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CAPITOLO 9: LA GRAVITAZIONE
9.1 Introduzione.
Un altro tipo di forza piuttosto importante 竪 la forza gravitazionale. Innanzitutto, 竪 risaputo che nel nostro
sistema di pianeti chiamato sistema solare il sole 竪 la stella centrale attorno a cui ruotano tutti i pianeti. Nel
sistema solare ci sono ben otto pianeti che sono:
1. Mercurio
2. Giove
3. Marte
4. Venere
5. Saturno
6. Urano
7. Terra
8. Nettuno
Al centro, come 竪 gi stato detto c竪 il sole che 竪 una stella luminosa. Tra il 1600 ed il 1620 Keplero formul嘆
le sue tre leggi fondamentali che stanno alla base della moderna astrofisica:
1. Prima legge di Keplero afferma che i pianeti ruotano attorno al sole percorrendo orbite ellittiche,
ed il sole occupa uno dei fuochi dellellisse.
2. Seconda legge di Keplero la quale afferma che la velocit areale di un pianeta 竪 costante .
3. Terza legge di Keplero la quale afferma che il quadrato del periodo di rivoluzione do ogni pianeta 竪
proporzionale al cubo del semiasse maggiore dellellisse.
Graficamente si ha:
pianeta
Figura 9.1
Formalmente la terza legge di Keplero si pu嘆 scrivere in questo modo:
楸爼
犁 楷爼
(9.1)
Le tre leggi di Keplero forniscono una descrizione cinematica del moto dei pianeti attorno al sole. Si noti che
la velocit detta areale sostanzialmente 竪 la velocit con cui varia larea spazzata dal raggio vettore durante
il suo movimento. Pertanto, matematicamente parlando, la velocit areale si definisce in questo modo:
楔牆 犁
牆牀罪材п
牆牆
(9.2)
sole](https://image.slidesharecdn.com/capitolo9-160430135445/85/La-gravitazione-1-320.jpg)
![[Digitare il testo] Pagina 135
Dove A 竪 larea sottesa durante lo spostamento.
pianeta
Figura 9.2
Se 竪 vero che la velocit areale 竪 costante allora se approssimiamo la traiettoria ellittica del piano ad una
circonferenza possiamo capire facilmente che siamo di fronte ad un moto circolare uniforme e quindi:
澑 犁
楷
犁 椽椰椰椽 椽ﾜ楯 犁 0
Detto ci嘆, analizziamo la relazione principale che sta alla base della teoria della gravitazione universale. Tale
relazione dovuta ad Isaac Newton afferma che: due corpi di massa rispettivamente 爼 ed 爼 si attraggono
con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle due masse ed inversamente proporzionale al
quadrato della loro distanza. Tale forza ha la direzione parallela alla retta congiungente i baricentri dei corpi
considerati.
Figura 9.3
Tale legge viene espressa nel seguente modo:
棣牆 犁
牆牋牆牋
牆牋
(9.3)
La costante viene detta costante di gravitazione universale e vale circa:
犁 6,67 揃 10爼逗朽 牆牆牋
牆牆牋 (9.4)
Tale relazione verr ripresa pi湛 avanti quando tratteremo lelettrostatica in quanto la forza elettrostatica
obbedisce ad una relazione del tutto simile alla (9.3). Osserviamo che, se una data massa 竪 soggetta
allazione gravitazionale di pi湛 masse la forza risultante su di essa 竪 chiaramente la somma vettoriale delle
singole forze (principio di sovrapposizione). Inoltre, la legge della gravitazione universale solitamente viene
enunciata per i corpi puntiformi. Se abbiamo a che fare con corpi estesi 竪 necessario suddividere loggetto
in tantissimi corpi di massa talmente piccola da essere considerati dei punti materiali per poi applicare
correttamente il principio di sovrapposizione.](https://image.slidesharecdn.com/capitolo9-160430135445/85/La-gravitazione-2-320.jpg)
![[Digitare il testo] Pagina 136
Consideriamo ora il caso in cui un corpo di massa m si trovi su un pianeta di massa M. Vogliamo per
esempio calcolare laccelerazione di gravit su tale pianeta. Innanzitutto scriviamo la relazione generale:
棣牆 犁
椚
楷爼
Siccome R 竪 il raggio del pianeta possiamo supporlo noto e quindi:
犁
牆牆
牆牋
犁
牆
牆牋
(9.5)
Ovviamente, se il corpo si trova ad unaltezza h dalla superficie del pianeta si scrive la precedente
relazione nel seguente modo:
犁
牆
材爼鉦死握
(9.6)
Consideriamo ora un generico corpo ruotante attorno ad un pianeta (per esempio un generico satellite)
come viene mostrato di seguito:
m
h
M
Figura 9.4
La forza attrattiva sar data da:
棣牆 犁
牆牆
材爼鉦死握
Mentre la forza centrifuga (la quale 竪 pari alla forza centripeta (forza normale) in modulo) sar data da:
棣牆 犁 澑爼近載 犁 犁
爼
載 犁
Per una definizione pi湛 precisa della forza centrifuga si veda il capitolo 8 sulle propriet dei fluidi. Ad ogni
modo, la permanenza in orbita si ha quando:
棣牆 犁 棣牆 (9.7)
E pertanto:
牆牋
材爼鉦
犁
椚
載巌2 2 犁
椚
載巌
犁 犇
椚
載巌
(9.8)](https://image.slidesharecdn.com/capitolo9-160430135445/85/La-gravitazione-3-320.jpg)
![[Digitare il testo] Pagina 137
La relazione 9.8 mostra la velocit orbitale del satellite.
9.2 Energia potenziale gravitazionale.
La forza gravitazionale 竪 una forza conservativa, quindi 竪 possibile applicare il principio di conservazione
dellenergia meccanica ed ha senso parlare dellenergia potenziale. Tale energia potenziale si calcola
semplicemente integrando la forza gravitazionale lungo un cammino congiungente le due masse, e quindi:
楫牆 犁 犇 棣牆
牆
Dove l 竪 proprio tale cammino. Quindi:
廳
牆牆
牆ム握牆
dr =
牆牆
牆
Pertanto lenergia potenziale gravitazionale 竪 data da:
楫 犁 犁
牆牆
牆
(9.9)
Vediamo il significato del segno meno. Innanzitutto, osserviamo che lenergia potenziale decresce al
crescere della distanza dal corpo e pertanto lenergia potenziale e si annulla per r . Pertanto il suo
massimo valore (0 per lappunto) si ha per distanze infinite. Vediamo ora di calcolare il lavoro che compie la
forza gravitazionale su un corpo che cade da unaltezza h. Siccome:
椪 犁 棗牆 犁 犁
椚
犁
椚
犁
Raccogliendo si ottiene:
椪 犁 犁椚
1
犁
1
犁
Se la distanza r dei corpi 竪 molto maggiore del salto di caduta h allora possiamo tranquillamente scrivere:
椪 犁 犁椚
財 犁 犁
財 犁
犁椚
財 犁 犁
爼
In quanto per h<<r abbiamo:
財 犁 爼
Quindi, siccome 竪 nota la relazione 9.5 possiamo utilizzarla e scrivere:
爼
犁 椪 犁 犁爼
財 犁 犁
爼
椪 犁 棗牆 犁 犁爼
爼
犁 犁
Pertanto abbiamo dimostrato che lenergia potenziale, per h<<r assume lusuale definizione. Vediamo un
esempio.](https://image.slidesharecdn.com/capitolo9-160430135445/85/La-gravitazione-4-320.jpg)
![[Digitare il testo] Pagina 138
ESEMPIO: Supponiamo di avere una sfera di piombo avente raggio R, ed al suo interno viene praticata una
cavit sferica nel seguente modo:
R
m
d
Figura 9.5
Prima di praticare la cavit, la massa della sfera era pari a M Kg. Supponiamo di avere anche un corpo di
massa m distante d dalla sfera di piombo. Vogliamo calcolare la forza di attrazione tra il corpo di massa m
e la sfera di piombo.
Chiaramente la forza gravitazionale 竪 data da:
棣牆 犁
椚
爼
Siccome per嘆 la sfera originaria viene privata di una sua porzione si ottiene:
棣牆 犁
椚
爼
犁
椚國
際 犁 楷
2犁 死
Dove chiaramente M 竪 la massa della sfera asportata e quindi:
椚國
椚
犁
潯楔國
潯楔
犁
楔國
楔
Dove:
楔
犁
4
3
澀
楷
2
死
楔 犁
4
3
澀載玩死
Pertanto si ottiene:
椚國
椚
犁 1/8
Dunque la forza gravitazionale 竪 data da:](https://image.slidesharecdn.com/capitolo9-160430135445/85/La-gravitazione-5-320.jpg)
![[Digitare il testo] Pagina 139
棣牆 犁 椚
1
爼
犁
1
8 犁
楷
2
爼近
Vediamo ora cosa succede se voglio liberare un corpo di massa m dalla forza gravitazionale di un pianeta.
Supponiamo che tale corpo di massa m si trovi su un pianeta avente un raggio R ed una massa M.
Supponiamo di lanciare verso lalto tale corpo con una velocit v. Allora tale corpo possieder una energia
meccanica data da:
棗牆 犁 棗牆 犁 棗牆 犁
1
2
爼
犁
椚
Il corpo sar completamente libero dalleffetto dellattrazione gravitazionale quando:
棗牆 犁 0
Ossi quando la sua energia totale sar nulla. Questo vuol dire che, il corpo di massa m sar
completamente libero dallazione gravitazionale quando sar ad una distanza infinita dal pianeta con una
velocit nulla. Quindi formalmente si pu嘆 scrivere:
爼
爼
爼
犁
牆牆
牆
(9.10)
Pertanto la velocit di fuga ossia la velocit necessaria al corpo per sfuggire dallazione gravitazionale sar
data da:
犁 犇
爼謹牆
牆
(9.11)
Vediamo un esempio
ESEMPIO: Supponiamo di avere un satellite che deve essere lanciato ad unaltezza h dalla superficie della
terra. Vogliamo che tale satellite possa muoversi sullorbita circolare terrestre. Conoscendo il raggio
terrestre (R=6400 Km), si desidera chiaramente calcolare la velocit che permette di verificare la
precedente condizione ed il periodo di rotazione del satellite.
Tale esempio non 竪 particolarmente impegnativo. Infatti sappiamo che la forza gravitazionale 竪 data da:
棣牆 犁
椚
楷爼
Siccome il satellite ruota su unorbita circolare subisce laccelerazione normale data da:
椽牆 犁
爼
楷
Quindi, possiamo scrivere:
椚
楷爼
犁
爼
楷
Ottenendo:](https://image.slidesharecdn.com/capitolo9-160430135445/85/La-gravitazione-6-320.jpg)
![[Digitare il testo] Pagina 140
犁 犇
椚
楷
Il periodo di rotazione 竪 dato da:
楸 犁
2澆楷](https://image.slidesharecdn.com/capitolo9-160430135445/85/La-gravitazione-7-320.jpg)
![Legge di gravitazione universale [prof. santi caltabiano]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/leggedigravitazioneuniversaleprof-190913160230-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
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- 1. [Digitare il testo] Pagina 134 CAPITOLO 9: LA GRAVITAZIONE 9.1 Introduzione. Un altro tipo di forza piuttosto importante 竪 la forza gravitazionale. Innanzitutto, 竪 risaputo che nel nostro sistema di pianeti chiamato sistema solare il sole 竪 la stella centrale attorno a cui ruotano tutti i pianeti. Nel sistema solare ci sono ben otto pianeti che sono: 1. Mercurio 2. Giove 3. Marte 4. Venere 5. Saturno 6. Urano 7. Terra 8. Nettuno Al centro, come 竪 gi stato detto c竪 il sole che 竪 una stella luminosa. Tra il 1600 ed il 1620 Keplero formul嘆 le sue tre leggi fondamentali che stanno alla base della moderna astrofisica: 1. Prima legge di Keplero afferma che i pianeti ruotano attorno al sole percorrendo orbite ellittiche, ed il sole occupa uno dei fuochi dellellisse. 2. Seconda legge di Keplero la quale afferma che la velocit areale di un pianeta 竪 costante . 3. Terza legge di Keplero la quale afferma che il quadrato del periodo di rivoluzione do ogni pianeta 竪 proporzionale al cubo del semiasse maggiore dellellisse. Graficamente si ha: pianeta Figura 9.1 Formalmente la terza legge di Keplero si pu嘆 scrivere in questo modo: 楸爼 犁 楷爼 (9.1) Le tre leggi di Keplero forniscono una descrizione cinematica del moto dei pianeti attorno al sole. Si noti che la velocit detta areale sostanzialmente 竪 la velocit con cui varia larea spazzata dal raggio vettore durante il suo movimento. Pertanto, matematicamente parlando, la velocit areale si definisce in questo modo: 楔牆 犁 牆牀罪材п 牆牆 (9.2) sole
- 2. [Digitare il testo] Pagina 135 Dove A 竪 larea sottesa durante lo spostamento. pianeta Figura 9.2 Se 竪 vero che la velocit areale 竪 costante allora se approssimiamo la traiettoria ellittica del piano ad una circonferenza possiamo capire facilmente che siamo di fronte ad un moto circolare uniforme e quindi: 澑 犁 楷 犁 椽椰椰椽 椽ﾜ楯 犁 0 Detto ci嘆, analizziamo la relazione principale che sta alla base della teoria della gravitazione universale. Tale relazione dovuta ad Isaac Newton afferma che: due corpi di massa rispettivamente 爼 ed 爼 si attraggono con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle due masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Tale forza ha la direzione parallela alla retta congiungente i baricentri dei corpi considerati. Figura 9.3 Tale legge viene espressa nel seguente modo: 棣牆 犁 牆牋牆牋 牆牋 (9.3) La costante viene detta costante di gravitazione universale e vale circa: 犁 6,67 揃 10爼逗朽 牆牆牋 牆牆牋 (9.4) Tale relazione verr ripresa pi湛 avanti quando tratteremo lelettrostatica in quanto la forza elettrostatica obbedisce ad una relazione del tutto simile alla (9.3). Osserviamo che, se una data massa 竪 soggetta allazione gravitazionale di pi湛 masse la forza risultante su di essa 竪 chiaramente la somma vettoriale delle singole forze (principio di sovrapposizione). Inoltre, la legge della gravitazione universale solitamente viene enunciata per i corpi puntiformi. Se abbiamo a che fare con corpi estesi 竪 necessario suddividere loggetto in tantissimi corpi di massa talmente piccola da essere considerati dei punti materiali per poi applicare correttamente il principio di sovrapposizione.
- 3. [Digitare il testo] Pagina 136 Consideriamo ora il caso in cui un corpo di massa m si trovi su un pianeta di massa M. Vogliamo per esempio calcolare laccelerazione di gravit su tale pianeta. Innanzitutto scriviamo la relazione generale: 棣牆 犁 椚 楷爼 Siccome R 竪 il raggio del pianeta possiamo supporlo noto e quindi: 犁 牆牆 牆牋 犁 牆 牆牋 (9.5) Ovviamente, se il corpo si trova ad unaltezza h dalla superficie del pianeta si scrive la precedente relazione nel seguente modo: 犁 牆 材爼鉦死握 (9.6) Consideriamo ora un generico corpo ruotante attorno ad un pianeta (per esempio un generico satellite) come viene mostrato di seguito: m h M Figura 9.4 La forza attrattiva sar data da: 棣牆 犁 牆牆 材爼鉦死握 Mentre la forza centrifuga (la quale 竪 pari alla forza centripeta (forza normale) in modulo) sar data da: 棣牆 犁 澑爼近載 犁 犁 爼 載 犁 Per una definizione pi湛 precisa della forza centrifuga si veda il capitolo 8 sulle propriet dei fluidi. Ad ogni modo, la permanenza in orbita si ha quando: 棣牆 犁 棣牆 (9.7) E pertanto: 牆牋 材爼鉦 犁 椚 載巌2 2 犁 椚 載巌 犁 犇 椚 載巌 (9.8)
- 4. [Digitare il testo] Pagina 137 La relazione 9.8 mostra la velocit orbitale del satellite. 9.2 Energia potenziale gravitazionale. La forza gravitazionale 竪 una forza conservativa, quindi 竪 possibile applicare il principio di conservazione dellenergia meccanica ed ha senso parlare dellenergia potenziale. Tale energia potenziale si calcola semplicemente integrando la forza gravitazionale lungo un cammino congiungente le due masse, e quindi: 楫牆 犁 犇 棣牆 牆 Dove l 竪 proprio tale cammino. Quindi: 廳 牆牆 牆ム握牆 dr = 牆牆 牆 Pertanto lenergia potenziale gravitazionale 竪 data da: 楫 犁 犁 牆牆 牆 (9.9) Vediamo il significato del segno meno. Innanzitutto, osserviamo che lenergia potenziale decresce al crescere della distanza dal corpo e pertanto lenergia potenziale e si annulla per r . Pertanto il suo massimo valore (0 per lappunto) si ha per distanze infinite. Vediamo ora di calcolare il lavoro che compie la forza gravitazionale su un corpo che cade da unaltezza h. Siccome: 椪 犁 棗牆 犁 犁 椚 犁 椚 犁 Raccogliendo si ottiene: 椪 犁 犁椚 1 犁 1 犁 Se la distanza r dei corpi 竪 molto maggiore del salto di caduta h allora possiamo tranquillamente scrivere: 椪 犁 犁椚 財 犁 犁 財 犁 犁椚 財 犁 犁 爼 In quanto per h<<r abbiamo: 財 犁 爼 Quindi, siccome 竪 nota la relazione 9.5 possiamo utilizzarla e scrivere: 爼 犁 椪 犁 犁爼 財 犁 犁 爼 椪 犁 棗牆 犁 犁爼 爼 犁 犁 Pertanto abbiamo dimostrato che lenergia potenziale, per h<<r assume lusuale definizione. Vediamo un esempio.
- 5. [Digitare il testo] Pagina 138 ESEMPIO: Supponiamo di avere una sfera di piombo avente raggio R, ed al suo interno viene praticata una cavit sferica nel seguente modo: R m d Figura 9.5 Prima di praticare la cavit, la massa della sfera era pari a M Kg. Supponiamo di avere anche un corpo di massa m distante d dalla sfera di piombo. Vogliamo calcolare la forza di attrazione tra il corpo di massa m e la sfera di piombo. Chiaramente la forza gravitazionale 竪 data da: 棣牆 犁 椚 爼 Siccome per嘆 la sfera originaria viene privata di una sua porzione si ottiene: 棣牆 犁 椚 爼 犁 椚國 際 犁 楷 2犁 死 Dove chiaramente M 竪 la massa della sfera asportata e quindi: 椚國 椚 犁 潯楔國 潯楔 犁 楔國 楔 Dove: 楔 犁 4 3 澀 楷 2 死 楔 犁 4 3 澀載玩死 Pertanto si ottiene: 椚國 椚 犁 1/8 Dunque la forza gravitazionale 竪 data da:
- 6. [Digitare il testo] Pagina 139 棣牆 犁 椚 1 爼 犁 1 8 犁 楷 2 爼近 Vediamo ora cosa succede se voglio liberare un corpo di massa m dalla forza gravitazionale di un pianeta. Supponiamo che tale corpo di massa m si trovi su un pianeta avente un raggio R ed una massa M. Supponiamo di lanciare verso lalto tale corpo con una velocit v. Allora tale corpo possieder una energia meccanica data da: 棗牆 犁 棗牆 犁 棗牆 犁 1 2 爼 犁 椚 Il corpo sar completamente libero dalleffetto dellattrazione gravitazionale quando: 棗牆 犁 0 Ossi quando la sua energia totale sar nulla. Questo vuol dire che, il corpo di massa m sar completamente libero dallazione gravitazionale quando sar ad una distanza infinita dal pianeta con una velocit nulla. Quindi formalmente si pu嘆 scrivere: 爼 爼 爼 犁 牆牆 牆 (9.10) Pertanto la velocit di fuga ossia la velocit necessaria al corpo per sfuggire dallazione gravitazionale sar data da: 犁 犇 爼謹牆 牆 (9.11) Vediamo un esempio ESEMPIO: Supponiamo di avere un satellite che deve essere lanciato ad unaltezza h dalla superficie della terra. Vogliamo che tale satellite possa muoversi sullorbita circolare terrestre. Conoscendo il raggio terrestre (R=6400 Km), si desidera chiaramente calcolare la velocit che permette di verificare la precedente condizione ed il periodo di rotazione del satellite. Tale esempio non 竪 particolarmente impegnativo. Infatti sappiamo che la forza gravitazionale 竪 data da: 棣牆 犁 椚 楷爼 Siccome il satellite ruota su unorbita circolare subisce laccelerazione normale data da: 椽牆 犁 爼 楷 Quindi, possiamo scrivere: 椚 楷爼 犁 爼 楷 Ottenendo:
- 7. [Digitare il testo] Pagina 140 犁 犇 椚 楷 Il periodo di rotazione 竪 dato da: 楸 犁 2澆楷