Relasi dan fungsi memberikan konsep penting dalam matematika untuk menghubungkan dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen di himpunan asal dihubungkan dengan tepat satu elemen di himpunan hasil."
Dalam kehidupan sehari-hari , kita pasti pernah mendengar istilah relasi .Secara umum , relasi berarti hubungan .Di dalam matematika relasi artinya suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B .Sedangkan fungsi merupakan relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat ke satu anggota ,satu himpunan lainnya
Dokumen tersebut merupakan lembar soal ujian sekolah mata pelajaran matematika untuk siswa SMP Kabupaten Purbalingga tahun pelajaran 2011/2012 yang berisi petunjuk pengerjaan soal, 40 soal pilihan ganda, dan ilustrasi gambar untuk beberapa soal.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep maksimum dan minimum dalam kalkulus. Terdapat penjelasan tentang titik kritis seperti titik ujung, titik stasioner, dan titik singular yang dapat menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Juga dijelaskan prosedur untuk menemukan nilai ekstrim suatu fungsi melalui penentuan titik-titik kritisnya. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk memperjelas konsep tersebut.
Materi ini membahas tentang induksi matematika dan rekursi yang digunakan untuk membuktikan obyek-obyek diskrit. Terdapat penjelasan mengenai definisi barisan secara rekursif, barisan Fibonacci, penyelesaian relasi rekursi linier dan non linier, serta contoh soal pembuktian menggunakan induksi matematika.
1. Ring faktor adalah ring yang terbentuk dari ideal suatu ring R, ditandai R/S. Operasinya mempertahankan struktur ring asli.
2. Homomorfisma ring adalah pemetaan yang melestarikan operasi penjumlahan dan perkalian ring. Contohnya pemetaan identitas antara bilangan bulat dan riil.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
Dokumen ini membahas tentang turunan tingkat tinggi dari suatu fungsi, gerak partikel, dan soal latihan yang terkait. Turunan tingkat tinggi didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk turunan sebelumnya. Kecepatan dan percepatan partikel ditentukan dari turunan pertama dan kedua dari fungsi lintasan. Soal latihan berisi penentuan turunan kedua, nilai variabel untuk percepatan nol, dan kecepatan partikel.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang beberapa konsep dasar matematika seperti proyeksi garis pada bidang, jarak antara titik dan garis/bidang, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang. Konsep-konsep tersebut dijelaskan beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen ini membahas tentang fungsi implisit, cara menentukan turunan fungsi implisit, dan contoh soal latihan menentukan turunan pertama dan persamaan garis singgung dari fungsi-fungsi implisit.
Dokumen tersebut membahas tentang turunan dan diferensial, termasuk definisi, contoh penerapan, rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, serta soal-soal latihan.
Materi ini membahas tentang induksi matematika dan rekursi yang digunakan untuk membuktikan obyek-obyek diskrit. Terdapat penjelasan mengenai definisi barisan secara rekursif, barisan Fibonacci, penyelesaian relasi rekursi linier dan non linier, serta contoh soal pembuktian menggunakan induksi matematika.
1. Ring faktor adalah ring yang terbentuk dari ideal suatu ring R, ditandai R/S. Operasinya mempertahankan struktur ring asli.
2. Homomorfisma ring adalah pemetaan yang melestarikan operasi penjumlahan dan perkalian ring. Contohnya pemetaan identitas antara bilangan bulat dan riil.
Modul ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi aritmatik matriks seperti penjumlahan, perkalian, transpose, dan matriks khusus seperti matriks diagonal, identitas, simetris dan lainnya. Terdapat contoh-contoh soal untuk memperjelas penjelasan.
Dokumen ini membahas tentang turunan tingkat tinggi dari suatu fungsi, gerak partikel, dan soal latihan yang terkait. Turunan tingkat tinggi didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk turunan sebelumnya. Kecepatan dan percepatan partikel ditentukan dari turunan pertama dan kedua dari fungsi lintasan. Soal latihan berisi penentuan turunan kedua, nilai variabel untuk percepatan nol, dan kecepatan partikel.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang beberapa konsep dasar matematika seperti proyeksi garis pada bidang, jarak antara titik dan garis/bidang, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang. Konsep-konsep tersebut dijelaskan beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen ini membahas tentang fungsi implisit, cara menentukan turunan fungsi implisit, dan contoh soal latihan menentukan turunan pertama dan persamaan garis singgung dari fungsi-fungsi implisit.
Dokumen tersebut membahas tentang turunan dan diferensial, termasuk definisi, contoh penerapan, rumus turunan fungsi aljabar dan trigonometri, serta soal-soal latihan.
Modul ini membahas tentang bilangan aljabar, terutama operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bentuk aljabar. Materi ini menjelaskan cara menentukan hasil dari operasi-operasi tersebut dengan memperhatikan faktor sekutu pada suku-suku aljabar. Modul ini juga berisi contoh soal untuk mempraktikkan pemahaman tentang operasi-operasi pada bentuk aljabar.
Dokumen tersebut membahas tentang pangkat rasional, bentuk akar, dan persamaan bentuk pangkat. Pertama, dijelaskan definisi dan sifat-sifat operasi pangkat seperti pangkat bulat positif, negatif, dan nol. Kedua, dijelaskan definisi dan operasi aljabar bentuk akar. Ketiga, diberikan contoh-contoh soal dan penyelesaian persamaan yang melibatkan bentuk pangkat dan akar.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang operasi-operasi aljabar seperti perkalian dan pembagian suku-suku polinomial. Termasuk contoh-contoh perkalian suku banyak dengan konstanta, suku satu, dan suku banyak lainnya. Juga dijelaskan cara membentuk (a + b)kuadrat dan (a - b)kuadrat serta contoh penerapannya. Di akhir ada penjelasan singkat tentang pembagian bentuk aljabar.
[Ringkasan]
1. Dokumen membahas tentang rumus-rumus matematika kelas 9 dan konsep kesebangunan dan kongruensi bangun datar.
2. Kesebangunan terjadi jika panjang sisi dan besar sudut yang sesuai sama, sedangkan kongruen terjadi jika bentuk dan ukuran bangun sama.
3. Diberikan contoh soal tentang kesebangunan persegi panjang dan penentuan panjang sisi segitiga.
Dokumen tersebut membahas operasi-operasi dasar aljabar seperti perkalian, pembagian, dan pemangkatan bilangan bulat dan bentuk aljabar. Terdapat aturan-aturan sifat distributif perkalian, pembagian bilangan yang memiliki faktor yang sama, dan rumus umum pemangkatan bilangan dan bentuk aljabar.
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan bulat, operasi hitung bilangan bulat seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian serta sifat-sifatnya. Dibahas pula konsep kuadrat, pangkat tiga, akar kuadrat, dan akar pangkat tiga pada bilangan bulat beserta contoh soalnya.
Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarMuhamadGhofar2
油
Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabar Faktorisasi suku aljabarFaktorisasi suku aljabar Faktorisasi suk
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Relasi adalah hubungan antar unsur-unsur himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap unsur himpunan A dikaitkan dengan tepat satu unsur himpunan B. Dokumen ini menjelaskan berbagai jenis relasi seperti relasi ekivalen, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta sifat-sif
Dokumen tersebut membahas tentang relasi matematika antara dua himpunan, termasuk definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta operasi-operasi pada relasi seperti komposisi, persilangan, dan penyatuan relasi.
Dokumen tersebut membahas soal kombinatorika tentang penentuan jumlah nomor telepon yang mungkin dibentuk dari beberapa digit dengan berbagai kriteria seperti digit yang dapat diulang, tidak boleh diulang, nomor harus genap atau ganjil, beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang berbagai topik terkait pendidikan, mulai dari masalah belajar mahasiswa dan cara mengatasinya, faktor-faktor keberhasilan kuliah pascasarjana, berbagai metode pendidikan termasuk metode pendidikan hati. Dokumen ini memberikan penjelasan mendetail tentang berbagai aspek pendidikan.
Menuju kepemimpinan Ideologis (Qiyadah Fikriyah) Islamsiska sri asali
油
Struktur mabda' membahas tujuh pokok bahasan utama yaitu: (1) sistem aturan agama berdasarkan akal, (2) dunia untuk beribadah kepada Allah, (3) ada kehidupan setelah mati, (4) sebelum dunia ada pencipta, (5) hubungan antara dunia, sebelum dan sesudahnya, (6) penciptaan dan perintah/larangan Allah, (7) hisab di akhirat.
Dokumen ini memberikan informasi tentang pentingnya mengingat kematian dan akhirat, merasa diawasi oleh Allah, melakukan intropeksi diri, serta memperbanyak amal kebaikan.
Tiga kalimat ringkasan dokumen:
1. Dokumen membahas asal usul Al-Quran dan membantah klaim bahwa Al-Quran adalah buatan manusia atau Nabi Muhammad.
2. Diberikan bukti bahwa bahasa Al-Quran sangat berbeda dari bahasa Arab pada umumnya dan tantangan untuk menciptakan kitab serupa gagal.
3. Hanya kemungkinan yang masuk akal bahwa Al-Quran berasal dari wahyu Allah.
Himpunan, Relasi & Fungsi, dan Logika Matematikasiska sri asali
油
1. Dokumen menjelaskan tentang definisi dan macam-macam himpunan serta operasi-operasi yang dapat dilakukan pada himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan lainnya.
2. Terdapat beberapa cara untuk menyatakan suatu himpunan yaitu dengan kata-kata, notasi pembentuk himpunan, mendaftar anggotanya, dan enumerasi.
3. Ada beberapa jenis himpunan seperti himpun
Implikasi dari Persamaan Cauchy-Riemann
Jika persamaan Cauchy-Riemann berlaku, maka fungsi memiliki turunan kompleks di seluruh daerah tersebut.
Fungsi holomorf otomatis analitik, yang berarti dapat dikembangkan dalam deret Taylor di sekitar titik mana pun dalam domainnya.
Fungsi holomorf memiliki sifat konformal, yang berarti mempertahankan sudut antara kurva yang berpotongan.
Distribusi probabilitas diskrit menggambarkan variabel acak yang hanya dapat mengambil nilai tertentu, biasanya bilangan bulat, dengan setiap nilai memiliki probabilitas yang terukur. Fungsi distribusi probabilitas (Probability Mass Function, PMF) memberikan probabilitas bahwa variabel acak
X sama dengan nilai tertentu
x, dan memenuhi syarat bahwa jumlah seluruh probabilitas adalah satu. Contoh umum dari distribusi probabilitas diskrit termasuk distribusi binomial, yang menggambarkan jumlah sukses dalam
n percobaan independen; distribusi Poisson, yang menggambarkan jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu; dan distribusi geometrik, yang menggambarkan jumlah percobaan hingga sukses pertama. Karakteristik penting dari distribusi ini meliputi rata-rata (mean) dan varians, yang masing-masing dapat dihitung menggunakan rumus tertentu. Distribusi probabilitas diskrit memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, termasuk statistik, ilmu komputer, ekonomi, dan rekayasa, sehingga menjadi alat penting untuk analisis data yang bersifat diskrit.
9. 3a=3xa
Faktor huruf/ alfabetik (variabel)
Faktor angka/ numerik (koefisien)
3p2q= 3xpxpxq q (faktor huruf)
p2 (faktor huruf)
3 (faktor angka)
Faktor 3p2q adalah 3, p2, dan q.
Pada p2 bilangan 2 disebut pangkat (eksponen).
BACK NEXT
10. Bentuk aljabar 4x+3a+6x suku
sukunya 4x, 3a, dan 6x.
Suku-suku 4x dan 6x memuat variabel
yang sama, yaitu x.(suku-suku sejenis).
Suku-suku 4x dan 3a (suku-suku tidak
sejenis)
BACK NEXT
12. BACK NEXT
CONTOH
KPK: hasil perkalian dari faktor
yang berbeda dan berpangkat
tertinggi.
FPB: hasil perkalian dari faktor
yang sama dan berpangkat
terendah.
13. BACK NEXT
Contoh:
Jawab:
8x = 23 . x
36x2 = 22 . 32 . x2
KPK 8x dan 36x2 = 23 . 32 . x2 =72x2
FPB 8x dan 36x2 = 22 . x = 4x
8x dan 36x2
14. A.Sifat Dasar
Aritmatika yang
Berlaku pada
Aljabar
B.Perkalian
Konstanta dengan
Bentuk Aljabar
Bersuku Dua
C.Perkalian dan
Pembagiaan
Antarbentuk
Aljabar
BACK NEXT
15. BACK NEXT
CONTOH
SIFAT KOMUTATIF
Contoh Bentuk Aljabar
3 + 5 = 5 + 3 a + b = b + a
3 5 = 5 3 a b = b a
3 5 5 3 a - b b a
3 : 5 5 : 3 a/b b/a
SIFAT ASOSIATIF
Contoh Bentuk Aljabar
(3+5)+2 = 3 +(5+2) (a+b)+c = a+(b+c)
(3x5)x2 = 3 x (5x2) (a b) c = a (bc)
(3-5) - 2 3 - (5-2) (a-b) - c a - (b-c)
(3:5) : 2 = 3 : (5:2) a / b : c = a : b / c
SIFAT DISTRIBUTIF
Contoh Bentuk Aljabar
3 x (5+2) = 3x5 + 3x2 a(b+c) = ab + ac
(3+5) x 2 = 3x2 + 5x2 (a+b)c = ac + bc
3 x (5-2) = 3x5 - 3x2 a(b-c) = ab ac
(3-5) x 2 = 3x2 - 5x2 (a-b)c = ac bc
16. Hitunglah:
a. -7(a b) = -7a + 7b
b. -k(2k - 3l + 7m) = -2k2 + 3kl -7km
c. 6(a + 3) = 6a + 18
BACK NEXT
17. Hitunglah:
a. 5x+2x
b. b2+2ab-3b2+5ab
Jawab :
a. 5x + 2x = (5 + 2)x (sifat distributif)
= 7x
b. b2+2ab- 3b2+5ab
=(b2-3b2)+(2ab+5ab) (sifat komutatif)
=(1-3)b2+(2+5)ab (sifat distributif)
= -2b2 + 7ab
BACK NEXT
18. Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana !
a. -4c x 2a x 3b
b. 8a3b2 : 4
Jawab :
a. -4c x 2a x 3b = -4 x 2 x 3 x a x b x c
= -24 x abc
= -24abc
b. 8a3b2 : 4 = 8a3b2
4
= 2a3b2
NEXTBACK
19. 1. 2ab(-3bc) =.
a. 5ab2c c. -6ab2c
b. -5ab2c d. 6a2b2c
2. 6mn2 x 5m3n4 =.
a. -30m3n2 c. -30mn3
b. 30m4n6 d. 30m2n6
3. -26a2b3 : -13ab =.
a. 2ab2 c. -2ab2
b. 3ab2 d. 4a2b3
4. [24a2b3(c-d)3] : [-6ab(d-c)2]=...
a. 4a2b(c-d) c. -3ab(d-c)
b. -4ab2(c-d) d. 4a2(d-c)
5. 4(2m-3n) + (3m-4n) =.
a. 10m13m
c. 12m+16n
b. 11m16n
d. 11m+14n
BACK NEXT
20. 1. 2ab (-3bc)
= 2 x (-3) x a x b x b x c
=-6 x a x b2 x c
= -6ab2c
BACK NEXT
21. 2. 6mm2 x 5m3n4
= 6 x 5 x m1 x m3 x n2 x n4
= 30 x m1+3 x n2+4
= 30m4n6
BACK NEXT
22. 3. -26a2b3 : -13 ab =.
= -26a2b3
-13ab
= -26 X a2 X b3
-13 a b
= (2) X a X b2
= 2ab 2
BACK NEXT
23. 4. [24a2b3(c-d)3] : [-6ab(d-c)2]
= 24a2b3 (c-d)3
-6 ab (d-c)2
= 24 x a2 x b3 x (c-d)3
-6 a b [-(d-c)]2
= -4 x a x b2 x (c-d)
= -4ab2 (c-d)
BACK NEXT