ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Matka peruslaskutoimituksista lääketieteelliseen kuvantamiseen

•
•
O
OuLUMA

Sari Lasasen luento Tiedekeskus Tietomaassa 22.9.2012

1 of 48
Download to read offline
a M at ikkama MATKA PERUSLASKUTOIMITUKSISTA LÄÄKETIETEELLISEEN KUVANTAMISEEN La Sari Lasanen s lan ku- 22.9. 2012 dia Tietomaa, Oulu
MITÄ YHTEISTÄ ON... ... tietokonetomografia- kuvauksella... ja ...yhteenlaskulla ... ?
MITÄ YHTEISTÄ ON... + + ... tietokonetomografia- kuvauksella... + ja + ...yhteenlaskulla ... ?
MATKAKARTTA 1. Tomografiakuvauslaite 2. Tomografiakuva vs. röntgenkuva 3. Röntgensäteet 4. Tomografia (ja yhteenlasku) 5. Suurten yhtälöryhmien ratkaiseminen
TIETOKONETOMOGRAFIA- KUVAUSLAITE •Ottaa röntgenkuvia useasta eri suunnasta. •Muodostaa ns. viipalekuvia. •Viipalekuvista nähdään 3-ulotteinen rakenne.
VIIPALEKUVA •Röntgensäteitä lähetetään kappaleen läpi samassa tasossa.
VIIPALEKUVA •Röntgensäteitä lähetetään kappaleen läpi samassa tasossa.
VIIPALEKUVA •Röntgensäteitä lähetetään kappaleen läpi samassa tasossa.
VIIPALEKUVA •Röntgensäteitä lähetetään kappaleen läpi samassa tasossa.
RÖNTGENKUVA VS. VIIPALEKUVA •Röntgenkuva eli läpivalaisukuva on 2-ulotteinen : sisäosien rakenteet kerrostuvat päällekkäin. Röntgenkuva ei sisällä tietoa syvyydestä. • Viipalekuvat kertovat 3-ulotteisen rakenteen.
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. (25%)
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. (25%)
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta.
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. (25%)
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. I
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. 50 100 I
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) I 50 2
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) I 75 50 2 100
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 2 50 2
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 3 50 2
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 4 50 2
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 4 50 3
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 4 50 4
ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. 75 4 50 4 log(I) 4 log( 75 ) 100 4 log 100 50 = log( 100 100 I)
ÖճҷÄշ (50%) (75%) Vaimennuskerroin eli (25%) massa-absorptiokerroin 75 4 50 4 log(I) 4 log( 75 ) 100 4 log 100 50 = log( 100 100 I)
ÖճҷÄշ (50%) (75%) Röngensäteen kulkema matka (25%) aineessa 75 4 50 4 log(I) 4 log( 75 ) 100 4 log 100 50 = log( 100 100 I)
TOMOGRAFIA •Homogeenisessa eli tasarakenteisessa aineessa röntgensäteilyn voimakkuus vähenee logaritmisella asteikolla mitattessa kaavalla muutos = matka x vaimennuskerroin Esimerkki 1: 1 1 muutos = 1 · 2 Vaimennuskerroin=2
TOMOGRAFIA •Homogeenisessa eli tasarakenteisessa aineessa röntgensäteilyn voimakkuus vähenee logaritmisella asteikolla mitattessa kaavalla muutos = matka x vaimennuskerroin Esimerkki 2: 1 p p 1 muutos = 12 + 12 · 2 = 2 2 Vaimennuskerroin=2
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 5
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 3
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 5 3
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3 C D 3
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3 C D •Toinen mittaus: B+D=1 3 1
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3 2 C D •Toinen mittaus: B+D=1 •Kolmas mittaus: D+C=2 3 1
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3 2 C D •Toinen mittaus: B+D=1 •Kolmas mittaus: D+C=2 3 1 •Neljäs mittaus: 2 A= 2
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B A+C=3 2 C D B+D=1 D+C=2 3 1 A= 1
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B 1+C=3 eli C=2 2 C D B+D=1 D+C=2 3 1 A= 1
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B C=2 2 C D B+D=1 D+2=2 eli D=0 3 1 A= 1
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B C= 2 2 C D B+D =1 eli B=1 D= 0 3 1 A= 1
TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B C= 2 2 C D B=1 D= 0 3 1 A= 1
TOMOGRAFIA Millainen yhtälöryhmä syntyy, jos mittauksia tehdään 50 pisteen välillä? Mittauksia on silloin 1225. Tuntemattomia on yhtä monta kuin ruutuja kuvassa
TOMOGRAFIA •Merkitään ruudun j vaimen- nuskerrointa symbolilla xj •Merkitään röntgensäteen i ruudussa j kulkemaa matkaa symbolilla dij •Merkitään intensiteetin muutosta symbolilla yi 8 >y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn > > > <y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn >.. . . >. > . > : ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn
SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISEMINEN •Miten on mahdollista ratkaista todella suuria yhtälöryhmiä? 8 >y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn > > > <y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn >.. . . >. > . > : ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn
SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISEMINEN •Carl Friedrich Gauss kehitti jo 1800-luvun alussa ns. eliminointimenetelmän, joka perustuu matriisin määritelmään. 8 >y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn > > > <y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn >.. . . >. > . > : ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn
SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISEMINEN •Carl Friedrich Gauss kehitti jo 1800-luvun alussa ns. eliminointimenetelmän, joka perustuu matriisin määritelmään. 0 1 0 10 1 y1 d11 d12 ... d1n x1 B y2 C B d21 d22 ... d2n C B x2 C B C B CB C B . C=B . . . CB . C @ . A @ . . . . . ... . A@ . A . . ym dm1 d12 ... dmn xn •Erillisten yhtälöiden sijaan käsitellään matriisia.
SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISEMINEN •Matematiikan haara, joka tutkii matriisi- laskennan lainalaisuuksia on nimeltään lineaarialgebra. •Linearialgebra kertoo esim. milloin matriisit voidaan kertoa keskenään ja milloin matriisin voi jakaa toisella matriisilla. •Tietokonetomografiassa hyödennetään suurten matriisien jakamiseen kehitettyjä työkaluja.
ERITYISONGELMAT •Matriisiyhtälön ratkaisu on herkkä mittaus- tulosten häiriöille ja puutteille: ‣ Potilas liikkuu kuvauksen aikana ‣ Mittauslaitteen tarkkuus on rajattu ‣ Mittauksia ei välttämättä ole saatavilla kaikista suunnista

More Related Content

Matka peruslaskutoimituksista lääketieteelliseen kuvantamiseen

  • 1. a M at ikkama MATKA PERUSLASKUTOIMITUKSISTA LÄÄKETIETEELLISEEN KUVANTAMISEEN La Sari Lasanen s lan ku- 22.9. 2012 dia Tietomaa, Oulu
  • 2. MITÄ YHTEISTÄ ON... ... tietokonetomografia- kuvauksella... ja ...yhteenlaskulla ... ?
  • 3. MITÄ YHTEISTÄ ON... + + ... tietokonetomografia- kuvauksella... + ja + ...yhteenlaskulla ... ?
  • 4. MATKAKARTTA 1. Tomografiakuvauslaite 2. Tomografiakuva vs. röntgenkuva 3. Röntgensäteet 4. Tomografia (ja yhteenlasku) 5. Suurten yhtälöryhmien ratkaiseminen
  • 5. TIETOKONETOMOGRAFIA- KUVAUSLAITE •Ottaa röntgenkuvia useasta eri suunnasta. •Muodostaa ns. viipalekuvia. •Viipalekuvista nähdään 3-ulotteinen rakenne.
  • 6. VIIPALEKUVA •Röntgensäteitä lähetetään kappaleen läpi samassa tasossa.
  • 7. VIIPALEKUVA •Röntgensäteitä lähetetään kappaleen läpi samassa tasossa.
  • 8. VIIPALEKUVA •Röntgensäteitä lähetetään kappaleen läpi samassa tasossa.
  • 9. VIIPALEKUVA •Röntgensäteitä lähetetään kappaleen läpi samassa tasossa.
  • 10. RÖNTGENKUVA VS. VIIPALEKUVA •Röntgenkuva eli läpivalaisukuva on 2-ulotteinen : sisäosien rakenteet kerrostuvat päällekkäin. Röntgenkuva ei sisällä tietoa syvyydestä. • Viipalekuvat kertovat 3-ulotteisen rakenteen.
  • 11. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. (25%)
  • 12. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. (25%)
  • 13. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta.
  • 14. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. (25%)
  • 15. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. I
  • 16. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. 50 100 I
  • 17. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) I 50 2
  • 18. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) I 75 50 2 100
  • 19. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 2 50 2
  • 20. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 3 50 2
  • 21. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 4 50 2
  • 22. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 4 50 3
  • 23. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. ( 100 ) ( 100 ) I 75 4 50 4
  • 24. ÖճҷÄշ • Röngensäteily vaimenee (50%) kulkiessaan kohteen läpi •Erilaiset aineet (75%) vaimentavat röntgen- säteilyä eri määrillä. •Vaimeneminen riippuu (25%) myös säteen kulkemasta matkasta. 75 4 50 4 log(I) 4 log( 75 ) 100 4 log 100 50 = log( 100 100 I)
  • 25. ÖճҷÄշ (50%) (75%) Vaimennuskerroin eli (25%) massa-absorptiokerroin 75 4 50 4 log(I) 4 log( 75 ) 100 4 log 100 50 = log( 100 100 I)
  • 26. ÖճҷÄշ (50%) (75%) Röngensäteen kulkema matka (25%) aineessa 75 4 50 4 log(I) 4 log( 75 ) 100 4 log 100 50 = log( 100 100 I)
  • 27. TOMOGRAFIA •Homogeenisessa eli tasarakenteisessa aineessa röntgensäteilyn voimakkuus vähenee logaritmisella asteikolla mitattessa kaavalla muutos = matka x vaimennuskerroin Esimerkki 1: 1 1 muutos = 1 · 2 Vaimennuskerroin=2
  • 28. TOMOGRAFIA •Homogeenisessa eli tasarakenteisessa aineessa röntgensäteilyn voimakkuus vähenee logaritmisella asteikolla mitattessa kaavalla muutos = matka x vaimennuskerroin Esimerkki 2: 1 p p 1 muutos = 12 + 12 · 2 = 2 2 Vaimennuskerroin=2
  • 29. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 5
  • 30. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 3
  • 31. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 5 3
  • 32. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3
  • 33. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3 C D 3
  • 34. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3 C D •Toinen mittaus: B+D=1 3 1
  • 35. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3 2 C D •Toinen mittaus: B+D=1 •Kolmas mittaus: D+C=2 3 1
  • 36. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B •Ensimmäinen mittaus: A+C=3 2 C D •Toinen mittaus: B+D=1 •Kolmas mittaus: D+C=2 3 1 •Neljäs mittaus: 2 A= 2
  • 37. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B A+C=3 2 C D B+D=1 D+C=2 3 1 A= 1
  • 38. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B 1+C=3 eli C=2 2 C D B+D=1 D+C=2 3 1 A= 1
  • 39. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B C=2 2 C D B+D=1 D+2=2 eli D=0 3 1 A= 1
  • 40. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B C= 2 2 C D B+D =1 eli B=1 D= 0 3 1 A= 1
  • 41. TOMOGRAFIA 1 •Ensimmäinen mittaus: 2+3=5 2 3 •Toinen mittaus: 1+2=3 3 5 •Kolmas mittaus: 2+3=5 •Neljäs mittaus: 1+2=3 5 3 •Mitä ovat A,B,C ja D? 2 A B C= 2 2 C D B=1 D= 0 3 1 A= 1
  • 42. TOMOGRAFIA Millainen yhtälöryhmä syntyy, jos mittauksia tehdään 50 pisteen välillä? Mittauksia on silloin 1225. Tuntemattomia on yhtä monta kuin ruutuja kuvassa
  • 43. TOMOGRAFIA •Merkitään ruudun j vaimen- nuskerrointa symbolilla xj •Merkitään röntgensäteen i ruudussa j kulkemaa matkaa symbolilla dij •Merkitään intensiteetin muutosta symbolilla yi 8 >y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn > > > <y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn >.. . . >. > . > : ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn
  • 44. SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISEMINEN •Miten on mahdollista ratkaista todella suuria yhtälöryhmiä? 8 >y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn > > > <y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn >.. . . >. > . > : ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn
  • 45. SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISEMINEN •Carl Friedrich Gauss kehitti jo 1800-luvun alussa ns. eliminointimenetelmän, joka perustuu matriisin määritelmään. 8 >y1 = d11 x1 + d12 x2 + · · · + d1n xn > > > <y2 = d21 x1 + d22 x2 + · · · + d2n xn >.. . . >. > . > : ym = dm1 x1 + dm2 x2 + · · · + dmn xn
  • 46. SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISEMINEN •Carl Friedrich Gauss kehitti jo 1800-luvun alussa ns. eliminointimenetelmän, joka perustuu matriisin määritelmään. 0 1 0 10 1 y1 d11 d12 ... d1n x1 B y2 C B d21 d22 ... d2n C B x2 C B C B CB C B . C=B . . . CB . C @ . A @ . . . . . ... . A@ . A . . ym dm1 d12 ... dmn xn •Erillisten yhtälöiden sijaan käsitellään matriisia.
  • 47. SUURTEN YHTÄLÖRYHMIEN RATKAISEMINEN •Matematiikan haara, joka tutkii matriisi- laskennan lainalaisuuksia on nimeltään lineaarialgebra. •Linearialgebra kertoo esim. milloin matriisit voidaan kertoa keskenään ja milloin matriisin voi jakaa toisella matriisilla. •Tietokonetomografiassa hyödennetään suurten matriisien jakamiseen kehitettyjä työkaluja.
  • 48. ERITYISONGELMAT •Matriisiyhtälön ratkaisu on herkkä mittaus- tulosten häiriöille ja puutteille: ‣ Potilas liikkuu kuvauksen aikana ‣ Mittauslaitteen tarkkuus on rajattu ‣ Mittauksia ei välttämättä ole saatavilla kaikista suunnista