�ݺ�ߣ

OpenSource
NotForCommercialUse
Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2. Seperti pada limit fungsi
x2 −y2
x2−y2
x2 −y2
x2 −y2
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Limit dan Kekontinuan
satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati kecendrungannilai
f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b).
Ilustrasi: Perhatikan graﬁk dan peta kontur f (x, y) = x2 +y2
di bawah ini.
Tanpa melakukan proses perhitungan limit, perkirakanlah:
· Bila (x, y) → (0, 0) sepanjangsumbu x, nilai f (x, y) → ?
· Bila (x, y) → (0, 0) sepanjangsumbu y, f (x, y) → ?
· Bila (x, y) → (0, 0) sepanjanggaris y = x, f (x, y) → ?
Dari pengamatan di atas, maka lim
(x,y)→(0,0)
x2+y2
......
Sekarang, coba pikirkan lim
(x,y)→(2,1)
x2 +y2
.
Untuk menghitunglimit fungsi tsb., kita gunakan rujukan sebagai berikut:
Substitusikan titik limit yang dituju pada fungsi yang bersangkutan.
Bila nilainya ”terdeﬁnisi”, maka nilai tersebut adalah nilai limitnya.
Tentukan lim
(x,y)→(2,1)
x2 +y2
= ...
URL:materikuliah.math.itb.ac.id Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010

OpenSource
NotForCommercialUse
· Fungsi f (x, y) tidak perlu terdeﬁnisi pada titik
· Nilai limit f (x, y) tidak boleh bergantungpada
x2 −y2
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
Deﬁnisi Limit Fungsi 2 Peubah
Limit dari fungsi dua peubah f (x, y) untuk
2
(x, y) mendekati (a, b) disebut L, ditulis
lim f (x, y) =
(x,y)→(a,b)
L artinya untuk setiap
ǫ > 0, selalu dapat dicari δ > 0 sehingga
0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f (x, y) − L < ǫ.
Catatan: |(x, y) − (a, b)| =
Catatan:
(a, b).
arah (x, y) mendekati (a, b).
(Pada fungsi dua peubah tidak ada istilah limit
kiri atau limit kanan).
Contoh2:
(x − a)2 + (y − b)2
1. Tunjukan
2. Tunjukan
lim
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(0,0)
x2 +y2
x2 y
x4 +y2
tidak ada.
tidak ada.
(Petunjuk: Hitung sepanjanggaris y = mx dan parabola y = x2)

OpenSource
NotForCommercialUse
· Bila f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f − g, f g dan f /g kontinu
· Polinomdua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + f y2 + · · · kontinu di
Misalkan S ⊂ R2. Fungsi dua peubah f (x, y) disebut kontinu
Kekontinuan di satu titik
3
Fungsi f (x, y) disebut kontinu di (a, b) bila memenuhi lim
(x,y)→(a,b)
= f (a, b)
Sifat2:
di (a, b).
R2
· fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah deﬁnisinya.
· Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f (x) kontinu di g(a, b),
maka f ◦ g(x, y) = f (g(x, y)) kontinu di (a, b).
Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f (x, y) = cos(x3 − 4xy + y2).
Kekontinuan di himpunan
pada S bila f kontinu pada setiap titik pada S. Perlu diper-
hatikan bila S memiliki batas (perhatikan gambar di samping
ini), maka proses limit hanya dilakukan sepanjangjalur yang
berada dalam S saja.
Sifat:
Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah. Bila fxy dan fyx kontinu pada himpunan buka
S, maka fxy = fyx pada S.

OpenSource
NotForCommercialUse
Perhatikan fungsi satu peubah f (x), p ∈ Df dan h ∈ R. Bila fungsi tersebut mem-
Catatan: Vektor ∇f dibaca grad dari f dan disebut vektor gradien dari fungsi dua
Keterdiferensialan
Perkuliahan ini tidak akan membahas konsep diferensial fungsi dua peubah secara
teoritik. Pembahasan konsep akan langsungdianalogikandengan konsep turunan di
fungsi satu peubah.
punyai turunan, maka berlaku f (p + h) = f (p) + f ′(p)h + ǫ(h2)
Untuk fungsi dua peubah hal yang analogberlaku. Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah
dan p = (x, y) ∈ Df . Untuk memudahkan notasi, kita akan menuliskan p sebagai
vektor p = x, y . Pada fungsi dua peubah berlaku hubungan f (p + h) = f (p) +
∇f (p) · h + ǫ(h2) dengan,
∇f (p) = fx(p), fy(p) = fx(p)ˆi + fy(p)ˆj
peubah f (x, y).
Sifat: Bila fx(x, y) dan fy(x, y) kontinu di lingkungan sekitar (a, b) maka f (x, y)
terdiferensialkandi (a, b) dengan gradien ∇f (a, b).
Contoh: Tunjukan f (x, y) = xey + x2y terdiferensialkandi mana-mana dan tentukan
gradiennya.
Sifat2 ∇:
a. ∇[f (p) + g(p)] = ∇f (p) + ∇g(p)
b. ∇[αf (p)] = α ∇f (p)
c. ∇[f (p) g(p)] = ∇f (p) g(p) + f (p) ∇g(p)
Sifat:
Jika fungsi f (x, y) terdiferensial pada p maka f (x, y) kontinu di p.

OpenSource
NotForCommercialUse
Pertanyaan (a) sudah dapat anda jawab yaitu · · · · · ·.
Turunan berarah
Popon berada pada sebuah keping dengan distribusi
suhu seperti pada gambar di samping.
a. Bila dia bergerak pada arah horizontal, berapakah
laju perubahan suhunya ?
b. Pada arah manakah dia harus bergerak supaya
penurunan suhunya maksimum?
Untuk menjawabpertanyaan (b), kita akan mempelajari konsep turunan berarah. Mis-
alkan f (x, y) fungsi dua peubah dan p = x, y ∈ Df .
fx(p) = lim
h→0
f (p + h î) − f (p)
h
dan fy(p) = lim
h→0
f (p + h jˆ) − f (p)
h
Misalkan u vektor satuan pada bidang,
u = u1, u2 = u1 î + u2 jˆ. Turunan berarah dari f (x, y)
pada arah u di titik p adalah:
Duf (p) =
∂f
∂u
(p) = lim
h→0
f (p + h u) − f (p)
h
Perhatikan: fx(p) = Diˆf (p) dan fy(p) = Djˆf (p)
Secara fisis, turunan berarah menyatakan laju perubahanf (x, y) di titik p bila f
begerak pada arah u.
Secara umum, menghitungDuf (p) dari konsep limit di atas cukup menyulitkan. Bi-
asanya perhitungan dilakukan melalui sifatberikut:
Misalkan f (x, y) terdiderensialkandi p, maka Duf (p) = u · ∇f (p)
Contoh: Misalkan f (x, y) = 4x2 − xy + 3y2, tentukan turunan berarah dari f di titik
(2, −1) : (a.) pada arah a = 4, 3 . (b.) pada arah menuju titik (5, 3).
Diskusi: Misalkan z = f (x, y), pada arah manakah Duf (p) naik dan turun paling
cepat ?

OpenSource
NotForCommercialUse
Contoh: Seekor kutu berada pada titik (2,-1,21) di permukaan f (x, y) = 4x2 − xy +
Contoh: Diberikan fungsi z = x4 + y2. Tentukan vektor gradien yang melalui titik
dt .
Tentukan∂z dan∂z .
3y2, tentukan pada arah mana dia harus bergerak agar tanjakannya maksimumdan
berapa tanjakan tersebut ?
Kurva Ketinggian vs Gradien
Perhatikan kurva ketinggian L dari z = f (x, y) yang melalui
titik P (x0, y0). Misalkan u vektor singgungsatuan terhadap
L di titik P . Duf (p) = 0 (mengapa ?). Dilain pihak
Duf (p) = u · ∇f (p). Dengan demikian ∇f (p) ⊥ u atau
∇f (p) ⊥ L di titik P .
2
(2, 1), lalu gambarkan kurva ketinggian yang melalui titik tersebut dan vektor gradi-
ennya.
Aturan Rantai Jenis 1
Misalkan z = f (x, y), dengan x = x(t) dan y = y(t).
Di sini f merupakan fungsi dua peubah terhadap x dan
y, tetapi terhadapt merupakan fungsi satu peubah.
Aturan rantai memberikan formula untuk menghitung
turunan f terhadapt:
dz
dt
=
∂z dx
∂x dt
+
∂z dy
∂y dt
Contoh: Misalkan z = x3y dengan x = 2t dan y = t2. Tntukan
dz
Aturan Rantai Jenis 2
Misalkan z = f (x, y), dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t). Di sini f merupakan fungsi
dua peubah terhadapx dan y, juga fungsi dua peubah terhadaps dan t. Aturan
rantai memberikan formula untuk menghitungturunan parsial f terhadaps dan t:
∂z
∂s
=
∂z ∂x
∂x ∂s
+
∂z ∂y
∂y ∂s
dan
∂z
∂t
=
∂z ∂x
∂x ∂t
+
∂z ∂y
∂y ∂t
Contoh: Misalkan z = x3y dengan x = 2s + 7t dan y = 5st.
∂s ∂t

OpenSource
NotForCommercialUse
kedua ruas terhadapx, maka diperoleh:∂F dx + ∂F dx = 0.
Turunkan terhadapx, diperoleh:∂F ∂x + ∂F ∂x + ∂F ∂x = 0.
1. Tentukandx dari x3 + x2y − 10y4 = 0
Penurunan Fungsi Implisit dengan aturan Rantai
a. Untuk fungsi satu peubah
Misalkan F (x, y) = 0 mendeﬁnisikan y sebagai fungsi x secara implisit. Turunkan
dy
∂x dx ∂y
dy
dx = −
∂F /∂x
∂F /∂y
b. Untuk fungsi dua peubah
Misalkan F (x, y, z) = 0 mendeﬁnisikanz sebagai fungsi x dan y secara implisit.
∂y ∂z
∂x ∂x ∂y ∂z
Turunkan terhadap y, diperoleh: ∂F ∂x
∂x ∂y
+ ∂F ∂y
∂y ∂y
+ ∂F ∂z
∂z ∂y
= 0.
Karena ∂x
∂y
= 0 dan ∂y
∂x
= 0 (mengapa ?), maka
∂z
∂x = −
∂F /∂x
∂F /∂z
dan
∂z
∂y = −
∂F /∂y
∂F /∂z
Contoh:
dy
(gunakan dua cara: aturan rantai dan penurunanimplisit).
2. Tentukan
∂z
∂x dan
∂z
∂y dari x3ey+z − y sin(x − z) = 0

OpenSource
NotForCommercialUse
∇F = fx, fy, −1 .
BidangSinggung
Perhatikan permukaan F (x, y, z) = 0 dan V bidang
singgungdi titik p = (x0, y0, z0).
∇F (p) = Fx(p), Fy(p), Fz(p) ⊥ V (?).
Misalkan (x, y, z) sebarangtitik pada bidangV .
Jelas ∇F (p) ⊥ x − x0, y − y0, z − z0 (?).
Dengan demikian setiap titik pada bidang singgungmemenuhi persamaan:
∇F (p) · x − x0, y − y0, z − z0 = 0.
Fx(p), Fy(p), Fz(p) · x − x0, y − y0, z − z0 = 0
Fx(p)(x − x0) + Fy(p)(y − y0), Fz(p)(z − z0) = 0
Hal khusus, bila z = f x, y).
Tulis f (x, y) − z = 0 = F (x, y, z).
Dengan demikian persamaan garis singgungterhadap
f (x, y) di titik p adalah
fx(p)(x − x0) + fy(y − y0) − (z − z0) = 0
Contoh:
1. Tentukan persamaan garis singgungterhadapx2 + y2 + 2z 2 = 23 di titik (1, 2, 3).
2. Tentukan persamaan garis singgungterhadap z = x2 + y2 di titik (1, 1, 2).
3. Tentukan persamaan garis singgungyang sejajar dengan bidang xoy terhadap
z = x2 − 2xy − y2 − 8x + 4y.

OpenSource
NotForCommercialUse
(x0, y0, z0) & (x, y, z) ∈ Df .
1. Misalkan z = 2x3 + xy − y3. Tentukan ∆z dan dz bila (x, y) berubah dari (2, 1)
3,9 · 9,1.
Diferensial dan Aproksimasi
Misalkan fungsi z = f (x, y).
Diferensial dari peubah bebas x
dan y adalah:
dx = ∆x = x − x0
dy = ∆y = y − y0
tetapi,
∆z = z − z0 = f (x, y) − f (x0, y0)
dan diferensial dari peubah tak bebas z adalah
dz = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy.
Interpretasi geometri dari ∆z dan dz diperlihatkanpada gambar di atas.
Untuk dx dan dy yang cukup kecil ∆z ≈ dz. Diperoleh rumus aproksimasi
∆z = f (x, y, z) − f (x0, y0, z0) ≈ fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy = dz
Contoh2:
ke (2, 03 ; 0, 98).
2. Gunakan hampiran diferensial untuk menghitung √

OpenSource
NotForCommercialUse
a. singular, memenuhi tidak ada.
Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 .
fx(x, y) = 2x − 2 dan fy(x, y) = y2 . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1.
f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 = (x − 1)2 + y4 − 1 ≥ −1
sioner p0 = (x0, y0). tetapkan D = fxx(p0) fyy(p0) − fxy(p0),
Maksimum dan MinimumFungsi 2 Peubah
Misalkan z = f (x, y) dan p0 ∈ Df
10
a. f disebut mencapai maksimum di p0 bila
f (p0) ≥ f (p) ∀ p ∈ Df , nilai maksimumnya f (p0).
b. f disebut mencapai minimum di p0 bila
f (p0) ≤ f (p) ∀ p ∈ Df , nilai minimumnya f (p0).
c. f disebut mencapai maksimum lokal di p0 bila
f (p0) ≥ f (p) untuk semua titik p disekitar p0.
d. f disebut mencapai minimum lokal di p0 bila
f (p0) ≤ f (p) untuk semua titik p disekitar p0.
Titik tempat terjadinya maksimum/minimumglobal/lokal
disebut titik ekstrim.
Titik ekstrem tidak selalu ada (berikan contoh ).
Bila daerah deﬁnisi dari f (x, y) berupa himpunan ter-
tutup dan terbatas, maka titik ekstrim global selalu ada.
(Teorema titik kritis ). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari:
b. Titik stasioner,yaitu titik yang turunannya hubungan ∇F = 0
c. Titik batas dari Df
T itik
kritis
2
Titik singular dan titik batas tidak ada. Perhatikan bahwa:
2 2 2
Jadi (1, 0) merupakan titik minimum global, dan tidak ada titik maksimum.
Teorema Pengujian titik ekstrim lokal
Misalkan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disekitar titik sta-
2
a. Jika D > 0 dan fxx(p0) < 0, maka p0 titik maksimum lokal.
b. Jika D > 0 dan fxx(p0) > 0, maka p0 titik minimumlokal.
c. Jika D < 0, maka p0 titik pelana (bukan titik ekstrim).
d. Jika D = 0, tidak ada kesimpulan.

OpenSource
NotForCommercialUse
b2 .a2
S = {(x, y) : x2 + y4 ≤ 1}
Latihan
11
1. Tentukan titik ekstrim lokal dan titik pelana dari z = −x2
+
y2
2. Tentukan titik pada z 2 = x2y + 4 yang jaraknya palingdekat ke titik asal.
3. Tentukan titik ekstrim dari f (x, y) = 2 + x2 + y2 pada daerah
2
(petunjuk: untuk mencari titik ekstrim pada batas S, gunakan substitusi
x = cos t dan y = 2 sin t dengan · · · ≤ t ≤ · · ·).

OpenSource
NotForCommercialUse
Carilah nilai maksimum dari f (x, y) = 2+ x2 + y2 sepanjang g(x, y) = x2 + y4 − 1 = 0.
f (x, y) = k untuk k = 200, 300, · · · , 700
Ekstrim dengan Kendala, Metode Lagrange
Masalah titik ekstrim pada fungsi 2 peubah ada dua macam:
a. Masalah ekstrim bebas (yang telah dibahas pada pasal sebelumnya).
b. Masalah ekstrim dengan kendala/syarat
Masalah ekstrim dengan kendala membahas masalah mencari titik ekstrim sepan-
jang kurva z = f (x, y) dengan syarat titik-titik (x, y) berada sepanjanglengkunagn
g(x, y) = 0. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut:
2
Dengan mesubstitusikan kurva kendala pada f (x, y) akan diperoleh masalah ekstrim
bebas (dengan jumlah peubah bebas yang lebih sedikit), selanjutnya dapatdiselesaikan
dengan metode pencarian ekstrim bebas. Namun demikian, tidak selalu kurva kendala
dapat disubstitusikan ke dalam fungsi semula (cari contohnya).
Metode PelipatLagrange merupakan alter-
natif lain untuk mencari ekstrim dengan
kendala. Perhatikan kurva ketinggian dari
yang digambarkan bersama-sama dengan
kendala g(x, y) = 0.
Yang harus ditentukan adalah titik pada kurva ketinggian dengan nilai k terbesar yang
juga dilalui kendala g(x, y) = 0 (mengapa demikian ?).

OpenSource
NotForCommercialUse
titik maksimum diperoleh hubungan ∇f (p0) = λ∇g(p0) dengan λ suatu bilangan real.
∇f (x, y) = λ∇g(x, y)
1. Carilah nilai maksimumdari f (x, y) = 2+x2+y2 sepanjangg(x, y) = x2+ y4 −1 =
2. Carilah titik-titik ekstrim dari f (x, y) = y2 − x2 pada elips
+ y2 = 1.
∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)
Titik tersebut terletak pada kurva ketinggian yang bersinggungan dengan g(x, y) = 0.
Pada ilustrasi, titik tersebut adalah p0 dengan nilai k = 600. ∇f (p0) ⊥ kurva keting-
gian f (x, y) = 600 dan ∇g(p0) ⊥ g(x, y) = 0 (mengapa ?). Karena f (x, y) = 600
dan g(x, y) = 0 bersinggungan di p0 maka ∇f (p0) segaris dengan ∇g(p0). Jadi di
Hal yang sama juga berlaku di titik minimum (titik p1).
Dengan demikian diperoleh kesimpulan sebagai berikut: (Metode Lagrange)
Untuk mencari titik ekstrim dari z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0, carilah
solusi dari sistem persamaan
dan g(x, y) = 0
Titik-titik p yang memenuhi persamaan tersebut merupakan titik kritis dari masalah
ekstrim terkendala. Bilanganλ disebut pelipat Lagrange.
Diskusi:
1. Bila didapatkan n buah titik kritis, bagaimanakahmenentukan titik maksimum
dan minimumnya ?
2. Bila didapatkan 1 buah titik kritis, bagaimanakah menentukan titik maksimum
dan minimumnya ?
Contoh2:
2
0.
x2
4
3. Tentukan volume maksimum dari sebuah kotak yang dapat dibuat bila harga bahan
alasnya tiga kali harga bahan sisi yang lain. Harga bahan alasnya Rp 6.000/m2 dan
jumlah uang yang tersedia Rp. 120.000. (Catatan: ∇f (x, y, z) = fx, fy, fz ).
4. Tentukan titik ekstrim dari f (x, y, z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan
perpotongan silinder x2 + y2 = 2 dengan bidang y + z = 1.
Catatan: Masalah ini adalah masalah ekstrim dengan dua kendala yaitu g(x, y, z) =
0 dan h(x, y, z) = 0, rumus metode Lagrange-nya adalah:
g(x, y, z) = 0
h(x, y, z) = 0

�ݺ�ߣ

Kalkulus2 part2 d

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Kalkulus2 part2 d (20)

Recently uploaded (20)

Kalkulus2 part2 d