ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Parabol hiperbol elips

?Download as PPT, PDF?
?
M
muminavla
1 of 42
Downloaded 75 times
SEV?M ?ZT?RK 0901010046 PARABOL EL?PS H?PERBOL
KON?KLER Tan?m: Sabit bir noktas? F ve sabit bir do?rusu olan bir dzleminin (P) = {P:|PF| = |PH| , , F , P } noktalar?n?n kmesine parabol denir. Burada F odak,O tepe(k??e), do?rultman,2p parametre ve paraboln simetrik oldu?u do?ru da eksen ad?n? al?r.Ekseni X ve Y,k??esi ba?lang?? noktas? olan parabolleri g?ryorsunuz. ,
?telenmi? Parabol Denklemi y = ax 2 + bx 2 + c ise F( , ) ve do?rultman denklemi y = d?r. ,
Parabol Ve Do?ru y 2 = 2px parabol ile y = m.x + n do?rusu kesi?ti?inde ( m.x + n ) 2 = 2px denkleminden kesim noktalar?n?n apsisleri bulunur.Burada : p - 2mn < 0 durumunda do?ru parabol kesmez. P - 2mn > 0 durumunda do?ru parabol farkl? 2 noktada keser. P - 2mn = 0 durumunda do?ru parabole te?et olur(de?me ko?ulu). De?me Noktas? ( ) olur. Parabole Bir Noktadan ?izilen Te?et Denklemi Parabol ve (x 0 , y 0 ) noktas? verilsin.Bu noktadaki te?et denklemi : ,
y 2 = 2px i?in yy 0 = p( x + x 0 ) x 2 = 2py i?in xx 0 = p( y + y 0 ) d?r. Paraboln K??egeni E?imleri ayn? olan kiri?lerin orta noktalar?n?n kmesine k??egen denir. y 2 = 2px parabolnn e?imi m olan kiri?lerinin orta noktalar?n? kmesi y=p / m olur. y = p / m do?rusu ,e?imi m olan te?etin de?me noktas?ndan ge?er. y = p / m do?rusuna ve e?imi m olan kiri?lere birbirinin e?leni?i denir. EL?PS Tan?m: dzleminin farkl? ve sabit iki noktas? F , F ; de?i?en bir noktas? P ise dzlemin P noktalar?n?n (E) = {P,|PF| + |PF | = 2a , F , F , p , a > c > 0 , |FF | = 2c} kmesine elips denir. ,
Burada , F , F odaklar? ; A , A , B , B k??eler ; ve do?rultmanlard?r. |AA | = 2a , |BB | = 2b ve |FF | = 2c olur. a 2 = b 2 + c 2 oldu?unu g?rnz. ,
Elips Ve Do?ru elipsi ile y = m.x + n do?rusunun kesi?meleri durumu : a 2 m 2 + b 2 - n 2 > 0 ise iki farkl? noktada kesi?irler. a 2 m 2 + b 2 - n 2 < 0 ise kesi?mezler. a 2 m 2 + b 2 - n 2 = 0 ise bir noktada keser, te?et olur(de?me ko?ulu). De?me noktas? ise d?r. Elipse Bir Noktas?ndan ?izilen Te?et Denklemi Elips merkezinden ge?en kiri?lere elipsin k??egeni denir. ,
E?imleri aras?nda m 1 . m 2 = ba??nt?s? bulunan iki k??egene e?lenik k??egenler ad? verilir., y = m.x k??egeninin e?leni?i olur. Elipsin Parametresi Elipsin odaklar?ndan birinden eksene ?izilen dik kiri? uzunlu?una parametre denir. Parametre = 2p = d?r. Elipsin D??merkezli?i Elipste d??merkezlik oran?na verilen add?r. e < 1 d?r. Elipsi Alan? elipsinin alan? ab d?r. ,
H?PERBOL Tan?m: dzleminin sabit iki noktas? F , F ve herhangi bir noktas? P ise P noktalar?n?n ; ( H ) = { P : [|PF | - |PF | = 2a , |FF | = 2c , a < c , F , F , F } kmesine hiperbol denir. Burada ; F , F odaklar ; A , A , B , B k??eler ; ve do?rultmanlard?r. a 2 = a 2 + b 2 oldu?unu g?ryorsunuz. ,
?telenmi? Hiperbol Denklemi Hiperbol Ve Do?ru hiperbol ile y = m.x + n do?rusunun kesi?meleri durumu : ,
n 2 + b 2 - a 2 m 2 > 0 ise do?ru hiperbol iki noktada keser. n 2 + b 2 - a 2 m 2 <0 ise do?ru hiperbol kesmez. n 2 + b 2 - a 2 m 2 = 0 ise do?ru hiperbole te?et olur (de?me ko?ulu) De?me noktas? da d?r. Hiperbole Bir Noktas?ndan ?izilen Te?et Denklemi Hiperbol ve P ( x 0 , y 0 ) noktas? verilsin.Bu noktadaki te?et denklemi : i?in i?in d?r. ,
Hiperboln K??egeni Hiperboln merkezinden ge?en do?rulara k??egen denir.E?imleri aras?nda m 1 .m 2 = ba??nt?s? bulunan y = m.x ve y = . X k??elerine de e?lenik k??egenler ad? verilir. Hiperboln Parametresi Hiperboln bir oda??nda eksene dik olan kiri? uzunlu?una parametre denir. d?r. Hiperboln D??merkezli?i oran?na d??merkezlik denir. e > 1 d?r. ,
Hiperboln Asimptotlar? b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 hiperbolnn asimptot denklemleri y = d?r. ?kizkenar Hiperbol a = b olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir.denklemi x 2 - y 2 = a 2 olur. E?lenik Hiperboller Birinin asal k??eleri , di?erinin yedek k??eleri olan hiperbollere e?lenik hiperboller denir. ile e?lenik hiperbol denklemleridir. ,
MERKEZL? KON?KLER?N SINIFLANDIRILMASI Tan?m: R 2 uzay?n?n sabit bir do?rusu ile bunun d???nda sabit bir F noktas? verilsin.F noktas?na olan uzakl???n do?rusuna olan uzakl??a oran? sabit olan P ( x , y ) noktalar?n?n kmesine konik denir.Yani , ( K ) = { P : = e ve e > 0 } d?r. Konik ; e < 1 ise elips , e = 1 ise parabol ve e > 1 ise hiperbol olur. Bu koni?in genel denklemi Ax 2 + B.x.y + Cy 2 +D.x + Ey + F = 0 bi?imindedir. ------------ ---------- P ( x , y ) F ( m , n ) H a.x + b.y + c = 0 , |PF | |PH |
Koni?in merkezinin koordinatlar? ; f x = 0 2Ax + B.y + D = 0 f y = 0 B.x + 2C.y + E = 0 Sistemin ??zm varsa , denklem , merkezli konik (elips,hiperbol) belirtir. = | | = 4AC - B 2 = 0 ise merkezli konik vard?r. = diyelim. 1. 4AC - B 2 > 0 ya da B 2 - 4AC < 0 ise konik elips trndendir. a) = 4AC - B 2 > 0 ve A . < 0 ise ger?el elips , b) > 0 ve A . > 0 ise sanal elips , c) > 0 ve = 0 ise nokta elips ( yozla?m?? elips ) olur. Sisteminin ??zmnden elde edilir. , 2A B B 2C A B/2 D/2 B/2 C E/2 D/2 E/2 F
2. 4AC - B 2 < 0 ya da B 2 - 4AC > 0 ise konik hiperbol trndendir. a) = 4AC - B 2 < 0 ve = 0 ise denklem hiperbol belirtir. b) < 0 ve = 0 ise kesi?en do?ru ?ifti (yozla?m?? hiperbol) belirtir. Genel Konik Denkleminin Parabol Olmas? Durumu = 4AC - B 2 = 0 durumunu g?z ?nne alal?m. i) ise a) D 2 - 4AF > 0 iken parabol bir ?ift paralel do?ru olur. b) D 2 - 4AF = 0 iken parabol ?ak???k iki do?ru olur. c) D 2 - 4AF < 0 ise parabol sanal bir ?ift do?ru g?sterir. i i) ise konik parabol g?sterir. ,
GENEL KON?K DENKLEM?N?N STANDART DURUMA D?N??T?R?LMES? Ax 2 + B.x.y + C.y + D.x +E.y +F = 0 denklemi ile verilen genel koni?in fx = 2Ax + B.y + D = 0 fy = B.x + 2C.y + E = 0 x = x + h ve y = y + k konularak xli ve yli terimler yok edilir.O zaman genel konik denklemi Ax 2 + B.x .y + C.y 2 + F = 0 durumuna girer. x y l terimin yok edilebilmesi i?in eksenlerin d?ndrlmesi yap?l?r.Bunun i?in e?itli?ini ger?ekleyen D d?nme d?n?m ; sisteminin ??zmnden merkez M(h,k) elde edilir. tan2 , x cos -sin x x = x . cos - y . sin y sin cos y y = x . sin + y . cos [ ] = [ ][ ]
konularak uygulan?r.Denklem A 1 x 2 + C 1 y 2 + F = 0 bi?imine gelir. A 1 , C 1 katsay?lar?n? a??s?na gerek kalmadan a?a??daki gibi bulabilirsiniz. 1) A 1 + C 1 = A + C d?r. 2) A 1 - C 1 = d?r.Karek?k ?nndeki i?aret B nin i?areti olarak al?n?r. 3) 4A 1 . C 1 = 4AC - B 2 olur. Bu ? e?itlikten uygun bi?imde olanlar al?narak A 1 ve C 1 katsay?lar? elde edilir. BA?A D?N
??Z?ML? TEST SORULARI 1. y 2 =4x parabol i?in a?a??dakilerden hangisi yanl??t?r? A) Oda??n?n koordinatlar? (1, 0) d?r. B) Do?rultman denklemi x= -1 dir. C) (1, -2) noktas?ndaki te?etin denklemi y = -2x-2 dir. E) Tepesi (0, 0) noktas?d?r. CEVAP
??Z?M: A) y 2 = 2px parabolnde odak ( ,0) d?r. 2p = 4 oldu?undan =1 Odak (1,0) olur. B) Do?rultman denklemi x = - = -1 dir. C) ( x 0 ,y 0 ) noktas?ndaki te?et denklemi y y 0 = p( x + x 0 ) dir. (1, -2) noktas?ndaki te?et ise y.(-2) = 2(x+1) den y = -x-1 olur. ( YANLI?) D) Bir do?rultuya paralel kiri?lerin e?leni?i olan ?ap (k??egen) y = dir. Burada y = 2x do?rusunun e?imi 2 dir. ?yleyse ?ap y = =1 olur. E) Tepesi (k??esi) (0,0) noktas?d?r. YANIT : C
CEVAP 2. + = 1 elipsi i?in a?a??dakilerden hangisi yanl??t?r? A) Odaklar?n koordinatlar? ( 4,0) d?r. B) D?? merkezli?i e = dir. C) Do?rultmanlar?n?n denklemleri y = dir. D) Parametresi 2p = dr. E) Alan? 15 dir.
??Z?M : + = 1 elipsinde m ve n den byk olan? a ve eksen onun zerindekidir. A) + =1 elipsinde a 2 = 25, b 2 = 9 ve a 2 =b 2 + c 2 den c 2 =16, c = 4 bulunur. Odaklar ( 4, 0) olur. B) D??merkezlik e = = dir. C) Asal eksen x ekseni oldu?undan do?rultmanlar x = x = olur. D) Parametresi 2p = 2 oldu?undan 2p = 2. = elde edilir. E) Alan ab dir. A = . 5 . 3 = 15 olur. YANIT : C
CEVAP 3. y = 2px 2 parabollerinden (-1,2) noktas?ndan ge?eni a?a??daki- lerden hangisidir?_ A) y = 8x 2 B) y = 2x 2 C) y = 4x 2 D) y = -4x 2 E) y = -2x 2
??Z?M : Parabol (-1,2) noktas?ndan ge?ece?inden, nokta denklemi sa?lar. 2 = 2p. (-1) 2 p = 1 ve parabol y = 2x 2 olur. YANIT : B
CEVAP 4. y 2 = 4x parabolnn ,zerindeki, (1, -2) noktas?ndan ?izilen te?et denklemi nedir? A) y=x+1 B) y=x-1 C) y=-x-1 D) y=-x+1 E) y=-x+3
??Z?M : y 2 = 2px parabolnn zerindeki noktas?ndan ?izilen te?et denklemi yy 0 = p(x + x 0 ) idi. ?yleyse (1, -2) noktas?ndaki te?et y.(-2) = 2(x +1) ya da y = - x-1 olur. UYARI : (1,-2) noktas?ndaki te?etin e?imi, m = y` (x ) d?r. 2 y . y` = 4 m = = -1 olur. y - (-2) = -1(x-1) den y = -x-1 elde edilir. YANIT : C
CEVAP 5. y = 2x - 1 do?rusunun y = x 2 + kx + k parabolne te?et olmas? i?in k n?n de?erler kmesi ne olmal?d?r? A) ? B) {- 1,2} C) {8} D) {0,8} E) {0,4}
??Z?M : Do?runun parabole te?et olmas? i?in kesim noktalar?n?n bir tane olmas? gerekir. ?yleyse : 2 x - 1 = x 2 + kx + k dan x 2 + (k - 2) x + k + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem kesim noktalar?n?n apsislerini veren denklemdir. ??zm kmesinin bir elemanl? olmas? i?in = 0 olmal?d?r. = (k -2) 2 - 4(k + 1) = k 2 - 8k elde edilir. = 0 i?in k 2 - 8k = 0 k = 0 vk = 8 Demek ki kme {0,8} dir. YANIT : D
CEVAP 6. 4x 2 - 9y 2 = 36 hiperbolne y = mx do?rusuna paralel iki te?et ?izilebilmesi i?in m ne olmal?d?r? A) B) m = 5 C) m = D) m>0 E) m< - v m>
??Z?M : Hiperbole y = mx do?rusuna paralel ?izilebilecek te?etler asimptotlar? ge?ememelidir. ?yleyse, te?etin e?iminin mutlak de?eri asimptotlar?n e?iminden k?k ya da ona e?it olmal?d?r. 4x 2 - 9y 2 =36 ise - =1 ve a 2 =9, b 2 =4 olur. dan elde edilir. YANIT : A
CEVAP 7. y 2 =8x parabolnn 0x ekseni ile 135? lik a?? yapan te?eti- nin denklemi nedir? A) y = C xC2 B) y = C xC1 C) y = Cx + 2 D) y = Cx +1 E) y = x C1
??Z?M : Te?et olacak do?ru y = mx + n olsun. m = tan = tan 135? = C 1 dir. y 2 = 2px parabolne te?et olma ko?ulu ise p C 2mn = 0 idi. 2p = 8 p = 4 dr. 4C 2. (C 1).n = 0 dan n = C 2 elde edilir. ?yleyse te?et denklemi y = C xC 2 dir. YANIT : A
CEVAP 8. 2x 2 + 3y 2 =6 elipsinin d???ndaki P(3, 4) noktas?ndan ?izilen te?etlerinin de?me noktalar?n? birle?tiren kiri?in denklemi nedir? A) x + y =2 B) 2x + y =1 C) x C 2y =1 D) x + 2y =1 E) 2x + 3y =1
??Z?M : + =1 elipsinin d???ndaki P( , ) noktas?ndan ?izilen te?etlerin de?me noktalar?ndan ge?en kiri? denklemi + = 1 dir. Buna g?re: + =1 elipsinde P(3, 4) noktas? i?in kiri? + =1 ya da x+ 2y =1 denklemi olur. YANIT : D
CEVAP 9. y 2 = 5x parabolnn hangi kiri?inin orta noktas? M( , C2) dir? A) x + y = C 3 = 0 B) 5x + 4y C 5 = 0 C) 5x + 4y + 13 = 0 D) 4x + 5y C 13 = 0 E) x + 2y C 5 = 0
??Z?M : E?imi m olan kiri?lerinin orta noktalar?n?n kmesi, y = ?ap?d?r. C 2 = den m = bulunur. ?yleyse kiri? denklemi y C y 0 = m(x C x 0 ) dan y C ( C 2) = C (x C ) ya da 5x + 4y C 5 = 0 elde edilir. YANIT : B
CEVAP 10. x 2 + 8y = 0 parabolnn dik kesi?en te?etlerinin kesim nokta-lar?n?n kmesi a?a??dakilerden hangisidir? A) y = 2 B) x C 2 = 0 C) y + 2 = 0 D) x =1 E) y = 4
??Z?M : Bir parabolde birbirine dik olan te?etlerin geometrik yeri do?rultmand?r. x 2 = C 8y ve 2p = C 8 dir. ?yleyse geometrik yerin denklemi y = C den y = + 2 olur. YANIT : A
CEVAP 11. 4x 2 + 9y 2 C 48x + 72y + 144 = 0 elipsinin merkezi a?a??daki- lerden hangisidir? A) (4, 6) B) (6, 4) C) (3, 4) D) (5, 3) E) (2, 6)
??Z?M : Merkezli koniklerin (elips, hiperbol ) merkezi f x = 0 ve f y = 0 denklemlerinin ortak ??zmnden elde edilir. f x = 8x C 48 = 0 f y = 18y C 72 = 0 sisteminin ??zmnden x = 6, y = 4 elde edilir. UYARI : + = 1 durumuna d?n?trerek de (h,k) merkezini bulabilirsiniz. YANIT : B TEST?N BA?INA D?N
TAMAMLAMALI TEST SORULARI 1. Merkezi elips merkezi ve yar??ap? yar? yedek eksen uzunlu?u olan ?embere .......... ,merkezi elips merkezi ve yar??ap? yar? byk eksen olan ?embere .......... denir .(elipsin yedek ?emberi,elipsin asal ?emberi) 2. Elipsin bir oda?? merkez ve yar??ap? byk eksen uzunlu?u olan ?embere .......... denir .(do?rultma ?emberi) 3. Bir elipsin oda??ndan ge?en en k?sa kiri? .......... kiri?tir. (oda?a dik olarak ?izilen) 4. Bir hiperboln birbirine dik te?etlerinin kesim noktalar?n?n geometrik yeri (monj ?emberinin denklemi) .......... ve odaklar?ndan biri merkez,asal eksen uzunlu?u da yar??ap olan ?embere .......... denir. (x 2 + y 2 = a 2 - b 2 , do?rultman ?emberi ) 5. Bir elipsin yar??ap vekt?rlerinin uzunlu?u .......... ile .......... ve hiperboln yar??ap vekt?rlerinin uzunluklar? .......... d?r. ( ?le ) 6. Bir ikizkenar hiperboln odaklar uzunlu?u trnden denklemi .......... ya da x.y= .......... dr. ( )
7. Bir hiperbolde de?i?ken bir te?etle,asimptotlar?n te?kil etti?i ?genin alan? sabit ve .......... d?r. (a .b ) 8. Bir hiperbolde her te?etin asimptotlar zerinde ay?rd??? par?alar?n ?arp?m? sabit ve .......... d?r. ( c 2 ) 9. Bir parabolde odaktan ge?en kiri?lerin u?lar?ndaki te?etlerin kesim noktalar?n?n geometrik yeri .......... d?r. ( do?rultman ) 10. Elipsin(ya da hiperboln) odaklar?n?n herhangi bir te?etine olan uzakl?klar? ?arp?m? sabit ve ........... d?r. ( b 2 )

More Related Content

Parabol hiperbol elips

  • 1. SEV?M ?ZT?RK 0901010046 PARABOL EL?PS H?PERBOL
  • 2. KON?KLER Tan?m: Sabit bir noktas? F ve sabit bir do?rusu olan bir dzleminin (P) = {P:|PF| = |PH| , , F , P } noktalar?n?n kmesine parabol denir. Burada F odak,O tepe(k??e), do?rultman,2p parametre ve paraboln simetrik oldu?u do?ru da eksen ad?n? al?r.Ekseni X ve Y,k??esi ba?lang?? noktas? olan parabolleri g?ryorsunuz. ,
  • 3. ?telenmi? Parabol Denklemi y = ax 2 + bx 2 + c ise F( , ) ve do?rultman denklemi y = d?r. ,
  • 4. Parabol Ve Do?ru y 2 = 2px parabol ile y = m.x + n do?rusu kesi?ti?inde ( m.x + n ) 2 = 2px denkleminden kesim noktalar?n?n apsisleri bulunur.Burada : p - 2mn < 0 durumunda do?ru parabol kesmez. P - 2mn > 0 durumunda do?ru parabol farkl? 2 noktada keser. P - 2mn = 0 durumunda do?ru parabole te?et olur(de?me ko?ulu). De?me Noktas? ( ) olur. Parabole Bir Noktadan ?izilen Te?et Denklemi Parabol ve (x 0 , y 0 ) noktas? verilsin.Bu noktadaki te?et denklemi : ,
  • 5. y 2 = 2px i?in yy 0 = p( x + x 0 ) x 2 = 2py i?in xx 0 = p( y + y 0 ) d?r. Paraboln K??egeni E?imleri ayn? olan kiri?lerin orta noktalar?n?n kmesine k??egen denir. y 2 = 2px parabolnn e?imi m olan kiri?lerinin orta noktalar?n? kmesi y=p / m olur. y = p / m do?rusu ,e?imi m olan te?etin de?me noktas?ndan ge?er. y = p / m do?rusuna ve e?imi m olan kiri?lere birbirinin e?leni?i denir. EL?PS Tan?m: dzleminin farkl? ve sabit iki noktas? F , F ; de?i?en bir noktas? P ise dzlemin P noktalar?n?n (E) = {P,|PF| + |PF | = 2a , F , F , p , a > c > 0 , |FF | = 2c} kmesine elips denir. ,
  • 6. Burada , F , F odaklar? ; A , A , B , B k??eler ; ve do?rultmanlard?r. |AA | = 2a , |BB | = 2b ve |FF | = 2c olur. a 2 = b 2 + c 2 oldu?unu g?rnz. ,
  • 7. Elips Ve Do?ru elipsi ile y = m.x + n do?rusunun kesi?meleri durumu : a 2 m 2 + b 2 - n 2 > 0 ise iki farkl? noktada kesi?irler. a 2 m 2 + b 2 - n 2 < 0 ise kesi?mezler. a 2 m 2 + b 2 - n 2 = 0 ise bir noktada keser, te?et olur(de?me ko?ulu). De?me noktas? ise d?r. Elipse Bir Noktas?ndan ?izilen Te?et Denklemi Elips merkezinden ge?en kiri?lere elipsin k??egeni denir. ,
  • 8. E?imleri aras?nda m 1 . m 2 = ba??nt?s? bulunan iki k??egene e?lenik k??egenler ad? verilir., y = m.x k??egeninin e?leni?i olur. Elipsin Parametresi Elipsin odaklar?ndan birinden eksene ?izilen dik kiri? uzunlu?una parametre denir. Parametre = 2p = d?r. Elipsin D??merkezli?i Elipste d??merkezlik oran?na verilen add?r. e < 1 d?r. Elipsi Alan? elipsinin alan? ab d?r. ,
  • 9. H?PERBOL Tan?m: dzleminin sabit iki noktas? F , F ve herhangi bir noktas? P ise P noktalar?n?n ; ( H ) = { P : [|PF | - |PF | = 2a , |FF | = 2c , a < c , F , F , F } kmesine hiperbol denir. Burada ; F , F odaklar ; A , A , B , B k??eler ; ve do?rultmanlard?r. a 2 = a 2 + b 2 oldu?unu g?ryorsunuz. ,
  • 10. ?telenmi? Hiperbol Denklemi Hiperbol Ve Do?ru hiperbol ile y = m.x + n do?rusunun kesi?meleri durumu : ,
  • 11. n 2 + b 2 - a 2 m 2 > 0 ise do?ru hiperbol iki noktada keser. n 2 + b 2 - a 2 m 2 <0 ise do?ru hiperbol kesmez. n 2 + b 2 - a 2 m 2 = 0 ise do?ru hiperbole te?et olur (de?me ko?ulu) De?me noktas? da d?r. Hiperbole Bir Noktas?ndan ?izilen Te?et Denklemi Hiperbol ve P ( x 0 , y 0 ) noktas? verilsin.Bu noktadaki te?et denklemi : i?in i?in d?r. ,
  • 12. Hiperboln K??egeni Hiperboln merkezinden ge?en do?rulara k??egen denir.E?imleri aras?nda m 1 .m 2 = ba??nt?s? bulunan y = m.x ve y = . X k??elerine de e?lenik k??egenler ad? verilir. Hiperboln Parametresi Hiperboln bir oda??nda eksene dik olan kiri? uzunlu?una parametre denir. d?r. Hiperboln D??merkezli?i oran?na d??merkezlik denir. e > 1 d?r. ,
  • 13. Hiperboln Asimptotlar? b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 hiperbolnn asimptot denklemleri y = d?r. ?kizkenar Hiperbol a = b olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir.denklemi x 2 - y 2 = a 2 olur. E?lenik Hiperboller Birinin asal k??eleri , di?erinin yedek k??eleri olan hiperbollere e?lenik hiperboller denir. ile e?lenik hiperbol denklemleridir. ,
  • 14. MERKEZL? KON?KLER?N SINIFLANDIRILMASI Tan?m: R 2 uzay?n?n sabit bir do?rusu ile bunun d???nda sabit bir F noktas? verilsin.F noktas?na olan uzakl???n do?rusuna olan uzakl??a oran? sabit olan P ( x , y ) noktalar?n?n kmesine konik denir.Yani , ( K ) = { P : = e ve e > 0 } d?r. Konik ; e < 1 ise elips , e = 1 ise parabol ve e > 1 ise hiperbol olur. Bu koni?in genel denklemi Ax 2 + B.x.y + Cy 2 +D.x + Ey + F = 0 bi?imindedir. ------------ ---------- P ( x , y ) F ( m , n ) H a.x + b.y + c = 0 , |PF | |PH |
  • 15. Koni?in merkezinin koordinatlar? ; f x = 0 2Ax + B.y + D = 0 f y = 0 B.x + 2C.y + E = 0 Sistemin ??zm varsa , denklem , merkezli konik (elips,hiperbol) belirtir. = | | = 4AC - B 2 = 0 ise merkezli konik vard?r. = diyelim. 1. 4AC - B 2 > 0 ya da B 2 - 4AC < 0 ise konik elips trndendir. a) = 4AC - B 2 > 0 ve A . < 0 ise ger?el elips , b) > 0 ve A . > 0 ise sanal elips , c) > 0 ve = 0 ise nokta elips ( yozla?m?? elips ) olur. Sisteminin ??zmnden elde edilir. , 2A B B 2C A B/2 D/2 B/2 C E/2 D/2 E/2 F
  • 16. 2. 4AC - B 2 < 0 ya da B 2 - 4AC > 0 ise konik hiperbol trndendir. a) = 4AC - B 2 < 0 ve = 0 ise denklem hiperbol belirtir. b) < 0 ve = 0 ise kesi?en do?ru ?ifti (yozla?m?? hiperbol) belirtir. Genel Konik Denkleminin Parabol Olmas? Durumu = 4AC - B 2 = 0 durumunu g?z ?nne alal?m. i) ise a) D 2 - 4AF > 0 iken parabol bir ?ift paralel do?ru olur. b) D 2 - 4AF = 0 iken parabol ?ak???k iki do?ru olur. c) D 2 - 4AF < 0 ise parabol sanal bir ?ift do?ru g?sterir. i i) ise konik parabol g?sterir. ,
  • 17. GENEL KON?K DENKLEM?N?N STANDART DURUMA D?N??T?R?LMES? Ax 2 + B.x.y + C.y + D.x +E.y +F = 0 denklemi ile verilen genel koni?in fx = 2Ax + B.y + D = 0 fy = B.x + 2C.y + E = 0 x = x + h ve y = y + k konularak xli ve yli terimler yok edilir.O zaman genel konik denklemi Ax 2 + B.x .y + C.y 2 + F = 0 durumuna girer. x y l terimin yok edilebilmesi i?in eksenlerin d?ndrlmesi yap?l?r.Bunun i?in e?itli?ini ger?ekleyen D d?nme d?n?m ; sisteminin ??zmnden merkez M(h,k) elde edilir. tan2 , x cos -sin x x = x . cos - y . sin y sin cos y y = x . sin + y . cos [ ] = [ ][ ]
  • 18. konularak uygulan?r.Denklem A 1 x 2 + C 1 y 2 + F = 0 bi?imine gelir. A 1 , C 1 katsay?lar?n? a??s?na gerek kalmadan a?a??daki gibi bulabilirsiniz. 1) A 1 + C 1 = A + C d?r. 2) A 1 - C 1 = d?r.Karek?k ?nndeki i?aret B nin i?areti olarak al?n?r. 3) 4A 1 . C 1 = 4AC - B 2 olur. Bu ? e?itlikten uygun bi?imde olanlar al?narak A 1 ve C 1 katsay?lar? elde edilir. BA?A D?N
  • 19. ??Z?ML? TEST SORULARI 1. y 2 =4x parabol i?in a?a??dakilerden hangisi yanl??t?r? A) Oda??n?n koordinatlar? (1, 0) d?r. B) Do?rultman denklemi x= -1 dir. C) (1, -2) noktas?ndaki te?etin denklemi y = -2x-2 dir. E) Tepesi (0, 0) noktas?d?r. CEVAP
  • 20. ??Z?M: A) y 2 = 2px parabolnde odak ( ,0) d?r. 2p = 4 oldu?undan =1 Odak (1,0) olur. B) Do?rultman denklemi x = - = -1 dir. C) ( x 0 ,y 0 ) noktas?ndaki te?et denklemi y y 0 = p( x + x 0 ) dir. (1, -2) noktas?ndaki te?et ise y.(-2) = 2(x+1) den y = -x-1 olur. ( YANLI?) D) Bir do?rultuya paralel kiri?lerin e?leni?i olan ?ap (k??egen) y = dir. Burada y = 2x do?rusunun e?imi 2 dir. ?yleyse ?ap y = =1 olur. E) Tepesi (k??esi) (0,0) noktas?d?r. YANIT : C
  • 21. CEVAP 2. + = 1 elipsi i?in a?a??dakilerden hangisi yanl??t?r? A) Odaklar?n koordinatlar? ( 4,0) d?r. B) D?? merkezli?i e = dir. C) Do?rultmanlar?n?n denklemleri y = dir. D) Parametresi 2p = dr. E) Alan? 15 dir.
  • 22. ??Z?M : + = 1 elipsinde m ve n den byk olan? a ve eksen onun zerindekidir. A) + =1 elipsinde a 2 = 25, b 2 = 9 ve a 2 =b 2 + c 2 den c 2 =16, c = 4 bulunur. Odaklar ( 4, 0) olur. B) D??merkezlik e = = dir. C) Asal eksen x ekseni oldu?undan do?rultmanlar x = x = olur. D) Parametresi 2p = 2 oldu?undan 2p = 2. = elde edilir. E) Alan ab dir. A = . 5 . 3 = 15 olur. YANIT : C
  • 23. CEVAP 3. y = 2px 2 parabollerinden (-1,2) noktas?ndan ge?eni a?a??daki- lerden hangisidir?_ A) y = 8x 2 B) y = 2x 2 C) y = 4x 2 D) y = -4x 2 E) y = -2x 2
  • 24. ??Z?M : Parabol (-1,2) noktas?ndan ge?ece?inden, nokta denklemi sa?lar. 2 = 2p. (-1) 2 p = 1 ve parabol y = 2x 2 olur. YANIT : B
  • 25. CEVAP 4. y 2 = 4x parabolnn ,zerindeki, (1, -2) noktas?ndan ?izilen te?et denklemi nedir? A) y=x+1 B) y=x-1 C) y=-x-1 D) y=-x+1 E) y=-x+3
  • 26. ??Z?M : y 2 = 2px parabolnn zerindeki noktas?ndan ?izilen te?et denklemi yy 0 = p(x + x 0 ) idi. ?yleyse (1, -2) noktas?ndaki te?et y.(-2) = 2(x +1) ya da y = - x-1 olur. UYARI : (1,-2) noktas?ndaki te?etin e?imi, m = y` (x ) d?r. 2 y . y` = 4 m = = -1 olur. y - (-2) = -1(x-1) den y = -x-1 elde edilir. YANIT : C
  • 27. CEVAP 5. y = 2x - 1 do?rusunun y = x 2 + kx + k parabolne te?et olmas? i?in k n?n de?erler kmesi ne olmal?d?r? A) ? B) {- 1,2} C) {8} D) {0,8} E) {0,4}
  • 28. ??Z?M : Do?runun parabole te?et olmas? i?in kesim noktalar?n?n bir tane olmas? gerekir. ?yleyse : 2 x - 1 = x 2 + kx + k dan x 2 + (k - 2) x + k + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem kesim noktalar?n?n apsislerini veren denklemdir. ??zm kmesinin bir elemanl? olmas? i?in = 0 olmal?d?r. = (k -2) 2 - 4(k + 1) = k 2 - 8k elde edilir. = 0 i?in k 2 - 8k = 0 k = 0 vk = 8 Demek ki kme {0,8} dir. YANIT : D
  • 29. CEVAP 6. 4x 2 - 9y 2 = 36 hiperbolne y = mx do?rusuna paralel iki te?et ?izilebilmesi i?in m ne olmal?d?r? A) B) m = 5 C) m = D) m>0 E) m< - v m>
  • 30. ??Z?M : Hiperbole y = mx do?rusuna paralel ?izilebilecek te?etler asimptotlar? ge?ememelidir. ?yleyse, te?etin e?iminin mutlak de?eri asimptotlar?n e?iminden k?k ya da ona e?it olmal?d?r. 4x 2 - 9y 2 =36 ise - =1 ve a 2 =9, b 2 =4 olur. dan elde edilir. YANIT : A
  • 31. CEVAP 7. y 2 =8x parabolnn 0x ekseni ile 135? lik a?? yapan te?eti- nin denklemi nedir? A) y = C xC2 B) y = C xC1 C) y = Cx + 2 D) y = Cx +1 E) y = x C1
  • 32. ??Z?M : Te?et olacak do?ru y = mx + n olsun. m = tan = tan 135? = C 1 dir. y 2 = 2px parabolne te?et olma ko?ulu ise p C 2mn = 0 idi. 2p = 8 p = 4 dr. 4C 2. (C 1).n = 0 dan n = C 2 elde edilir. ?yleyse te?et denklemi y = C xC 2 dir. YANIT : A
  • 33. CEVAP 8. 2x 2 + 3y 2 =6 elipsinin d???ndaki P(3, 4) noktas?ndan ?izilen te?etlerinin de?me noktalar?n? birle?tiren kiri?in denklemi nedir? A) x + y =2 B) 2x + y =1 C) x C 2y =1 D) x + 2y =1 E) 2x + 3y =1
  • 34. ??Z?M : + =1 elipsinin d???ndaki P( , ) noktas?ndan ?izilen te?etlerin de?me noktalar?ndan ge?en kiri? denklemi + = 1 dir. Buna g?re: + =1 elipsinde P(3, 4) noktas? i?in kiri? + =1 ya da x+ 2y =1 denklemi olur. YANIT : D
  • 35. CEVAP 9. y 2 = 5x parabolnn hangi kiri?inin orta noktas? M( , C2) dir? A) x + y = C 3 = 0 B) 5x + 4y C 5 = 0 C) 5x + 4y + 13 = 0 D) 4x + 5y C 13 = 0 E) x + 2y C 5 = 0
  • 36. ??Z?M : E?imi m olan kiri?lerinin orta noktalar?n?n kmesi, y = ?ap?d?r. C 2 = den m = bulunur. ?yleyse kiri? denklemi y C y 0 = m(x C x 0 ) dan y C ( C 2) = C (x C ) ya da 5x + 4y C 5 = 0 elde edilir. YANIT : B
  • 37. CEVAP 10. x 2 + 8y = 0 parabolnn dik kesi?en te?etlerinin kesim nokta-lar?n?n kmesi a?a??dakilerden hangisidir? A) y = 2 B) x C 2 = 0 C) y + 2 = 0 D) x =1 E) y = 4
  • 38. ??Z?M : Bir parabolde birbirine dik olan te?etlerin geometrik yeri do?rultmand?r. x 2 = C 8y ve 2p = C 8 dir. ?yleyse geometrik yerin denklemi y = C den y = + 2 olur. YANIT : A
  • 39. CEVAP 11. 4x 2 + 9y 2 C 48x + 72y + 144 = 0 elipsinin merkezi a?a??daki- lerden hangisidir? A) (4, 6) B) (6, 4) C) (3, 4) D) (5, 3) E) (2, 6)
  • 40. ??Z?M : Merkezli koniklerin (elips, hiperbol ) merkezi f x = 0 ve f y = 0 denklemlerinin ortak ??zmnden elde edilir. f x = 8x C 48 = 0 f y = 18y C 72 = 0 sisteminin ??zmnden x = 6, y = 4 elde edilir. UYARI : + = 1 durumuna d?n?trerek de (h,k) merkezini bulabilirsiniz. YANIT : B TEST?N BA?INA D?N
  • 41. TAMAMLAMALI TEST SORULARI 1. Merkezi elips merkezi ve yar??ap? yar? yedek eksen uzunlu?u olan ?embere .......... ,merkezi elips merkezi ve yar??ap? yar? byk eksen olan ?embere .......... denir .(elipsin yedek ?emberi,elipsin asal ?emberi) 2. Elipsin bir oda?? merkez ve yar??ap? byk eksen uzunlu?u olan ?embere .......... denir .(do?rultma ?emberi) 3. Bir elipsin oda??ndan ge?en en k?sa kiri? .......... kiri?tir. (oda?a dik olarak ?izilen) 4. Bir hiperboln birbirine dik te?etlerinin kesim noktalar?n?n geometrik yeri (monj ?emberinin denklemi) .......... ve odaklar?ndan biri merkez,asal eksen uzunlu?u da yar??ap olan ?embere .......... denir. (x 2 + y 2 = a 2 - b 2 , do?rultman ?emberi ) 5. Bir elipsin yar??ap vekt?rlerinin uzunlu?u .......... ile .......... ve hiperboln yar??ap vekt?rlerinin uzunluklar? .......... d?r. ( ?le ) 6. Bir ikizkenar hiperboln odaklar uzunlu?u trnden denklemi .......... ya da x.y= .......... dr. ( )
  • 42. 7. Bir hiperbolde de?i?ken bir te?etle,asimptotlar?n te?kil etti?i ?genin alan? sabit ve .......... d?r. (a .b ) 8. Bir hiperbolde her te?etin asimptotlar zerinde ay?rd??? par?alar?n ?arp?m? sabit ve .......... d?r. ( c 2 ) 9. Bir parabolde odaktan ge?en kiri?lerin u?lar?ndaki te?etlerin kesim noktalar?n?n geometrik yeri .......... d?r. ( do?rultman ) 10. Elipsin(ya da hiperboln) odaklar?n?n herhangi bir te?etine olan uzakl?klar? ?arp?m? sabit ve ........... d?r. ( b 2 )