�ݺ�ߣ

Кинематика Лекция 14

5. Мгновенный центр скоростей и способы его нахождения
Теорема. Если в некоторый момент времени движение пластинки не
является мгновенно поступательным, то в этот момент времени в
пластинке существует единственная точка P, скорость которой равна
нулю.
Y

В
Подвижная
точка,
VB

совпадающая в каждый
VA
момент времени с точкой
Р пластинки, скорость
А
которой
равна
нулю,
M
называется
мгновенным
центром скоростей.

VM
P
Если теперь за полюс в
ω
каждый момент времени
выбирать мгновенный центр
Oa
X
скоростей, то из равенства
(4.6) следует


VM = [ ω , PM ] и VM = ω ⋅ PM .


Способы нахождения мгновенного центра скоростей:

а). Известны  данный момент угловая скорость пластинки ω и
в
скорость полюса VO .
Для определения положения
мгновенного центра скоростей


достаточно вектор скорости VO
повернуть в сторону вращения
на прямой угол и в этом
направлении отложить отрезок
OP длиной VO ω. Скорость
произвольной
точки
М
пластинки при этом равна:

VM =ω⋅ PM , VM ⊥ PM


VM

P
Y

O
Oa

X

ω 
VO

M



Известны в данный момент скорость одной точки пластинки VA и прямая,
по которой направлена скорость другой точки В этой пластинки.
Тогда мгновенный центр скоростей

находится на пересечении
VA
перпендикуляров, проведенных к
направлениям этих скоростей в точках А и
A
В, если эти направления не 
параллельны.
ω
B
По направлению скорости V A определяется
V
Y
ω= A .
P

AP
VB
Теперь в данный момент можно
Oa X
определить
скорость
любой
точки
пластинки,
в
частности,
указать
направление скорости в точке В и
определить ее величину: VB = ω ⋅ BP .

Если направление скорости в точке В параллельно вектору скорости VA , то
мгновенный центр скоростей находится в бесконечности, что соответствует
мгновенно поступательному движению.
б).




в). Известны в данный момент скорости V A и VB точек А и В пластинки,
 
причем V A // VB .
Тогда мгновенный центр скоростей находитсяна пересечении прямой АВ и

прямой, проходящей через концы векторов V A и VB (Этот результат следует из
пропорциональности скоростей точек их расстояниям до мгновенного центра
скоростей. По направлению скоростей определяется направление вращения,
величина угловой скорости
ω=

V A VB
=
.
AP BP


VA
A


VB
B

ω

Y

P
Oa

X

A


VB
P

Y

B
Oa

X

ω


VA


г). Твердое тело совершает такое плоское движение, когда оно
катится без скольжения по неподвижному основанию.
Тогда точки их контакта
имеют одинаковые скорости и
поскольку основание неподвижно,
то точка контакта твердого тела
имеет
нулевую
скорость
и
является мгновенным центром
скоростей .Если при этом известна
скорость какой-то точки тела,
пусть точки А, то нетрудно
определить направление вращения
и по формуле (4.12) величину
угловой скорости.


VA

A
ω
Y
Oa X

P


7. Ускорения точек тела
Согласно теореме о сложении ускорений при поступательном
переносном движении (3.7),

 

  
aM =ae +ar =aO +ε, OM +ω ω OM ,
, ,
(4.13)



где ae =am =aO (m ∈
OXYZ ) ,


τ  n
aO
ar =ar +ar =
M
.

 
=[ε, OM ] +ω ω OM
, ,
n
aMO

Обозначим:
γ

[

[ [

][ [

]]

]]


τ 
aτ =ar =[ε, OM ]
MO
 
n

aMO =arn = ω ω OM .
, ,
aτ =ε⋅OM
Y
MO
O
n
2
aMO =ω ⋅OM


n
Oa
aMO =aτ +aMO .
MO

[ [

]]

ω

aMO =OM ⋅ ε2 + 4
ω


aMO

aO

ε
X

tgγ=ε

2
ω


aτ
MO

aM


С учетом принятых обозначений (4.13) принимает следующий
вид


 
 
n
aM =aO +aMO =aO +aτ +aMO =
MO


=aO +[ε , OM ] −ω2 OM .
τ
oc
где: aMO =ε⋅ОМ , aMO =ω2 ⋅ОМ .

(4.16)

8. Мгновенный центр ускорений
Теорема. 
Если в некоторый момент времени хотя бы одна из
величин ω или ε отлична от нуля, то в этот момент времени
существует единственная точка Q пластинки, ускорение которой
равно нулю.
Подвижная точка, совпадающая в каждый момент времени с
точкой Q пластинки, ускорение которой равно нулю, называется
мгновенным центром ускорений.


Если теперь выбрать за полюс мгновенный центр ускорений, то, в
соответствии с (4.16), ускорение произвольной точки М пластинки равно



n
aM = aMQ = aτ + aMQ .
(4.25)
MQ



Вектор aM будет
направлен под углом γ
(4.23) к отрезку QM в
сторону
углового
ускорения
и
по
величине равен

 
2
[ ε , aO ] + ω aO

 
[ ε , aO ]

aM = QM ⋅ ε 2 + ω 4 .

γ

ε
Y


aO

O

Oa

Q

X

ε
γ
2
ω aO

M

�ݺ�ߣ

кин лекция 14

Recommended

More Related Content

What's hot (9)

Viewers also liked (20)

More from student_kai (20)

кин лекция 14