狠狠撸

浅野晃
関西大学総合情報学部
2022年度秋学期応用数学（解析）
第２部?基本的な微分方程式微分方程式とは?変数分離形
第５回

23
2022年度秋学期応用数学（解析）／関西大学総合情報学部浅野晃
微分方程式とは
3
微分方程式は，解が「関数」で，その微分が含まれる方程式
ふつうの方程式は，解は「数」
x が t の関数（つまりx(t)）のとき，
x2 ? 5x + 3 = 0
x
= x
x ? 5x + 6x = 0

23
3
x2 ? 5x + 3 = 0
x
= x
x ? 5x + 6x = 0
関数は「量の変化」
微分方程式は「変化の条件」

23
3
x2 ? 5x + 3 = 0
x
= x
x ? 5x + 6x = 0
関数は「量の変化」
微分方程式は「変化の条件」
微分方程式を解くと，「どう変化するか」がわかる

23
1階?２階，常微分?偏微分
4
１階導関数に関する微分方程式：
１階微分方程式
x
= x
x ? 5x + 6x = 0
１変数関数の微分方程式は常微分方程式
２変数以上の関数の偏微分に関する
微分方程式は偏微分方程式
２階導関数に関する微分方程式：
２階微分方程式
?

23
微分方程式を解くとは
5
微分方程式を「解く」とは，
その方程式を満たす関数を見つけること
解ける微分方程式のうち，簡単なものの
基本的なパターンをいくつか紹介します。
微分方程式は
特定のパターンのものしか解けない

23
運動方程式
7
加速度は速度の微分，
速度は位置の微分だから，
力 F
物体の質量 m
物体の加速度 a
物体に働く力と，その運動との関係
F = ma
F = mx
時刻 t の物体の位置を x(t) とすると
これを解いて関数 x(t) を求めると，時刻 t での物体の位置がわかる

23
落下の問題
8
抵抗力は速度の２乗に比例する
力 F ＝下向きの重力 mg ＋上向きの抵抗力
物体が空気中を落下するとき
運動方程式はなので
F = mx′′
?k(x)2
mg ? k(x)2 = mx

23
放射性物質の崩壊
9
崩壊の速度は，現在存在する物質の量に比例する
x = ?kx
時刻 t の時点で存在する物質の量を
x(t) とすると

10
一般解?特殊解?特異解??

23
一般解と特殊解
11
x = ?kx
時刻 t の時点で存在する物質の量を x(t) とすると
定数 k が決まったら，解はひとつの関数に決まるか？

23
11
x = ?kx
決まらない
最初 t = 0 に存在する物質の量 x(0) が
わからないと解はひとつに決まらない

23
11
x = ?kx
決まらない
最初 t = 0 に存在する物質の量 x(0) が
わからないと解はひとつに決まらない
初期値という

23
12
初期値が定まったときに求められる解を
特殊解(particular solution)
という
初期値が定まっていないとき，
初期値を代入したらひとつの特殊解が求められるような形の解を
一般解(general solution)
という
x(t) = C exp(?kt)
一般解の例：

23
12
初期値が定まったときに求められる解を
特殊解(particular solution)
という
初期値が定まっていないとき，
初期値を代入したらひとつの特殊解が求められるような形の解を
一般解(general solution)
という
x(t) = C exp(?kt)
初期値が定まってはじめて決まる
パラメータ
一般解の例：

23
特異解と解の一意性
13
x = x
1
3 の一般解 x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
(なぜならば） x
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解でも，x ≡ 0 も解では？

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解には
Cをどう変えても含まれない

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
x
t
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解には

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
x
t
C = 0
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解には

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
x
t
C = 0
C 0
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解には

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
x
t
C = 0
– C
C 0
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解には

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
x
t
C = 0
– C
C 0
C 0
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解には

23
13
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
x
t
C = 0
– C
C 0
C 0
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解には
x ≡ 0 も解

23
13
特異解(singular solution)という
x = x
1
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
( C は定数）
=
3
2
{
2
3
(t + C)}
1
2 ·
2
3
= {
2
3
(t + C)}
1
2 = x
1
3
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
x
t
C = 0
– C
C 0
C 0
x = {
2
3
(t + C)}
3
2
方も明ら
一般解には
x ≡ 0 も解

23
14
一意性の十分条件のひとつ「リプシッツ条件」
初期値がひとつ定まったときに，解がひとつだけに決まることを，
解が一意(unique)であるという
微分方程式がのとき，初期値のまわりでどんな x1, x2 についても
x′(t) = f(t, x)
|f(t, x1) ? f(t, x2)| L|x1 ? x2|
となる定数 L があるなら，その初期値について一意
「x のわずかな変化について，
f がいくらでも大きく変化する，ということはない」くらいの意味

23
変数分離形
16
を解く
x = ?kx

23
変数分離形
16
を解く
x = ?kx
dx
dt
= ?kx と直す

23
変数分離形
16
を解く
x = ?kx
dx
dt
= ?kx と直す x = 0 として

23
変数分離形
16
を解く
x = ?kx
dx
dt
1
x
dx
dt
= ?k と変形する

23
変数分離形
16
を解く
x = ?kx
dx
dt
1
x
dx
dt

1
x
dx
dt
dt =

(?k)dt
両辺を t で積分

23
変数分離形
16
を解く
x = ?kx
dx
dt
1
x
dx
dt

1
x
dx
dt
dt =

(?k)dt

1
x
dx =

(?k)dt
置換積分をする

23
変数分離形
16
を解く
x = ?kx
dx
dt
1
x
dx
dt

1
x
dx
dt
dt =

(?k)dt

1
x
dx =

(?k)dt
積分を解く

1
x
dx = ?

kdt
log |x| + C1 = ?kt + C2

23
変数分離形
16
を解く
x = ?kx
dx
dt
1
x
dx
dt

1
x
dx
dt
dt =

(?k)dt

1
x
dx =

(?k)dt
積分を解く

1
x
dx = ?

kdt
log |x| + C1 = ?kt + C2 C1, C2は積分定数

23
変数分離形
17
を解く
x = ?kx
積分を解く

1
x
dx = ?

kdt
log |x| + C1 = ?kt + C2

23
変数分離形
17
を解く
x = ?kx
積分を解く

1
x
dx = ?

kdt
log |x| + C1 = ?kt + C2
log |x| = ?kt + (C2 ? C1)
x = ± exp{?kt + (C2 ? C1)}
x = ± exp(C2 ? C1) exp(?kt)

23
変数分離形
17
を解く
x = ?kx
積分を解く

1
x
dx = ?

kdt
log |x| + C1 = ?kt + C2
log |x| = ?kt + (C2 ? C1)
x = ± exp{?kt + (C2 ? C1)}
± exp(C2 ? C1) をあらためて定数 C とすると

23
変数分離形
17
を解く
x = ?kx
積分を解く

1
x
dx = ?

kdt
log |x| + C1 = ?kt + C2
log |x| = ?kt + (C2 ? C1)
x = ± exp{?kt + (C2 ? C1)}
± exp(C2 ? C1) をあらためて定数 C とすると x(t) = C exp(?kt)
一般解は

23
変数分離形
17
を解く
x = ?kx
積分を解く

1
x
dx = ?

kdt
log |x| + C1 = ?kt + C2
log |x| = ?kt + (C2 ? C1)
x = ± exp{?kt + (C2 ? C1)}
± exp(C2 ? C1) をあらためて定数 C とすると x(t) = C exp(?kt)
一般解は
x ≡ 0 も解で，一般解に含まれる。
x = 0 としたが，
さっき

23
変数分離形
18
を解くとき，ふつうは
x = ?kx
dx
dt
= ?kx から
dx
x
= ?kdt と，分数の計算のように変形し

1
x
dx =

(?k)dt と積分する

23
変数分離形
18
を解くとき，ふつうは
x = ?kx
x が左辺，t が右辺に分離しているので，変数分離形という
dx
dt
= ?kx から
dx
x
= ?kdt と，分数の計算のように変形し

1
x
dx =

(?k)dt と積分する

23
変数分離形
19
一般には g(x)x
= f(t)

23
変数分離形
19
一般には g(x)x
= f(t)
とすると
x
=
dx
dt

23
変数分離形
19
一般には g(x)x
= f(t)
とすると
x
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt

23
変数分離形
19
一般には
両辺それぞれを積分すると
g(x)x
= f(t)
とすると
x
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt

23
変数分離形
19
一般には
g(x)x
= f(t)
とすると
x
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt

g(x)dx =

f(t)dt + C

23
変数分離形
19
一般には
g(x)x
= f(t)
とすると
x
=
dx
dt
g(x)dx = f(t)dt

g(x)dx =

f(t)dt + C
一般解に含まれる積分定数 C は，
初期値を代入して定まり，特殊解が得られる

23
例題
21
を解いて
9x · x
+ 4t = 0 一般解を求めよ。
x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。

23
例題
21
を解いて
9x · x
として変数分離すると
x
=
dx
dt

23
例題
21
を解いて
9x · x
x
=
dx
dt
9xdx = ?4tdt

23
例題
21
を解いて
9x · x
x
=
dx
dt
9xdx = ?4tdt
9
2
x2
= ?2t2
+ C0

23
例題
21
を解いて
9x · x
x
=
dx
dt
9xdx = ?4tdt
9
2
x2
= ?2t2
+ C0
すなわち
t2
9
+
x2
4
= C1

23
例題
21
を解いて
（ t – x 平面の楕円群）
9x · x
x
=
dx
dt
9xdx = ?4tdt
9
2
x2
= ?2t2
+ C0
すなわち
t2
9
+
x2
4
= C1

23
例題
22
を解いて
9x · x
一般解は
t2
9
+
x2
4
= C1

23
例題
22
を解いて
9x · x
初期値が x(3) = 2 なので
t = 3 のとき x = 2 だから，代入すると C1 = 2
一般解は
t2
9
+
x2
4
= C1

23
例題
22
を解いて
9x · x
初期値が x(3) = 2 なので
t = 3 のとき x = 2 だから，代入すると C1 = 2
一般解は
t2
9
+
x2
4
= C1
t2
9
+
x2
4
= 2
特殊解は

23
今日のまとめ
23
微分方程式は，関数とその微分に関する方程式
解は数ではなく関数
解ける方程式のパターンは限られている
もっとも基本的なパターン
「変数分離形」

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2022年度秋学期　応用数学（解析）　第5回　微分方程式とは?変数分離形 (2022. 10. 20)

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