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多次元尺度法
多次元尺度法とは
?　2つの対象間の違い（距離）をもとに、
?　その距離を保つようにしながら、
?　?　なるべく低い次元で各点の座標を求める?手法。
?　?　あらかじめ座標がわからない場合でも
?　?　?　座標を元に情報を?目で?見ることができる。

[テーマ]?　講義の構成
尺度とは
距離の公理
Rでの計算
まとめ
古典的多次元尺度法

尺度とは
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
????
A
B
D
C
E
??

A
E
C
B
D
??

尺度
質的データ量的データ
名義尺度順序尺度間隔尺度 ?比例尺度
データ

??λ?
× Λ????×?? ?
? Λ??è???? ?
? Λ????é????? ?
? Λ??ê??×? ?
?? ?
×? ?
?? ?
??
??
????????
??
????????
???ɡ ????ɡ
? ? ? ? ?
????????????????
× ??????
? ?????
? ????????
? ?????
??????????????????????????????
????????????????????????????????
????????????????
名義尺度と順序尺度
?異なるものを区別し、
?
????分類するために用いる。
?
?名義尺度の例（選択肢）
? ?順序尺度の例
?
?間隔が同じとは限らない。
?

間隔尺度と?比例尺度
2
$
$
%
%

間隔尺度と?比例尺度
2
2
$
$
%
%

距離について
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
????
A
B
D
C
E
??

A
E
C
B
D
??

距離の公理
d(p, q) ≥ 0
d(p, q) = d(q, p)
p = q ? d(p, q) = 0
?非負性
?非退化性
対称性
三?角不等式 d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
p
q
r
d(p,q)
d(r,q)
d(p,r)

距離の公理
d(p, q) ≥ 0
d(p, q) = d(q, p)
?非負性
?非退化性
対称性
三?角不等式
p = q ? d(p, q) = 0
d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
p
q
r
d(p,q)
d(r,q)
d(p,r)

A
B
C
D
E
A
B
C D
E
????
A
B
D
C
E
??

A
E
C
B
D
??

X = (x1, · · · , xN )T
=
?
?
x11 · · · x1r
· · ·
xN1 · · · xNr
?
?
D(2)
=
?
?
?
?
?
?
?
0 d2
12 · · · d2
1N
d2
21 0 · · · d2
2N
d2
31 d2
32 0 · · ·
.
.
.
.
.
.
...
d2
N1 d2
N2 · · · 0
?
?
?
?
?
?
?
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) ? 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)
1 · 1T
=
?
?
?
1 · · · 1
...
1 · · · 1
?
?
?
d2
ij =
r
!
k=1
(xik ? xjk)2
= xi · xi + xj · xj ? 2xi · xj
距離?行列を
とすると，?　，?　を?用いて
xi xj
?行列で書くと
となる。

X
D(2)
?　?　をもとに、直接?　を
求めるのではなく、
?　?　を満たすような?　の
うちの１つを求める。
X
D(2)
?　回転、反転、平?行移動
しても距離は変わらない。
（答えは１つには決まらない）
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
????
A
B
D
C
E
??

A
E
C
B
D
??

ヤングハウスホルダー変換
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) ? 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)

ヤングハウスホルダー変換
Q = I ?
1 · 1T
N
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) ? 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)
という?行列に対して、
1 · 1T
=
?
?
?
1 · · · 1
...
1 · · · 1
?
?
?

ヤングハウスホルダー変換 ?
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q
Q = I ?
1 · 1T
N
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) ? 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)
1 · 1T
=
?
?
?
1 · · · 1
...
1 · · · 1
?
?
?

P
d12
1
d23
d23
O
x2
x1
x3
P2 P3
ヤングハウスホルダー変換 ?
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q
Q = I ?
1 · 1T
N
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) ? 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)
平?行移動した成分の内積を
?　?　?　求めることができた。
1 · 1T
=
?
?
?
1 · · · 1
...
1 · · · 1
?
?
?

?
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q 対?角化すると、
?
1
2
(QD(2)
Q) = P
?
?
?
?
?
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · · λN?1 0
0 · · · 0 0
?
?
?
?
?
PT

?
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q 対?角化すると、固有値がすべて0以上であれば、
?
1
2
(QD(2)
Q) = P
?
?
?
?
?
√
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN?1 0
0 · · · 0 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
√
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN?1 0
0 · · · 0 0
?
?
?
?
?
PT

?
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q 対?角化すると、固有値がすべて0以上であれば、
中?心が原点に来るように移動した座標の１つとして
を選ぶことができる。
Z = P
?
?
?
?
?
√
λ1 · · · 0 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN?1 0
0 · · · 0 0
?
?
?
?
?
QXXT
Q = P
?
?
?
?
?
√
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN?1 0
0 · · · 0 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
√
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN?1 0
0 · · · 0 0
?
?
?
?
?
PT

Rでの計算
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
????
A
B
D
C
E
??

A
E
C
B
D
??

yamate0 - read.csv( yamate.csv , header=T, row.names=1)
yamate1 - as.dist( yamate0 )
多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
yamate2 - cmdscale( yamate1,eig=T, k=2)
plot( yamate2$points, type= n )
text( yamate2$points, rownames(yamate2$points) )
R

所要時間データ × ? ? ? ? ? ×? ×? ×?
×??? ? ? ×? ? ? ? ×? ×? ?
?????? ? ? ? ? ? ? ?× ×? ×?
???? ×? ? ? ? ? ? ?? ?? ×?
?????? ×? ? ? ? ? ? ?? ?? ?×
? ? ? ? ? ?
×??????? ×? ?× ?? ? ? ? ? ? ?
×???? ×? ×? ?? ? ? ? ? ? ?
×???? ? ×? ×? ? ? ? ? ? ?

所要時間データ
CSVファイル
???????????????????????????
???????×??×??×??????
?????????????××?×???
???×??????????×???
?????×?????????????
???×??××??????????
??????????×??×?????????
??????×??×??××??????
?

R

まとめ
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
????
A
B
D
C
E
??

A
E
C
B
D
??

まとめ
４つの尺度
名義尺度，順序尺度，間隔尺度，?比例尺度
距離の公理
?非負性，対称性，三?角不等式，?非退化性
原点に平?行移動，固有値分解，寄与率

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