2020年度秋学期 画像情報処理 第9回 離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2020. 11. 20)
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関西大学総合情报学部?画像情报処理（担当?浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2020a/IPPR/
![252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
偶関数のフーリエ変換
18
F(νx) =
∞
0
f(x) exp{i2π(νxx)}dx +
∞
0
f(x) exp{?i2π(νxx)}dx
∞
F(νx) =
∞
0
f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{?i2π(νxx)}] dx
整理すると](https://image.slidesharecdn.com/2020aippr09slide-201112095150/85/2020-9-2020-11-20-62-320.jpg)
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偶関数のフーリエ変換
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F(νx) =
∞
0
f(x) exp{i2π(νxx)}dx +
∞
0
f(x) exp{?i2π(νxx)}dx
∞
F(νx) =
∞
0
f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{?i2π(νxx)}] dx
整理すると
指数関数と三角関数の関係から](https://image.slidesharecdn.com/2020aippr09slide-201112095150/85/2020-9-2020-11-20-63-320.jpg)
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偶関数のフーリエ変換
18
F(νx) =
∞
0
f(x) exp{i2π(νxx)}dx +
∞
0
f(x) exp{?i2π(νxx)}dx
∞
F(νx) =
∞
0
f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{?i2π(νxx)}] dx
F(νx) = 2
∞
0
f(x) cos 2π(νxx)dx
整理すると
指数関数と三角関数の関係から](https://image.slidesharecdn.com/2020aippr09slide-201112095150/85/2020-9-2020-11-20-64-320.jpg)
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偶関数のフーリエ変換
18
F(νx) =
∞
0
f(x) exp{i2π(νxx)}dx +
∞
0
f(x) exp{?i2π(νxx)}dx
∞
F(νx) =
∞
0
f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{?i2π(νxx)}] dx
F(νx) = 2
∞
0
f(x) cos 2π(νxx)dx
整理すると
指数関数と三角関数の関係から
実数の計算になる](https://image.slidesharecdn.com/2020aippr09slide-201112095150/85/2020-9-2020-11-20-65-320.jpg)
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- 6. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする ? ? ? ? X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m
- 7. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする ? ? ? ? X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める
- 8. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする ? ? ? ? X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める
- 9. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする ? ? ? ? X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める
- 10. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする ? ? ? ? X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める
- 11. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで 5 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする ? ? ? ? X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 基底画像 こんな「基底画像セット」なら， 最後の方の基底画像は ごまかせそうだ どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める
- 12. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで 6 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする ? ? ? ? X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める
- 13. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 そこで 6 原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ 変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっている ベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえることで， どういう変換かが見えるようにする ? ? ? ? X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 基底画像 基底画像 基底画像 どういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める 基底画像として 波を用いる フーリエ変換
- 16. 离散フーリエ変换を行列で??
- 17. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元フーリエ変換 9 F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp{?i2π(νxx + νyy)}dxdy
- 18. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元フーリエ変換 9 指数関数の性質から F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp{?i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp(?i2πνxx) exp(?i2πνyy)dxdy = ∞ ?∞ ∞ ?∞ f(x, y) exp(?i2πνxx)dx exp(?i2πνyy)dy
- 19. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元フーリエ変換 9 指数関数の性質から x方向のフーリエ変換 F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp{?i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp(?i2πνxx) exp(?i2πνyy)dxdy = ∞ ?∞ ∞ ?∞ f(x, y) exp(?i2πνxx)dx exp(?i2πνyy)dy
- 20. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元フーリエ変換 9 指数関数の性質から x方向のフーリエ変換 y方向のフーリエ変換 F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp{?i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp(?i2πνxx) exp(?i2πνyy)dxdy = ∞ ?∞ ∞ ?∞ f(x, y) exp(?i2πνxx)dx exp(?i2πνyy)dy
- 21. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元フーリエ変換 9 指数関数の性質から x方向のフーリエ変換 y方向のフーリエ変換 F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp{?i2π(νxx + νyy)}dxdy F(νx, νy) = ∞ ?∞ f(x, y) exp(?i2πνxx) exp(?i2πνyy)dxdy = ∞ ?∞ ∞ ?∞ f(x, y) exp(?i2πνxx)dx exp(?i2πνyy)dy ２次元フーリエ変換は分離可能
- 22. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N?1 n=0 u(n) exp(?i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N ? 1)
- 23. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N?1 n=0 u(n) exp(?i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N ? 1)
- 24. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N?1 n=0 u(n) exp(?i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N ? 1)
- 25. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N?1 n=0 u(n) exp(?i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N ? 1) U(k, l) = N?1 n=0 M?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k M m) exp(?i2π l N n) ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式） 縦横の大きさが同じなら U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 26. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ２次元離散フーリエ変換 10 １次元離散フーリエ変換 U(k) = N?1 n=0 u(n) exp(?i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N ? 1) U(k, l) = N?1 n=0 M?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k M m) exp(?i2π l N n) ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式） 縦横の大きさが同じなら U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 27. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 28. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 29. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 30. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 31. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 32. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 33. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 34. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 35. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 36. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 37. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 38. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 39. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 40. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 41. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 42. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 43. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 44. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 45. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 46. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 11 行列の直交変換の形で表す Z = RXR l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R U(k, l) = N?1 n=0 N?1 m=0 u(m, n) exp(?i2π k N m) exp(?i2π l N n)
- 47. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 12 前ページのように行列を配置すると R = m↓ k→ ? ? ? ? ? ? ? ? ? e?i2π 0 N 0 · · · e?i2π k N 0 · · · e?i2π N?1 N 0 ... ... e?i2π 0 N m e?i2π k N m ... ... e?i2π 0 N (N?1) e?i2π N?1 N (N?1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? R = l↓ n→ ? ? ? ? ? ? ? ? ? e?i2π 0 N 0 · · · e?i2π 0 N n · · · e?i2π 0 N (N?1) ... ... e?i2π l N 0 e?i2π l N n ... ... e?i2π N?1 N 0 e?i2π N?1 N (N?1) ? ? ? ? ? ? ? ? ?
- 48. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換を行列で表す 13 指数関数がややこしいので とおくと， WN = exp(? i2π N ) R = ? ? ? ? ? ? ? ? ? W0·0 N · · · W0·n N · · · W 0·(N?1) N ... ... Wl·0 N Wln N ... ... W (N?1)·0 N W (N?1)(N?1) N ? ? ? ? ? ? ? ? ? Z = RXR
- 49. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ところで，本当にユニタリー？ 14 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１ ならユニタリー N?1 l=0 Wln N · (Wln N )? = N?1 l=0 exp(? i2πln N ) exp(? i2πln N ) = N?1 l=0 exp(? i{(n ? n )2π}l N ) = N?1 l=0 W (n?n )l N N?1 l=0 W (n?n )l N = 1 ? W (n?n )N N 1 ? W (n?n ) N = 1 ? WN N (n?n ) 1 ? W (n?n ) N = 1 ? 1(n?n ) 1 ? W (n?n ) N = 0 N?1 l=0 W (n?n )l N = N?1 l=0 1 = N 異なる列（等比数列の和） 同じ列
- 50. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ところで，本当にユニタリー？ 14 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１ ならユニタリー N?1 l=0 Wln N · (Wln N )? = N?1 l=0 exp(? i2πln N ) exp(? i2πln N ) = N?1 l=0 exp(? i{(n ? n )2π}l N ) = N?1 l=0 W (n?n )l N N?1 l=0 W (n?n )l N = 1 ? W (n?n )N N 1 ? W (n?n ) N = 1 ? WN N (n?n ) 1 ? W (n?n ) N = 1 ? 1(n?n ) 1 ? W (n?n ) N = 0 N?1 l=0 W (n?n )l N = N?1 l=0 1 = N 異なる列（等比数列の和） 同じ列 OK
- 51. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ところで，本当にユニタリー？ 14 「ある列」と「ある列の複素共役」の内積 異なる列なら０，同じ列なら１ ならユニタリー N?1 l=0 Wln N · (Wln N )? = N?1 l=0 exp(? i2πln N ) exp(? i2πln N ) = N?1 l=0 exp(? i{(n ? n )2π}l N ) = N?1 l=0 W (n?n )l N N?1 l=0 W (n?n )l N = 1 ? W (n?n )N N 1 ? W (n?n ) N = 1 ? WN N (n?n ) 1 ? W (n?n ) N = 1 ? 1(n?n ) 1 ? W (n?n ) N = 0 N?1 l=0 W (n?n )l N = N?1 l=0 1 = N 異なる列（等比数列の和） 同じ列 OK NG
- 52. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ユニタリー離散フーリエ変換 15 いままでに説明した R だと RR ? = NI （付録参照）
- 53. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ユニタリー離散フーリエ変換 15 いままでに説明した R だと RR ? = NI ユニタリーでない （付録参照）
- 54. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ユニタリー離散フーリエ変換 15 いままでに説明した R だと RR ? = NI WN = 1 √ N exp(? i2π N ) X = R? ZR? RR ? = I とおけば となって，ユニタリーになる Z = RXR ユニタリーでない （付録参照）
- 55. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散コサイン変換 16 フーリエ変換では，複素数を扱う必要がある そこで，実数だけで計算できる変換 R = l↓ n→? ? ? ? ... r(n, l) ... ? ? ? ?, r(n, l) = 1√ N l = 0 2√ N cos (2n+1)lπ 2N l = 0
- 56. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数 f(x) = f(?x) F(νx) = ∞ ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx = 0 ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(?x) exp{?i2π(νx(?x))}(?dx) + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ ∞ のフーリエ変換 第１項の x を -x に変数変換
- 57. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数 f(x) = f(?x) F(νx) = ∞ ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx = 0 ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(?x) exp{?i2π(νx(?x))}(?dx) + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ ∞ のフーリエ変換 第１項の x を -x に変数変換
- 58. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数 f(x) = f(?x) F(νx) = ∞ ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx = 0 ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(?x) exp{?i2π(νx(?x))}(?dx) + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ ∞ のフーリエ変換 第１項の x を -x に変数変換
- 59. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数 f(x) = f(?x) F(νx) = ∞ ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx = 0 ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(?x) exp{?i2π(νx(?x))}(?dx) + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ ∞ のフーリエ変換 第１項の x を -x に変数変換
- 60. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当 偶関数 f(x) = f(?x) F(νx) = ∞ ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx = 0 ?∞ f(x) exp{?i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(?x) exp{?i2π(νx(?x))}(?dx) + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ ∞ のフーリエ変換 第１項の x を -x に変数変換
- 61. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 18 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ 整理すると
- 62. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 18 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{?i2π(νxx)}] dx 整理すると
- 63. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 18 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{?i2π(νxx)}] dx 整理すると 指数関数と三角関数の関係から
- 64. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 18 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{?i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx 整理すると 指数関数と三角関数の関係から
- 65. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 偶関数のフーリエ変換 18 F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{?i2π(νxx)}dx ∞ F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{?i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx 整理すると 指数関数と三角関数の関係から 実数の計算になる
- 66. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換と正負の周波数 19 ν k ［周波数空間］ １周期 N等分 ［離散フーリエ変換］ 周波数0 U(0) 正の周波数 U(1), U(2), ..., U(N / 2 – 1) 負の周波数 U(N – 1), U(N – 2), ..., U(N / 2) ［数列のフーリエ変換］ １次元
- 67. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 離散フーリエ変換と正負の周波数 20 ２次元 k l 0 N / 2 N – 1 N / 2 0 N – 1 正の周波数 負の周波数 正の周波数負の周波数 A B C D 入れ替える (a) k l 0N / 2 N / 2 – 1 N / 2 0 N – 1 正の周波数負の周波数 正の周波数負の周波数 D C B A (b) N – 1 N / 2 – 1
- 69. 実例??
- 70. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 基底画像の例 22 コサイン変換 A. K. Jain, Fundamentals of B. Digital Image Processing (1988) サイン変換 Hadamard変換(-1と1） Haar変換
- 74. 252020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 今後の予定 25 11月27日，12月4日 第3部 CTスキャナ ー 投影からの画像の再構成 12月4日23:59 第1,2部レポート提出期限（問題提示?提出は関大LMSにて） 12月11, 18, 25日 第4部 視覚と色彩 ?? 1月15日 特別講義／坂東 幸浩 博士（NTTメディアインテリジェンス研究所） （「わんパグ」http://kids.wanpug.com/illust234.html） ※試験は第3,4部と特別講義について行います。