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情報幾何学の基礎輪読会#2
2016/02/19
@simizut22

内容(後半)
2.4 ベクトル場
2.5 テンソル場

2.4 ベクトル場
定義(概念的)
多様体?の各点?に対し，?における接ベクトル
? ? ∈ ?? ?を対応させる対応? = ? ? ?∈?
のこと
以下，?上のベクトル場全体を? ? で表す
余談：
正式な定義は接ベクトルバンドルの切断

2.4 ベクトル場
球面のベクトル場
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field より画像を引用

2.4 ベクトル場
?; ?1
, … , ? ?
: ?次元多様体?の座標近傍
?
?? ?: 各点?に標準的な接ベクトル
?
?? ?
?
を対応
させる?上のベクトル場
これを用いると，? ∈ ? ? は?上，
? = ? ?
?
?? ?
と局所表示できる(? ?
は当然一意)

2.4 ベクトル場
? ? は ?∞
? module の構造を持つ
i.e.
和：
? + ? ? = ? ? + ??
関数倍：
?? ? = ? ? ? ?

2.4 ベクトル場
? ∈ ? ? , ? ∈ ?∞
?
?の?への作用 ?? ∈ ?∞
? を次で与える
?? ? = ? ? ?
注意：
関数倍ではない．微積分で行う”方向”微分のようなもの

2.4 ベクトル場
?, ? ∈ ? ? に対し，
?, ? ∈ ? ?
が次のようにして定まる．(lie bracket)
?, ? ? = ? ?? ? ? ??
Leibnitz rule を満たすか確認する

?, ? ?? = ? ? ?? ? ?(? ?? )
= ?(?? ? ? + ? ? ??)
??(?? ? ? + ? ? ??)
= ? ?? ? ? + ?? ? ?? + ?? ? ?? + ? ? ?(??)
? ? ?? ? ? + ?? ? ?? + ?? ? ?? + ? ? ?(??)
= ?, ? ? ? ? + ? ? ?, ? ? ?

2.4 ベクトル場
定義(積分曲線)
? ∈ ? ? に対し，滑らかな曲線 ? = ? ? で
あって，各時刻 ? において
? ? = ? ? ?
の成り立つものを， ?の積分曲線という
remark
常微分方程式の解の存在?一意性定理から,
局所的には存在しかつ一意

2.4 ベクトル場
例：?2
? 0 の次のベクトル場を考える
?(?,?) = ??
?2+?2
?
??
+
?
?2+?2
?
??
この，積分曲線は
? = 0
? = 1
?
で与えられる→ 円を描く．
ここで， ?, ? は極座標表示による

ベクトル場の ?(?,?) = ??
?2+?2
?
??
+
?
?2+?2
?
??
の様子
2.4 ベクトル場

2.4 ベクトル場
定義(一次微分形式)
多様体?の各点?に対し，? ? ???
?
? を対応させ
る対応? = ? ? ?∈?
のこと
以下，?上の 1 次微分形式全体の集合を
Ω1
? で表すこととする
remark:
これも cotangent bundle の切断といった方が正確

2.4 ベクトル場
? ∈ ? ? , ? ∈ Ω1
? に対して，
? ? ∈ ?∞
? が，
? ? ? ? ? ?
により定まる

2.4 ベクトル場
?; ?1
, … , ? ?
: ?次元多様体?の座標近傍
?? ?
: 各点?に?? ?
?
を対応させる?上の1-form
これを用いると，? ∈ Ω1
? は?上，
? = ?? ?? ?
と局所表示できる
ここで，?? = ?
?
?? ? が成立
)∵ ?
?
?? ? =?? ?? ? ?
?? ? =?? ??
?
= ??

2.4 ベクトル場
関数の全微分と 1-form：
関数 ? ∈ ?∞
? に対し，微積で”全微分”を考
えた:
?? =
??
?? ?
?? ?
これは1-form を与えている．

2.5 テンソル場
定義
多様体 ? の各点?に対し， ?, ? 型テンソル
?? ?(?,?)
を対応させる対応? = ?? ?∈?
のことを
? 上の ?, ? 型テンソル場という
今まで同様に，局所表示が可能(略)

2.5 テンソル場
テンソル場は ?∞
? 多重線型性を持つ.
i.e.
??∈? ? ?
?
?? ?
? ?∈? ?? ?? ?
=
?,?
? ?
?? ? ??
?
?? ?
? ? ?? ?

2.5 テンソル場
例：リーマン計量
? の各点に内積を対応させたものを，リーマン
計量と呼ぶ．(接バンドルに対する内積)
i.e. 正定値対称双線型な 2 階共変テンソル場
局所座標を用いて
? = ??,? ?? ?
?? ?
や ??,? ?.?
などと書く. 相対論などでは ? でなく ??2
とも

2.5 テンソル場
1. ユークリッド空間 ? ?
：
? = ??,?
2. 2次元球面 ?2
:
? = ??2
+ sin2
? ??2
3. 上半平面
??2
= ??2+??2
?2 = ??? ?
?? ? 2
3. ローレンツ計量
??2
= ??2
? ??2
? ??2
? ??2

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