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- 3. 足し算?かけ算?ベキ乗 足し算を繰り返すとかけ算が生まれ、 かけ算を繰り返すとベキ乗が生まれた。 10 + 10 = 20 10 × 10 = 10 + 10 + · · · + 10 = 100 1010 = 10 × 10 × · · · × 10 = 100 億 繰り返すことにより、大きな数を作ることが出来る。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 3 / 17
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- 6. ベキ乗の次 定義 1 a ↑↑ b = aa...a (b 個の a) とても簡単な例 3 ↑↑ 2 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 計算の順番は右から 3 ↑↑ 3 = 333 = 327 ?= 273 例 1 3 ↑↑ 2 = 33 = 27, 3 ↑↑ 3 = 333 = 327 = 7625597484987 (７兆６千億ほど), 3 ↑↑ 4 = 3333 = 37625597484987 (３兆桁くらい) sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 4 / 17
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- 8. 3 ↑↑ n で遊んでみる 10 のベキを用いて変形してみる 高校の復習 log10 3 ≒ 0.4771, 3 = 10log10 3 , (10a )b = 10a×b , 10a 10b = 10a+b 3 ↑↑ 3 = 327 ≒ (100.4771 )27 ≒ 1012.88 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 5 / 17
- 9. 3 ↑↑ n で遊んでみる 10 のベキを用いて変形してみる 高校の復習 log10 3 ≒ 0.4771, 3 = 10log10 3 , (10a )b = 10a×b , 10a 10b = 10a+b 3 ↑↑ 3 = 327 ≒ (100.4771 )27 ≒ 1012.88 3 ↑↑ (n + 1) = 33↑↑n に注意すると 3 ↑↑ 4 ≒ 31012.88 ≒ (100.4771 )1012.88 ≒ 1010?0.3214+12.88 ≒ 101012.56 3 ↑↑ 5 ≒ 3101012.56 ≒ 100.4771×101012.56 ≒ 1010?0.3214+1012.56 ≒ 10101012.56 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 5 / 17
- 10. 3 ↑↑ n で遊んでみる 10 のベキを用いて変形してみる 高校の復習 log10 3 ≒ 0.4771, 3 = 10log10 3 , (10a )b = 10a×b , 10a 10b = 10a+b 3 ↑↑ 3 = 327 ≒ (100.4771 )27 ≒ 1012.88 3 ↑↑ (n + 1) = 33↑↑n に注意すると 3 ↑↑ 4 ≒ 31012.88 ≒ (100.4771 )1012.88 ≒ 1010?0.3214+12.88 ≒ 101012.56 3 ↑↑ 5 ≒ 3101012.56 ≒ 100.4771×101012.56 ≒ 1010?0.3214+1012.56 ≒ 10101012.56 最後の式は 3101012.56 ≒ 10101012.56 ←!!! を意味している。N：十分大だと、3N と 10N の差はほとんどない。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 5 / 17
- 11. 2 ↑↑ n でも遊んでみる 10 のベキを用いて変形してみる 高校の復習 log10 2 ≒ 0.3010, 2 = 10log10 2 , (10a )b = 10a×b , 10a 10b = 10a+b 2 ↑↑ 4 = 216 ≒ (100.3010 )16 = 104.816 2 ↑↑ (n + 1) = 22↑↑n に注意すると 2 ↑↑ 5 ≒ 2104.816 ≒ (100.3010 )104.816 ≒ 1010?0.5214+4.816 ≒ 10104.295 2 ↑↑ 6 ≒ 210104.295 ≒ 100.3010×10104.295 ≒ 1010?0.5214+104.295 ≒ 1010104.295 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 6 / 17
- 12. 2 ↑↑ n でも遊んでみる 10 のベキを用いて変形してみる 高校の復習 log10 2 ≒ 0.3010, 2 = 10log10 2 , (10a )b = 10a×b , 10a 10b = 10a+b 2 ↑↑ 4 = 216 ≒ (100.3010 )16 = 104.816 2 ↑↑ (n + 1) = 22↑↑n に注意すると 2 ↑↑ 5 ≒ 2104.816 ≒ (100.3010 )104.816 ≒ 1010?0.5214+4.816 ≒ 10104.295 2 ↑↑ 6 ≒ 210104.295 ≒ 100.3010×10104.295 ≒ 1010?0.5214+104.295 ≒ 1010104.295 命題 1 2 ↑↑ (n + 1) < 3 ↑↑ n < 2 ↑↑ (n + 2) sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 6 / 17
- 13. a ↑↑ b を越えて 定義 2 a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ · · · ↑↑ a b コ これを a ↑3 b と書く 定義 3 a ↑n+1 b = a ↑n a ↑n · · · ↑n a b コ sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 7 / 17
- 14. a ↑↑ b を越えて 定義 2 a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ · · · ↑↑ a b コ これを a ↑3 b と書く 定義 3 a ↑n+1 b = a ↑n a ↑n · · · ↑n a b コ 3 ↑3 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) = 3 ↑↑ 7625597484987, 3 ↑4 3 = 3 ↑3 (3 ↑3 3) = 3 ↑↑ 3 ↑↑ · · · ↑↑ 3 3↑↑7625597484987 コ sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 7 / 17
- 15. グラハム数 G(x) = 3 ↑x 3 とする。 G(4) = 3 ↑↑↑↑ 3, sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 8 / 17
- 16. グラハム数 G(x) = 3 ↑x 3 とする。 G(4) = 3 ↑↑↑↑ 3, G2 (4) = 3 ↑ · · · ↑ G(4) 本 3, sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 8 / 17
- 17. グラハム数 G(x) = 3 ↑x 3 とする。 G(4) = 3 ↑↑↑↑ 3, G2 (4) = 3 ↑ · · · ↑ G(4) 本 3, ... G64 (4) = 3 ↑ · · · ↑ G63(4) 本 3 この G64 (4) がグラハム数と呼ばれる数。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 8 / 17
- 18. グラハム数 G(x) = 3 ↑x 3 とする。 G(4) = 3 ↑↑↑↑ 3, G2 (4) = 3 ↑ · · · ↑ G(4) 本 3, ... G64 (4) = 3 ↑ · · · ↑ G63(4) 本 3 この G64 (4) がグラハム数と呼ばれる数。 上記の定義から分かること…でかい。めちゃくちゃでかい。でも 有限の数。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 8 / 17
- 19. 中級編 ふぃっしゅ数 アッカーマン関数 S 変換 グラハム数との比較 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 9 / 17
- 20. アッカーマン関数 定義 4 アッカーマン関数 A(m, k) を次で定める。 1. A(0, k) = k + 1 2. A(m, 0) = A(m ? 1, 1) m ≥ 1 のとき 3. A(m, k) = A(m ? 1, A(m, k ? 1)) m, k ≥ 1 のとき sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 10 / 17
- 21. アッカーマン関数 定義 4 アッカーマン関数 A(m, k) を次で定める。 1. A(0, k) = k + 1 2. A(m, 0) = A(m ? 1, 1) m ≥ 1 のとき 3. A(m, k) = A(m ? 1, A(m, k ? 1)) m, k ≥ 1 のとき A(1, 0) = A(0, 1) = 2, A(1, 1) = A(0, A(1, 0)) = A(0, 2) = 3, A(1, 2) = A(0, A(1, 1)) = A(0, 3) = 4, A(1, k) = k + 2, sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 10 / 17
- 22. アッカーマン関数 定義 4 アッカーマン関数 A(m, k) を次で定める。 1. A(0, k) = k + 1 2. A(m, 0) = A(m ? 1, 1) m ≥ 1 のとき 3. A(m, k) = A(m ? 1, A(m, k ? 1)) m, k ≥ 1 のとき A(1, 0) = A(0, 1) = 2, A(1, 1) = A(0, A(1, 0)) = A(0, 2) = 3, A(1, 2) = A(0, A(1, 1)) = A(0, 3) = 4, A(1, k) = k + 2, A(2, 1) = A(1, A(2, 0)) = A(1, A(1, 1)) = A(1, 3) = 5, A(2, 2) = A(1, A(2, 1)) = A(1, 5) = 7, A(2, k) = 2k + 3, sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 10 / 17
- 23. アッカーマン関数の計算 確認 アッカーマン関数 A(m, k) の計算ルール 1. A(0, k) = k + 1 2. A(m, 0) = A(m ? 1, 1) m ≥ 1 のとき 3. A(m, k) = A(m ? 1, A(m, k ? 1)) m, k ≥ 1 のとき A(3, 0) = A(2, 1) = 5, A(3, 1) = A(2, A(3, 0)) = A(2, 5) = 13, A(3, 2) = A(2, A(3, 1)) = A(2, 13) = 29, A(3, 3) = A(2, A(3, 2)) = A(2, 29) = 61, A(3, k) > 2k , sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 11 / 17
- 24. アッカーマン関数の計算 確認 アッカーマン関数 A(m, k) の計算ルール 1. A(0, k) = k + 1 2. A(m, 0) = A(m ? 1, 1) m ≥ 1 のとき 3. A(m, k) = A(m ? 1, A(m, k ? 1)) m, k ≥ 1 のとき A(3, 0) = A(2, 1) = 5, A(3, 1) = A(2, A(3, 0)) = A(2, 5) = 13, A(3, 2) = A(2, A(3, 1)) = A(2, 13) = 29, A(3, 3) = A(2, A(3, 2)) = A(2, 29) = 61, A(3, k) > 2k , A(4, 1) = A(3, A(4, 0)) = A(3, A(3, 1)) = A(3, 13) > 213 > 2 ↑↑ 3, A(4, 2) = A(3, A(4, 1)) > A(3, 2 ↑↑ 3) > 2 ↑↑ 4, A(4, k) > 2 ↑↑ (k + 2) > 3 ↑↑ k, sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 11 / 17
- 25. アッカーマン関数からふぃっしゅ数へ 先ほどの計算から A(m, k) > 3 ↑m?2 k アッカーマン関数は任意の ↑n と同等以上の強さをもつ。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 12 / 17
- 26. アッカーマン関数からふぃっしゅ数へ 先ほどの計算から A(m, k) > 3 ↑m?2 k アッカーマン関数は任意の ↑n と同等以上の強さをもつ。 記号の定義 N：自然数全体の集合、F = {f : N → N}：関数全体の集合、 S = {N × F → N × F}：S 変換全体の集合 定義 5 関数 f に対して、2 変数関数 Bf (x, y) を次で定める。 1. Bf (0, y) = f (y) 2. Bf (x, 0) = Bf (x ? 1, 1) x ≥ 1 のとき 3. Bf (x, y) = Bf (x ? 1, Bf (x, y ? 1)) x, y ≥ 1 のとき sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 12 / 17
- 27. ふぃっしゅ数 特別な元 S ? S0 : (n, f ) → (m, g) を次で定める。 g(x) = Bf (x, x), m = g(n) sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 13 / 17
- 28. ふぃっしゅ数 特別な元 S ? S0 : (n, f ) → (m, g) を次で定める。 g(x) = Bf (x, x), m = g(n) 定義 6 SS : N × F × S → N × F × S を SS(n, f , S) = (Sf (n) (n, f ), Sf (n) ) で定める。 f0(x) = x + 1 として、ふぃっしゅ数を SS63 (3, f0, S0) と定める。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 13 / 17
- 29. グラハム数と比較する まず SS(3, f0, S0) を計算してみる。 SS(3, f0, S0) = (S f0(3) 0 (3, f0), S f0(3) 0 ) = (S4 0 (3, f0), S4 0 ) sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 14 / 17
- 30. グラハム数と比較する まず SS(3, f0, S0) を計算してみる。 SS(3, f0, S0) = (S f0(3) 0 (3, f0), S f0(3) 0 ) = (S4 0 (3, f0), S4 0 ) この１回目の S0 変換を計算する。 Bf0 = A (アッカーマン関数) に注意すると、 S0(3, f0) = (A(3, 3), f1) = (61, f1) ここで f1(x) = A(x, x). sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 14 / 17
- 31. グラハム数と比較する まず SS(3, f0, S0) を計算してみる。 SS(3, f0, S0) = (S f0(3) 0 (3, f0), S f0(3) 0 ) = (S4 0 (3, f0), S4 0 ) この１回目の S0 変換を計算する。 Bf0 = A (アッカーマン関数) に注意すると、 S0(3, f0) = (A(3, 3), f1) = (61, f1) ここで f1(x) = A(x, x). ２回目 S0(61, f1) = (Bf1 (61, 61), f2) ここで f2(x) = Bf1 (x, x) f2(1) = Bf1 (1, 1) = Bf1 (0, Bf1 (1, 0)) = Bf1 (0, Bf1 (0, 1)) = f1(f1(1)) = A(A(1, 1), A(1, 1)) = A(3, 3) = 61 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 14 / 17
- 32. グラハム数と比較する まず SS(3, f0, S0) を計算してみる。 SS(3, f0, S0) = (S f0(3) 0 (3, f0), S f0(3) 0 ) = (S4 0 (3, f0), S4 0 ) この１回目の S0 変換を計算する。 Bf0 = A (アッカーマン関数) に注意すると、 S0(3, f0) = (A(3, 3), f1) = (61, f1) ここで f1(x) = A(x, x). ２回目 S0(61, f1) = (Bf1 (61, 61), f2) ここで f2(x) = Bf1 (x, x) f2(1) = Bf1 (1, 1) = Bf1 (0, Bf1 (1, 0)) = Bf1 (0, Bf1 (0, 1)) = f1(f1(1)) = A(A(1, 1), A(1, 1)) = A(3, 3) = 61 次に f2(2) を計算する。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 14 / 17
- 33. 戦闘力、たったのグラハム数か f2(2) = Bf1 (2, 2) = Bf1 (1, Bf1 (2, 1)) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (2, 0))) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (1, 1))) = Bf1 (1, Bf1 (1, 61)) sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 15 / 17
- 34. 戦闘力、たったのグラハム数か f2(2) = Bf1 (2, 2) = Bf1 (1, Bf1 (2, 1)) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (2, 0))) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (1, 1))) = Bf1 (1, Bf1 (1, 61)) Bf1 (1, 2) = Bf1 (0, Bf1 (1, 1)) = A(61, 61) > 3 ↑59 61 > 3 ↑4 3 = G(4) Bf1 (1, 3) = Bf1 (0, Bf1 (1, 2)) = A(A(61, 61), A(61, 61)) > A(G(4) + 2, 3) > 3 ↑G(4) 3 = G2 (4) sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 15 / 17
- 35. 戦闘力、たったのグラハム数か f2(2) = Bf1 (2, 2) = Bf1 (1, Bf1 (2, 1)) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (2, 0))) = Bf1 (1, Bf1 (1, Bf1 (1, 1))) = Bf1 (1, Bf1 (1, 61)) Bf1 (1, 2) = Bf1 (0, Bf1 (1, 1)) = A(61, 61) > 3 ↑59 61 > 3 ↑4 3 = G(4) Bf1 (1, 3) = Bf1 (0, Bf1 (1, 2)) = A(A(61, 61), A(61, 61)) > A(G(4) + 2, 3) > 3 ↑G(4) 3 = G2 (4) 命題 2 Bf1 (1, n + 1) > Gn (4) そして当然 Bf1 (1, 61) ? 64 + 1 ゆえに f2(2) ? G64 (4) = グラハム数 S0 変換の２回目で f2(61) ? f2(2) ? グラハム数 を得た。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 15 / 17
- 36. 君がッ 泣くまで 繰り返すのをやめないッ！ S0 変換をさらに２回して、ようやく１回目の SS 変換が終わる。 その後、さらに SS 変換を 62 回施して得られる数がふぃっしゅ数。 ちなみに２回目の SS 変換は S0 変換を（正確には S4 0 を）グラハ ム数よりはるかに大きい回数繰り返すというもの。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 16 / 17
- 37. 上級編 ふぃっしゅ数 ver.3 順序数 急成長階層 関数の入れ子とその階層 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 17 / 17
- 38. 上級編 ふぃっしゅ数 ver.3 順序数 急成長階層 関数の入れ子とその階層 ということについて発表を行いましたが、上級編については不出 来だったのと、ふぃっしゅ数 ? グラハム数を示すことがハイライ トだったのでこの版では省略しています。 sappy とにかく大きい数を考える 2014 年 9 月 14 日 17 / 17