�ݺ�ߣ

Bab 2. LIMIT
2.1. Dua masalah fundamental kalkulus.
2.2. Garis Tangen
2.3. Konsep Limit
2.4. Teorema Limit
2.5. Konsep kontinuitas

Dua Masalah Fundamental Kalkulus
• Masalah 1 (Masalah Tangen):
Diberikan sebuah titik P(x,f(x)) pada kurva y=f(x),
bagaimana menentukan kemiringan garis tangen
pada P?
• Masalah 2 (Masalah Luas):
Jika f(x)≥ 0 untuk x∈[a,b], bagaimana menghitung
luas daerah A yaitu suatu bidang yang berada
diantara kurva y=f(x) dan sumbu-x sepanjang
selang [a,b]?

2.2. Garis Tangen
• Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringan
garis tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapat
diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titik
P dan titik Q(a+h, f(a+h)).
• Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x)
dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garis tangen
kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):
).0(,
)()(
≠
−+
=
∆
∆
= h
h
afhaf
x
y
mPQ
h
afhaf
m
h
)()(
lim
0
−+
=
→

2.3 Konsep Limit
Definisi Intuitif
Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg
membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a
• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
Lxf
ax
=
→
)(lim

Contoh
1.
5
4
6
4
lim 2
2
2
=
−+
−
→ xx
x
x
0.828.02
0.800042.00179996.0999.1
0.803922.17959.09.1
81818.05.27778.05.1
83333.0375.01
)()(
↓↓↓↓
xfxxfx

• Hitung )(lim
0
xf
x→



<−
>
==



=
≠
=
0if1
0if1
||
)(.2
0if0
0if1
)(.1
x
x
x
x
xf
x
x
xf

Hukum2 Limit:
Pecahan)(Hk..0jikaasalkan
)(lim
)(lim
)(
)(
lim4.
Perkalian)(Hk.)](lim)][(lim[)]()([lim.3
n)PenjumlahaHk.()](lim[)](lim[)]()([lim2.
maka)(limdan)(limadaberikutlimitJika
.Konstanta)(Hk.lim.1
≠==
==
±=±=±
==
=
→
→
→
→→→
→→→
→→
→
M
M
L
xg
xf
xg
xf
LMxgxfxgxf
MLxgxfxgxf
MxgLxf
CC
ax
ax
ax
axaxax
axaxax
axax
ax

Komposisi)Limittusi/(Hk.Substi).())(lim())((lim
maka)()(limdan)(limMisalkan.6
(Hk.Akar).lim
maka
genap,nilaiuntuk0jikadanpositifbulatbilangansuatuJika5.
Lfxgfxgf
LfxfLxg
ax
nan
axax
Lxax
nn
ax
==
==
=
>
→→
→→
→

2.4. Teorema2 Limit
1. Teorema Limit trigonometri:
2. Hukum Apit: Misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk
semua x disekitar a namun x≠ a, dan
maka
1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
)(lim)(lim xhLxf
axax →→
==
Lxg
ax
=
→
)(lim

cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1/cos(x)
1
)sin(
limmaka,
)cos(
1
lim1)cos(lim
000
===
→→→ x
x
x
x
xxx

Contoh
.0
1
sinlimTunjukkan 2
0x
=
→ x
x
0dan1
1
sin1,0Untuk 2
>≤≤−≠ x
x
x
222 1
sin x
x
xx ≤≤−
Apit).Prinsipan(menggunak0
1
sinlimmaka
0limdan0)lim(karena
2
0
2
0
2
0
=
==−
→
→→
x
x
xx
x
xx
Bukti:

• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)
• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)
• Teorema 2:
jika dan hanya jika
Lxf
ax
=−
→
)(lim
Lxf
ax
=+
→
)(lim
)(lim)(lim xfLxf
axax +−
→→
==
Lxf
ax
=
→
)(lim

Contoh
adatidak)(limMaka
..2)2(lim)(lim,0Untuk
..11lim)(lim,0Untuk
.
0,2
0,1
)(
0
00
00
xf
xfx
xfx
x
x
xf
x
xx
xx
→
−→−→
+→+→
−=−=<
==>



<−
≥
=
kirilimit
kananlimit

Contoh2 limit
later.discussed-examplesuchforlimitssided-oneNeed
exist.notdoes)(lim
0,1
0,1
)((4)
exist.notdoes
1
lim(3)
.0||lim(2)
.211)1(lim(1)
0
20
0
22
1
xf
x
x
xf
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
→



<−
≥
=
=
=+=+

.633)3(lim
3
9
lim
Jadi
.3untuk,3
3
)3)(3(
3
9
)(
Tetapi
.erdefinisitidak t)3(
3
9
)(Disini
;
3
9
lim(5)
3x
2
3x
2
2
2
3x
=+=+=
−
−
≠+=
−
+−
=
−
−
=
⇒
−
−
=
−
−
→→
→
x
x
x
xx
x
xx
x
x
xf
f
x
x
xf
x
x

• Definisi Limit.
Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L∈ R,
ditulis
jika dan hanya jika, untuk ε > 0, terdapat
δ > 0 sedemikian sehingga jika
0 < |x - a| < δ maka |f(x) - L| < ε.
Lxf
ax
=
→
)(lim

�ݺ�ߣ

materi limit kuliah mahasiswa limit

More Related Content

materi limit kuliah mahasiswa limit