Euler 標数は測度ですか？？
- 2. ? Twitter: s.t.@simizut22 でやってます ? 某企業の数理計画/数理最適化部員(programmer) やってます ? s.t. は such that でも subject to でもどちらでも
- 6. 今日の内容 ? オイラー標数 #とは ? オイラー積分 #とは ? Target Enumeration(応用)
- 8. §1 オイラー標数 #とは ? 三角形分割/セル分割された空間 X に対し ? ? ? ? ?1 ???? = ? ?1 ?#|? 単体| ? 組み合わせ的な Euler 標数
- 9. §1 オイラー標数 #とは(例) ? 離散集合 ? ? = #? ? 個数(離散集合の上の個数測度)みたい に”思える” (思えない
- 10. §1 オイラー標数 #とは(例) n-dim 球面 ? ? = ?0, … , ? ? ∈ ? ?+1 ∑?? 2 = 1} ? ? ? = 1 + ?1 ? = 2 (? ∶ 偶数) 0 (? ∶ 奇数) ∵) ? ? のセル分割を ?, ? ? ??～????? ? ? のセル分割から ここで、? ? ??～????? ? ? は立体射影
- 11. §1 オイラー標数 #とは(例) ? Oriented closed リーマン面 ?? ? ?? = 2 ? 2? ? = 0 ? = 1 ? = 2
- 12. §1 オイラー標数 #とは(例) 種数 2(g=2)のリーマン面の三角形分割 ? ? ?2 = 1 ? 4 + 1 = ?2(= 2 ? 2?) 他の種数 g > 0 でも同様
- 13. §1. オイラー標数 #とは ? オイラー標数は次の関係を満たす(集合は適切なクラスと仮定) 1. ? ? ∪ ? = ? ? + ? ? ? ?(? ∩ ?) 2. ? ? × ? = ? ? ?(?)
- 14. 测度と思うなら积分じゃっ！！
- 15. §2. Euler積分(被積分関数) ??? ?: ?????????? ??? に対し、 ?? ? = ∑ ?:??????? ? ? 1 ? ? 係数局所有限な和 ここで、1 ? ? = 1 (? ∈ ?) 0 (その他) 以下、対象とする関数の集合を ?? ? とする
- 16. § 2. Euler積分 ??? ????? ???????? ? ?? ∶ ?? ? → ? を ? ∑? ?1 ? ?? = ∑? ? ?1 ???? で定義する
- 17. § 2. Euler積分 簡単な Lemma ? ? ?: ??? ??????? に対し、 ? 1 ? ?? = ?(?) (i.e. A の定義関数をかませると A の “面積”)
- 18. § 2. Euler積分 ??? ?????? ?: ? → ? を単体複体の間の写像(Piecewise Linear) とする ? ? ?? = ? ??1(?) ? ? ?? ? ??(?) 証明は tame map に対する Hardt Theorem(分解定理) とオイラー標数 に対する積の性質から ■
- 19. Sheaf cohomology からの定義(補足) ???(????? ????? ? ???????? ?????) ?: ????????????? ????? に対し、 ? ? ? ? ?1 ? dim ∑ ? ? ?? ? により ???????????? ???????? を与える ????? ????? ? ???????? ????? を用いて、Euler 積分を ? ? ?? ? ? ??!? where ?: ? →? ? ? = ?( ? ?)(?)
- 20. §3. Target Enumeration(問題の設定) Target の集合：有限集合? ? Sensor の集合: (dense)? ? Sensing Relation: ? = ?, ? ?????? ? ?????? ?????? ?} Counting Function h: ? ∈ ? のセンサーは ? ? 内の target の個数のみ数える(target の id 認 識などはできない)
- 21. §3. Target Enumeration ??? ? ∈ ?? ? : ???????? ???????? target α を認識できるセンサーの集合(Target Support) ? ? が ? ? ? = ? ( ? ?) を満たす。このとき、 #? = 1 ? ? ? ?? (証明は容易)
- 22. §3. Target Enumeration(例) 1. Enumerating Vehicles: 仮定) 各車両が曲線 ??: 0, ? → ?2 にそって動くとする ?? ? は可縮な近傍 ?? ? ? ?2をもつ Counting function h: Sensor x が ?? ? に入ったとき、x はそのカウンターを increment
- 24. §3. Vehicle Enumeration Prop #???????? = ?2 ? ?? ∵) ? ? ? = 1 を用いて、先の定理から ?2× 0,? ? ?? = #????? ? ? ?? = #????? Fubini (前 chapter) を用いると ok.
- 25. §3. Target Enumeration(例) 例(Enumerate via beams) 各 target : ?? は凸集合 Sensor: 各センサー ∈ ? ? Counting Function h : k-dim のビームで target を観測する → Sensor Space ???? ? = ? ? × ??? ? (Grassmannian で?????????)
- 26. §3. Target Enumeration(例) Prop: (n, k) は(偶数, 奇数)以外のペアとする。このとき #? = ? 2 ? ? 2 ??? ? ? ? ?? 証明）略 ? ??? ? = 0 (?: ????, ?: ???) ? 2 ? ? 2 (その他 を使って計算するだけ
- 27. まとめ
- 29. 4. 今日話せなかったこと(能力の問題) ? Z-value の constructible function から R-valued の definable function に定義を拡張 ? (stratified)Morse Theoretic な解釈！！！！！！ ? 実際の問題では、 sampling が完全にはできない → 上下限を与える/期待値を求める。などが実際には行われる ? duality ? Microlocal Fourier Transformation
- 30. 终わり