกผันใน j1 คือ 3 หรือ t (3 , 1 , 2 , 5 , 4) = 3 ดังนั้นเป็นการเรียงสับเปลี่ยนคี่ j2 = (4 , 1 , 3 , 2) การผกผันของ j2 คือ (4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (3 , 2) จะได้จานวน การผกผันใน j2 คือ 4 หรือ t (4 , 1 , 3 , 2) = 4 ดังนั้นเป็นการเรียงสับเปลี่ยนคู่ j3 = (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6) ไม่มีการผกผัน t (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6) = 0 ดังนั้นเป็นการเรียง สับเปลี่ยนคู่
- 77. ตัวอย่าง จงแยกประเภทของวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของ เซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3} วิธีการเรียงสับเปลี่ยน จานวนการผกผัน ประเภทคู่ / คี่ (1 , 2 , 3) 0 คู่
- 78. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ เพื่อหาดีเทอร์มินันต์ ดีเทอร์มินันต์โดยวิธีการทางคอมบินาทอริกส์ นิยาม กาหนดให้ ฟังก์ชันดีเทอร์มินันต์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ det นิยามว่า det(A) = ()a1p1a2p2 … anpn เมื่อ (p1 , p2 , … , pn) เป็นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซต {1 , 2 , 3 , … , n} และมีวิธีการ เลือกเครื่องหมาย ดังนี้ เลือก + เมื่อ (p1 , p2 , … , pn) เป็นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนคู่ เลือก – เมื่อ (p1 , p2 , … , pn) เป็นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนคี่ เรียก det(A) ว่าดีเทอร์มินันต์ของ A aij n n A =
- 79. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์ เพื่อหาดีเทอร์มินันต์ ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์มิติ 3x 3 โดยวิธีการทางคอมบินาทอริกส์