ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Kef 1 πραγματικοι αριθμοι mathematica

•
•
C
Chris Tsoukatos
1 of 3
Downloaded 29 times
52 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ και δ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ. 1. (α  β και γ  δ )  α  γ  β  δ . (2+5=1+6 και 2≠1 , 5≠6) Α Ψ 2. Αν α 2  αβ , τότε α  β . (ή α=0) Α Ψ 3. (α  β ) 2  α 2  β 2 . Α Ψ 4. Το άθροισμα α  β δύο άρρητων αριθμών α και β είναι Α Ψ άρρητος αριθμός (α=2+ √2 , β=2-√2 και α + β=4 ) 5. Το γινόμενο α  β δύο άρρητων αριθμών α και β είναι Α Ψ άρρητος αριθμός. (α=√2, β=√8 και αβ=√16=4 ) 6. Αν α  β και γ  δ , τότε α  γ  β  δ . Α Ψ 7. Αν α 2  αβ , τότε α  β . ( π.χ. α=-5 < β = 2 και 25 > - 10) Α Ψ α 8. Αν  1 , τότε α  β . (αν είναι αρνητικοί α<β) Α Ψ β 9. Αν α  β και α   β , τότε α  0 . Α Ψ 1 10. Αν α  , τότε α  1 . (ή -1 < α < 0) Α Ψ α 11. Αν α  β  0 , τότε α  β . 2 2 Α Ψ 12. Αν α  2 και β  3 , τότε αβ  6 . [-1∙(+4) = -4 < 6 ] Α Ψ 13. Αν α  2 και β  3 , τότε αβ  6 . Α Ψ 14. 4α 2  20αβ  25 β 2  0 . Α Ψ  α  1   α  1  0 . 2 2 15. Α Ψ α  1   a  1  0 . (για α = -1 γίνεται 0 > 0 αδύνατο) 2 2 2 16. Α Ψ α  β   α  β   0  α  β  0 . 2 2 17. Α Ψ 18. Αν α  β  0 , τότε α  β  α  β . Α Ψ 19. Αν α 2  β , τότε α  β. ( α = ± √β ) Α Ψ 20. α2  α . ( = |α| ) Α Ψ ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ
1.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 53  α Α Ψ 2 21. Αν α  0 , τότε α. 22. Αν α  β  0 , τότε μπορούμε πάντοτε να γράφουμε Α Ψ α  β  α  β . (πρέπει α≥0 και β≥0) α 2  β  α  β . ( = |α|√β ) Α Ψ 23. Αν β  0 , τότε 24. α2  β 2  α  β . Α Ψ 25. Αν α  0, τότε μπορούμε πάντοτε να γράφουμε Α Ψ 6 α  α. 3 26. Μπορούμε πάντοτε να γράφουμε 4 α 2  α . (για α≥0 ή |α| ) Α Ψ 2 5 25 25 10 27. 5  25 . (5 >(5 ) !Ô 5 > 5 25 5 που ισχύει ) Α Ψ 11 11 11 11 11 11 28. 1122  2211 . ( 11 ∙11 >2 ∙11 11 > 2 που ισχύει ) Α Ψ II. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. 1. Αν 2  x  5 τότε η παράσταση x  2  x  5 είναι ίση με: Α) 2 x  7 Β) 7  2 x Γ) 3 Δ) 3 . x-2>0 και x-5<0 οπότε είναι: x-2-x+5 = 3 x  10 x  20 2. Αν 10  x  20 τότε η τιμή της παράστασης  είναι ίση με: x  10 x  20 Α) 2 Β) 2 Γ) 10 Δ) 0 . x-10>0 και x-20<0 οπότε είναι |x-10|= (x-10) και |x-20|= -(x-20) άρα 1 - 1 = 0 3. Αν α  6 10 , β  2 και γ  3 3 τότε: Α) α  β  γ Β) α  γ  β Γ) γ  α  β Δ) β  γ  α . 6 6 6 β = 8 < γ = 9 < α = 10 άρα β < γ < α 4. Ο αριθμός 9  4 5 είναι ίσος με: Α) 3  2 5 Β) 3  2 4 5 Γ) 2  5 Δ) 2  4 5 . 2 2 2 9+4√5=2 + (√5) + 2∙2∙√5=(2+√5) III. Στον παρακάτω άξονα τα σημεία Ο, Ι, Α και Β παριστάνουν τους αριθμούς 0, 1, α και β αντιστοίχως, με 0  α  1 και β  1 , ενώ τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ παριστάνουν του αριθμούς α , β , α 2 , β 2 , α 3 και β 3 , όχι όμως με την σειρά που αναγράφονται. Να αντιστοιχίσετε τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ με τους αριθμούς που παριστάνουν. Γ Δ Ε Ζ Η Θ α α 3 2 √α √β β2 β3 Έστω α=1/4 και β=4 1/64 < 1/16 < 1/2 < 2 < 16 < 64 ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ
54 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ο « διπλασιασμός του τετραγώνου», δηλαδή η κατα- σκευή ενός τετραγώνου με εμβαδό διπλάσιο ενός άλλου δοθέντος τετραγώνου, μπορεί να γίνει με μια απλή «γεωμετρική» κατασκευή. Λέγοντας «γεωμε- τρική» κατασκευή εννοούμε κατασκευή με χάρακα και διαβήτη. Ωστόσο, η πλευρά β, του τετραγώνου με το διπλάσιο εμβαδό, δεν προκύπτει από την πλευρά α με πολλα- πλασιασμό επί ρητό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα (ως μονάδα μέτρησης) με το οποίο μπορούμε να με- τρήσουμε ακριβώς τα δυο αυτά τμήματα, πλευρά και διαγώνιο τετραγώνου. Η απόδειξη της ύπαρξης άρρητων αριθμών θεωρείται μια από τις σπουδαιότερες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων. (Πυθαγόρας: 6ος π. Χ. αιώνας). Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν μια βαθειά πίστη ότι πάντοτε δυο ευθύγραμμα τμήματα έχουν κοινό μέτρο. Γι’ αυτό, στα πλαίσια της εποχής εκείνης, η ανακάλυψη αυτή των Πυθαγορείων δεν ήταν απλά και μόνο μια ενδιαφέρουσα μαθηματική πρότα- ση, αλλά σήμαινε την ανατροπή θεμελιωδών φιλοσοφικών αντιλήψεων για τον κόσμο και τη φύση. Ήταν κεντρική αντίληψη των Πυθαγορείων ότι η ουσία κάθε όντος μπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθμούς. Ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος γύρω στα 450 π.Χ., έγραφε: «Πραγματικά το καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν αριθμό (δηλαδή φυσικό). Αλλιώς θα ήταν αδύνατο να το γνωρίσουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική. Το ένα είναι η αρχή του παντός». Η ανακάλυψη λοιπόν ότι υπάρχουν μεγέθη και μάλιστα απλά , όπως η υποτεί- νουσα τετραγώνου, τα οποία δεν μπορούν να εκφραστούν στα πλαίσια των φυσι- κών αριθμών, θεωρήθηκε αληθινή συμφορά για την πυθαγόρεια φιλοσοφία. Χα- ρακτηριστικοί είναι οι θρύλοι που περιβάλλουν το γεγονός αυτό. Κατά έναν από αυτούς, η ανακάλυψη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών έγινε από τον πυθαγό- ρειο Ίπασσο, όταν αυτός και άλλοι Πυθαγόρειοι ταξίδευαν με πλοίο. Η αντίδραση των Πυθαγορείων ήταν να πνίξουν τον Ίπασσο και να συμφωνήσουν μεταξύ τους να μη διαδοθεί η ανακάλυψη προς τα έξω. Η υπέρβαση των «δυσκολιών» που φέρνει στα Μαθηματικά η ύπαρξη άρρητων αριθμών, κατέστη δυνατή από τον Εύδοξο (360π.Χ.) με την ιδιοφυή «θεωρία των Λόγων». Η απόδειξη για το ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι άρρητος είναι ένα πρόβλημα που απαιτεί πολλές φορές πολύπλοκούς συλλογισμούς. ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ

More Related Content

Kef 1 πραγματικοι αριθμοι mathematica

  • 1. 52 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ και δ. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ. 1. (α  β και γ  δ )  α  γ  β  δ . (2+5=1+6 και 2≠1 , 5≠6) Α Ψ 2. Αν α 2  αβ , τότε α  β . (ή α=0) Α Ψ 3. (α  β ) 2  α 2  β 2 . Α Ψ 4. Το άθροισμα α  β δύο άρρητων αριθμών α και β είναι Α Ψ άρρητος αριθμός (α=2+ √2 , β=2-√2 και α + β=4 ) 5. Το γινόμενο α  β δύο άρρητων αριθμών α και β είναι Α Ψ άρρητος αριθμός. (α=√2, β=√8 και αβ=√16=4 ) 6. Αν α  β και γ  δ , τότε α  γ  β  δ . Α Ψ 7. Αν α 2  αβ , τότε α  β . ( π.χ. α=-5 < β = 2 και 25 > - 10) Α Ψ α 8. Αν  1 , τότε α  β . (αν είναι αρνητικοί α<β) Α Ψ β 9. Αν α  β και α   β , τότε α  0 . Α Ψ 1 10. Αν α  , τότε α  1 . (ή -1 < α < 0) Α Ψ α 11. Αν α  β  0 , τότε α  β . 2 2 Α Ψ 12. Αν α  2 και β  3 , τότε αβ  6 . [-1∙(+4) = -4 < 6 ] Α Ψ 13. Αν α  2 και β  3 , τότε αβ  6 . Α Ψ 14. 4α 2  20αβ  25 β 2  0 . Α Ψ  α  1   α  1  0 . 2 2 15. Α Ψ α  1   a  1  0 . (για α = -1 γίνεται 0 > 0 αδύνατο) 2 2 2 16. Α Ψ α  β   α  β   0  α  β  0 . 2 2 17. Α Ψ 18. Αν α  β  0 , τότε α  β  α  β . Α Ψ 19. Αν α 2  β , τότε α  β. ( α = ± √β ) Α Ψ 20. α2  α . ( = |α| ) Α Ψ ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ
  • 2. 1.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών 53  α Α Ψ 2 21. Αν α  0 , τότε α. 22. Αν α  β  0 , τότε μπορούμε πάντοτε να γράφουμε Α Ψ α  β  α  β . (πρέπει α≥0 και β≥0) α 2  β  α  β . ( = |α|√β ) Α Ψ 23. Αν β  0 , τότε 24. α2  β 2  α  β . Α Ψ 25. Αν α  0, τότε μπορούμε πάντοτε να γράφουμε Α Ψ 6 α  α. 3 26. Μπορούμε πάντοτε να γράφουμε 4 α 2  α . (για α≥0 ή |α| ) Α Ψ 2 5 25 25 10 27. 5  25 . (5 >(5 ) !Ô 5 > 5 25 5 που ισχύει ) Α Ψ 11 11 11 11 11 11 28. 1122  2211 . ( 11 ∙11 >2 ∙11 11 > 2 που ισχύει ) Α Ψ II. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. 1. Αν 2  x  5 τότε η παράσταση x  2  x  5 είναι ίση με: Α) 2 x  7 Β) 7  2 x Γ) 3 Δ) 3 . x-2>0 και x-5<0 οπότε είναι: x-2-x+5 = 3 x  10 x  20 2. Αν 10  x  20 τότε η τιμή της παράστασης  είναι ίση με: x  10 x  20 Α) 2 Β) 2 Γ) 10 Δ) 0 . x-10>0 και x-20<0 οπότε είναι |x-10|= (x-10) και |x-20|= -(x-20) άρα 1 - 1 = 0 3. Αν α  6 10 , β  2 και γ  3 3 τότε: Α) α  β  γ Β) α  γ  β Γ) γ  α  β Δ) β  γ  α . 6 6 6 β = 8 < γ = 9 < α = 10 άρα β < γ < α 4. Ο αριθμός 9  4 5 είναι ίσος με: Α) 3  2 5 Β) 3  2 4 5 Γ) 2  5 Δ) 2  4 5 . 2 2 2 9+4√5=2 + (√5) + 2∙2∙√5=(2+√5) III. Στον παρακάτω άξονα τα σημεία Ο, Ι, Α και Β παριστάνουν τους αριθμούς 0, 1, α και β αντιστοίχως, με 0  α  1 και β  1 , ενώ τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ παριστάνουν του αριθμούς α , β , α 2 , β 2 , α 3 και β 3 , όχι όμως με την σειρά που αναγράφονται. Να αντιστοιχίσετε τα σημεία Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και Θ με τους αριθμούς που παριστάνουν. Γ Δ Ε Ζ Η Θ α α 3 2 √α √β β2 β3 Έστω α=1/4 και β=4 1/64 < 1/16 < 1/2 < 2 < 16 < 64 ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ
  • 3. 54 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ο « διπλασιασμός του τετραγώνου», δηλαδή η κατα- σκευή ενός τετραγώνου με εμβαδό διπλάσιο ενός άλλου δοθέντος τετραγώνου, μπορεί να γίνει με μια απλή «γεωμετρική» κατασκευή. Λέγοντας «γεωμε- τρική» κατασκευή εννοούμε κατασκευή με χάρακα και διαβήτη. Ωστόσο, η πλευρά β, του τετραγώνου με το διπλάσιο εμβαδό, δεν προκύπτει από την πλευρά α με πολλα- πλασιασμό επί ρητό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα (ως μονάδα μέτρησης) με το οποίο μπορούμε να με- τρήσουμε ακριβώς τα δυο αυτά τμήματα, πλευρά και διαγώνιο τετραγώνου. Η απόδειξη της ύπαρξης άρρητων αριθμών θεωρείται μια από τις σπουδαιότερες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων. (Πυθαγόρας: 6ος π. Χ. αιώνας). Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν μια βαθειά πίστη ότι πάντοτε δυο ευθύγραμμα τμήματα έχουν κοινό μέτρο. Γι’ αυτό, στα πλαίσια της εποχής εκείνης, η ανακάλυψη αυτή των Πυθαγορείων δεν ήταν απλά και μόνο μια ενδιαφέρουσα μαθηματική πρότα- ση, αλλά σήμαινε την ανατροπή θεμελιωδών φιλοσοφικών αντιλήψεων για τον κόσμο και τη φύση. Ήταν κεντρική αντίληψη των Πυθαγορείων ότι η ουσία κάθε όντος μπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθμούς. Ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος γύρω στα 450 π.Χ., έγραφε: «Πραγματικά το καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν αριθμό (δηλαδή φυσικό). Αλλιώς θα ήταν αδύνατο να το γνωρίσουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική. Το ένα είναι η αρχή του παντός». Η ανακάλυψη λοιπόν ότι υπάρχουν μεγέθη και μάλιστα απλά , όπως η υποτεί- νουσα τετραγώνου, τα οποία δεν μπορούν να εκφραστούν στα πλαίσια των φυσι- κών αριθμών, θεωρήθηκε αληθινή συμφορά για την πυθαγόρεια φιλοσοφία. Χα- ρακτηριστικοί είναι οι θρύλοι που περιβάλλουν το γεγονός αυτό. Κατά έναν από αυτούς, η ανακάλυψη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών έγινε από τον πυθαγό- ρειο Ίπασσο, όταν αυτός και άλλοι Πυθαγόρειοι ταξίδευαν με πλοίο. Η αντίδραση των Πυθαγορείων ήταν να πνίξουν τον Ίπασσο και να συμφωνήσουν μεταξύ τους να μη διαδοθεί η ανακάλυψη προς τα έξω. Η υπέρβαση των «δυσκολιών» που φέρνει στα Μαθηματικά η ύπαρξη άρρητων αριθμών, κατέστη δυνατή από τον Εύδοξο (360π.Χ.) με την ιδιοφυή «θεωρία των Λόγων». Η απόδειξη για το ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι άρρητος είναι ένα πρόβλημα που απαιτεί πολλές φορές πολύπλοκούς συλλογισμούς. ΤΣΟΥΚΑΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΛΕΩΝΙΔΙΟ