�ݺ�ߣ

Laskennan matematiikka

Marko Huhtanen
Oulun Yliopisto

Laskenta: teht¨v¨, joka edellytt¨¨ runsaasti peruslaskutoimitusten
a a aa
suorittamista.

Matematiikka: algebra, analyysi, geometria,...

Laskennan matematiikka: matematiikka, joka on laskennan
motivoimaa.

Yht¨l¨ryhm¨n ratkaisemisen historia sis¨lt¨¨ kaikki aiheeseen
ao a a aa
liittyv¨t vivahteet.
a

300-luku
Yht¨l¨ryhm¨
ao a 
3x + 2y + z = 39 
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26


on kirjasta “Yhdeks¨n Lukua Matematiikan Taiteesta” joka on
a
per¨isin viimeist¨¨nkin 300-luvulta.
a aa

Menetelm¨ jolla yht¨l¨ryhm¨ kirjassa esitet¨¨n ratkaistavaksi, on
a ao a aa
Gaussin eliminaatio.1

Carl Friedrich Gauss eli 1777-1855.

The Arnold principle: If a notion bears a personal name, then this
name is not the name of the inventor.

1
“Gaussin eliminaatio” tarkoittaa nykyisin tuettua LU hajotelmaa.

1800-luku
John von Neumann: “By and large it is uniformly true in
mathematics that there is a time lapse between a mathematical
discovery and the moment when it is useful.”

Yht¨l¨ryhmi¨ alettiin ratkomaan 1800 luvun alussa. Ensimm¨inen
ao a a
sovellus oli astronominen.

Gauss oli merkitt¨v¨ siit¨ syyst¨, ett¨ h¨n keksi pienimm¨n
a a a a a a a
neli¨summan menetelm¨n.
o a

Pienimm¨n neli¨summan menetelm¨lle l¨ytyi nopeasti paljon
a o a o
k¨ytt¨¨.
a oa

Ongelmien koko alkoi my¨s kasvaa.
o

Sittemmin kartograﬁassa 1800 luvun loppupuolella jouduttiin
ratkomaan pienimm¨n neli¨summan teht¨vi¨.
a o a a

Jopa 77 × 77 kokoisia yht¨l¨ryhmi¨ ratkottiin kyn¨ll¨ ja paperilla:
ao a a a

...These calculations – all in duplicate – were completed in two
years and a half – an average of eight computers being employed...

“....In connection with so great a work successfully accomplished,
it is but right to remark how much it was facilitated by the energy
and talents of the chief computer, Mr. James O’Farrell.”

1900-1960

Kaupallinen lentokoneteollisuus alkoi synnytt¨m¨¨n runsaasti
a aa
yht¨l¨ryhmi¨ 1940 luvulta l¨htien.
ao a a

Ongelmien koko alkoi kasvaa kest¨m¨tt¨m¨ksi.
a a o a

Suurin ongelma joka viel¨ ratkaistiin k¨sin (=mekaanisella
a a
laskukoneella) oli kokoa 200 × 200.

Ty¨ veisi kolmessa vuorossa yli kaksi kuukautta. Olettaen ettei
o
yht¨k¨¨n n¨pp¨ilyvirhett¨ tehd¨.
a aa a a a a

Nopeampi ratkaiseminen oli mahdollista matematiikan avulla, mm.
permutoimalla yht¨l¨t sopivasti ja k¨ytt¨m¨ll¨ hyv¨ksi harvuutta.
ao a a a a a

(Marchant Model 10ACT, valmistus: USA 1930-1940.)

40-luvun puoliv¨liss¨ elektronisia tietokoneita alettiin
a a
kehittelem¨¨n.
aa

50-luvun puoliv¨liss¨ kaupallisia tietokoneita alkoi tulla
a a
markkinoille.

Tosin 200 × 200 kokoinen matriisi ei olisi mahtunut niiden muistiin.

Ensimm¨inen moderni numeerisen analyysin julkaisu: J.von
a
Neumann and H. Goldstine: Numerical inverting of matrices
of high order, Bull. Amer. Math. Soc., pp. 1021–1099, (1947).

Gaussin eliminaatio saatettiin matemaattisesti sellaiseen muotoon,
ett¨ se toimi tietokoneissa numeerisesti luotettavasti.
a

Matriisianalyysi tuli keskeiseksi.

1960-
1960-luvulla Suomessakin oli yliopistoissa kaupallisia tietokoneita
mm. TKK:lla (Elliott 803 A k¨ytt¨¨n 1961) ja Oulun yliopistossa
a oo
(Elliott 803 B k¨ytt¨¨n 1965).
a oo

Nykyp¨iv¨n supertietokoneet selvi¨v¨t 106 × 106 kokoisista
a a a a
teht¨vist¨ noin vuorokaudessa.
a a

Jos ei ole supertietokonetta, rinnakkaista laskenta GPU:lla. (Alla
kuvassa Tesla C1060, nVidialta!)

Pelkk¨ raaka laskentavoima ei riit¨. Realistiset simulaatiot 3D:ss¨
a a a
vaativat helposti jopa 108 muuttujaa.

T¨m¨n kokoisten laskennallisten ongelmien ratkaiseminen on
a a
mahdollista vain matematiikan avulla.

Ylip¨¨ns¨, data-massiiviset ongelmat lis¨¨ntyv¨t. 90% t¨m¨n
aa a aa a a a
p¨iv¨n datasta on syntynyt viimeisen kahden vuoden aikana.
a a

Laskennassa (ja datan k¨sittelyss¨) tarvittavaa matematiikkaa ei
a a
ole helppo ennakoida.

On suositeltavaa suhtautua my¨t¨mielisesti my¨s sellaiseen
oa o
matematiikkaan, joka perinteisesti on mielletty olevan heikosti
yhteydess¨ laskentaan.
a

�ݺ�ߣ

Laskennan matematiikka

More Related Content

Laskennan matematiikka