狠狠撸

2020年度秋学期　画像情報処理
浅野　晃
関西大学総合情報学部
「行列」に慣れていない人のために
（第２部「画像情報圧縮」の準備）
第６回

※このスライドには，问题の解答例は载っていません。

222020年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃
ベクトルと行列の考え方
3
たくさんの数の組を，ひとまとめに計算する
ひとつの組がいくつの数でできていても，
同じように計算できるようにする
組の中身を意識せずにすむことによって，
さらに複雑な計算を考えることができる
（現代のプログラミングも同じ考えかた）

ベクトルの計算
4
z = a1x1 + a2x2 この計算を

4
z = a1 a2
x1
x2
と書く

4
行ベクトル
z = a1 a2
x1
x2
と書く

4
行ベクトル
z = a1 a2
x1
x2
と書く
列
ベ
ク
ト
ル

問題1
5
問題 1
次のベクトルの計算をしてください。
1 2
3
4
Pause　?

ベクトルの計算が２つ
6
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2

6
この計算をまとめて
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2

6
と書く
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2

6
と書く
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
行列

問題2
7
Pause　?
問題 2
次の行列とベクトルの計算をしてください。
0 1
1 2
2
1

図形的意味
8
原点O
X
点(x1, x2)

図形的意味
8
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
x1
x2

図形的意味
8
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
x1
x2
行列をかける
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)

図形的意味
8
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
x1
x2
行列をかける
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
z(1)
z(2)
別のベクトルに変換

問題3
9
Pause　?
問題 3
問題 2 のベクトル
2
1
と，問題 2 の計算結果のベクトルを，座標平面に図示してください。
（解答例）図通りす

定数倍の計算
10
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2

定数倍の計算
10
の意味
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
　　
λa1
λa2

行列と行列の計算
11
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)

11
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)

11
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)

11
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
　　　　　　　
行列とベクトルの計算が２つ

11
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
　　　　　　　

11
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
　　　　　　　
λ(1)に関する計算

問題4
12
Pause　?
問題 4
次の行列と行列の計算をしてください。
0 1
1 2
2 1
1 0

要素がp個の場合
13
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
　　
は，

13
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
　　?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1
a2
...
ap
?
?
?
?
?
?
= λ
?
?
?
?
?
?
a1
a2
...
ap
?
?
?
?
?
?
は，

14
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
　　
は，

14
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
　　
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)
は，

14
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
　　
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)
は，
なんのために？？？

行列を１文字で表す
15
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)

15
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)
S

15
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)
S P

15
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)
S P
P

15
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)
S P
P Λ

15
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)
SP = PΛ
S P
P Λ

15
?
?
?
?
?
?
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
?
?
?
?
?
?
(10)
SP = PΛ 複雑な計算を，あたかも数の
計算のように単純に考える
S P
P Λ

ただし
16
行列の積は，交換ができない
ABとBAが等しいとは限らない

転置行列?対称行列
17
a b
c d
講義プリ
行列A

17
a b
c d
講義プリ
行列A
a b
c d
講義プリ

17
a b
c d
講義プリ
行列A
a b
c d
講義プリ
a c
b d
を使

17
a b
c d
講義プリ
行列A
転置行列a b
c d
講義プリ
a c
b d
を使

17
a b
c d
講義プリ
行列A
転置行列a b
c d
講義プリ
a c
b d
を使
tA, At, AT , A

17
ある行列とその転置行列が同じとき，対称行列という
a b
c d
講義プリ
行列A
転置行列a b
c d
講義プリ
a c
b d
を使
tA, At, AT , A

問題5
18
Pause　?
問題 5
1.
1 2
0 1
の転置行列を求めてください。
2.
1 2
0 1
と
1 0
0 1
は，それぞれは対称行列ですか。

逆行列
19
行列には割り算はない

逆行列
19
となるA-1を，Aの逆行列という
AA?1 = A?1A = I

逆行列
19
AA?1 = A?1A = I
単位行列
（かけ算をしても何もおこらない）

逆行列
19
AA?1 = A?1A = I
単位行列
1 0
0 1

逆行列
19
AA?1 = A?1A = I
単位行列
1 0
0 1
数の場合は行列の場合は
　
a ×
1
a
（逆元）= 1（単位元）
　　
AA?1
（逆行列）= I（単位行列）

直交行列
20
a b
c d
講義プリ
直交行列の列ベクトルどうしは直交している
ベクトルの「直交」の定義は「内積が0」
逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という

直交行列
20
a b
c d
講義プリ
直交した２つのベクトルは，
直交行列で変換されても直交している

直交行列
20
a b
c d
講義プリ
直交行列で変換
直交行列で変換
直交した２つのベクトルは，
直交行列で変換されても直交している

問題6
21
Pause　?
問題 6
R =
1
√
2
1 1
?1 1
が直交行列であることを確かめてください。

問題7
22
Pause　?
問題 7
1. ベクトル
1
√
2
1
?1
と
1
√
2
1
1
が直交していることを，図に描いて確認してください。
2. 座標軸の x 軸はベクトル
1
0
で，y 軸はベクトル
0
1
で，それぞれ表されます。これらのベク
トルを直交行列
1
√
2
1 1
?1 1
で変換して，変換後のベクトルも直交していることを図で確認して
ください。

第２部の本題へ
23
第２部は画像データ圧縮

23
画像を，各画像で大きく異なる部分と
どの画像でもあまりかわらない部分にわける

23
どの画像でもあまり変わらない部分

23
どの画像でもあまり変わらない部分なんて，ある？

23
直交変換すると，
「大まかな部分」「細かい部分」が別に
なるように組み替えられる

23
どの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす

23
どの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす
フーリエ変換も，行列で表すと直交変換の一種

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2020年度秋学期　画像情報処理　第6回　「行列」に慣れていない人のために (2020. 10. 30)

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