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金融情報学研究会(SigFin) セッション4:機械学習1
2023/10/14(土) 15:00-
単調回帰を用いた一般化トレンド?ファクター:
暗号資産市場への応用
a. 野村アセットマネジメント株式会社
b. 株式会社Preferred Networks
中川慧、南賢太郎
a b
資産運用先端技術研究部
リサーチフェロー

Overview
1
? 本研究では、[Han,2016]のトレンド?ファクターの拡張を行い、一般化トレンド?ファク
ターを提案する。具体的にはモメンタム、リバーサル、移動平均、指数移動平均を含む
広い意味でのトレンドを捉えることができるファクターである。
? 一般化トレンド?ファクターの特徴は、定常性をもつ一般化トレンド?シグナルによって
定義され、単調回帰によってパラメータは高速に推定可能である。また、理論的にはテク
ニカル投資家が存在する市場では、一般化トレンド?ファクターは期待リターンのドライ
バー（ファクター）である。
? (テクニカル投資家が存在する)暗号資産市場をユニバースとする実証分析によって、
時系列方向、クロスセクション方向の両方で一般化トレンド?ファクターの有効性が確
認できる。

もくじ
2
? 準備
?トレンドファクター
? 提案手法
?一般化トレンド?ファクター
?推定手法
?理論的性質
? 実証分析
? まとめ

もくじ
3
? 準備
? 提案手法
?推定手法
?理論的性質
? 実証分析
? まとめ

4
トレンド?ファクター
? トレンド?ファクターはトレンド?シグナルから構成されるファクター [Han,2016]。
単純平均 ??,? =
?? + ???1 + ? + ????+1
?
正規化
??,? ?
??,?
??
?
??
? = 3個
??+1 = ? + ?
?∈?
????,? + ??
?
??+1 = ?
? + ?
?∈?
?
????,?
ラグ?のトレンド?シグナル
ラグ?のトレンド?ファクター
回帰でパラメータを推定
Step1:トレンド?シグナルの構築
Step2:トレンド?ファクターの推定
? = 5
? = 20
? = 40

5
トレンド?ファクターの課題点
課題1: ??が単位根過程である場合には、トレンド?シグナルは非定常(定常ではない)。
??,? ?
??,?
??
?????は非定常であるが、差分?? ? ???1が定常になる
非定常性を持つ変数の回帰には様々な問題が生じる。
資産価格??は単位根過程であり、
差分をとってないので、??,?は一般には定常とはならない。
? シグナルに定常性を持たせること、より効果的なシグナルを生成することを目指す
課題2: シグナルの作成方法
??の選択に恣意性が残る。
?単純平均よりも効果的なシグナルの作成が可能ではないか（銘柄ごとに異なるラグ）。
本研究では、

もくじ
6
? 準備
? 提案手法
?理論的性質
?推定手法
? 実証分析
? まとめ

7
一般化トレンド?ファクター
? 一般化トレンド?ファクターは一般化トレンド?シグナルから構成される。
加重平均 ??,? =
?0?? + ?1???1 + ? + ???1????+1
?0 + ?1 + ? + ???1
=
σ?=0
??1
??????
σ?=0
??1
??
??,? ? ?? ? ??,?
? シグナルの解釈は現在のプライス??がトレンド??,?からどれくらい乖離しているのか
ラグ?の一般化トレンド?シグナル??,?
?? ≥ 0を用いて加重平均??,?を計算する。
? ??, ?? = 1のとき、トレンド?シグナル(単純平均)。 1???1
で、モメンタム。
指数加重平均も含む。

8
一般化トレンド?ファクター（差分表現）
?????
???? = ?? ? ?? + ???1 ? ???1 + ? + ???? = ?? ? ?? ? ???1 ? ? ? (????+1 ? ????)
= ?? ? ?
?=1
?
????? ????1
??,? =
σ?=0
??1
??????
σ?=0
??1
??
= ?? ?
σ?=1
??1
(σ?=?
??1
??)Δ????
σ?=0
??1
??
= ?? ? ?
?=1
??1
??Δ????
??,? = ?? ? ??,? = ?
?=1
??1
??Δ????
? 一般化トレンド?シグナルを式変形する（差分形式を得る）
??,?の差分表現を得ることができた！
??, ?? ≥ ?? ≥ 0, ? ≤ ?
命題1:一般化トレンド?シグナル??,?は定常である。（定常の線形和は定常）
→トレンド?ファクターの課題1の解決
??
①
②
③

9
一般化トレンド?ファクター（構成）
Δ?? = ? + ?
?=1
??1
??Δ???? + ??
Δ?? = ? + ??,? + ??
Δ ?
?? = min
?
?
?
?
Δ?? ? ? ? ?
?=1
?
??Δ????
2
?. ?. , ?? ≥ ?? ≥ 0, ? ≤ ?
?
??+1 =
Δ ?
??
??
= ? +
?
??,?
??
? 一般化トレンド?ファクターの構成（回帰）
?
? 十分大きな? ? ?対して、以下の最適化問題（単調回帰）を解いてパラメータを推定。
???自然に係数のスパース性が入っている！
一般化トレンド?ファクター →トレンド?ファクターの課題2の解決

10
一般化トレンド?ファクター(推定方法)
? 最適化問題の解法
(a)非負最小二乗法
(b)近接勾配法
min
?
?
? ? = ? ? ? ? ?? 2
2 ?. ?. , ?? ≥ ?? ≥ 0, ? ≤ ?
? = ?? = Δ??, … , Δ????
?
? = ???1, … , ????
?
? = ?1, … , ??
?
? =
1 ? 1
? ?
0 1
? = ?1 ? ?2, … , ???1 ? ??, ??
?
min
?
?
? ? ? ? ??? 2
2 ?. ?. , ? ≥ 0
上三角行列
min
?
?
? ? + ? ?
?=1
?
??+1 ? ?? +
+ ? ?? +
に対して、加速近接勾配法または、近単調回帰として高速に解くことができる[Minami,2020]。
と置いて
と置いて

11
一般化トレンド?ファクター(理論的性質)
定理1:
テクニカル投資家を市場に含むことで、株価リターンが一般化トレンド?シグナルが
プライシングされ（ファクター）、リターンが予測可能になる。
以下の経済[Wang,1993]を仮定する。このとき、均衡状態においてリターンは
??+1 = ? + ?
??,?
??
??? = ?? ?
? ? ?? ?? + ?????
(2)
??? = ?? ? ???? ?? + ?????
(1)
??? = ??????? + ?????
(3)
?? ? ?
?∞
?
exp ? ? ? ? ????
配当過程
平均配当過程
供給過程
指数加重平均過程
テクニカル投資家
情報投資家
?
1 ? ?
と連続表現の一般化トレンド?シグナル??,?を用いて記述できる。
経済:
??,?は??の離散近似とみることができる。

もくじ
12
? 準備
? 提案手法
?理論的性質
?推定手法
? 実証分析
? まとめ

13
実証分析（データセット）
? モメンタム、トレンド?ファクター、一般化トレンド?ファクターの有効性を時系列/
クロスセクションの両方で暗号資産を対象に検証。
? データセット
ユニバース:DataStreamで定義された
Crypt Universe の、
2023/7/31で利用可能な30通貨
データ期間:
2015/1/29(5通貨が利用可能)
~2023/7/31
ポートフォリオ構築期間 (Out-of-sample):
2017-1-31~2023/7/31

14
? 各ファクターの構築については以下の通り。
?一般化トレンド?ファクター(提案手法):ラグ? = 30(1か月)とし、ファクターの推定期間
は2年(24か月)分のデータを利用した。
実証分析（ファクター構成）
? 各ファクターは1ヵ月 (月末) ごとに推定を行い、それに基づいてリバランスし、Out-of-
sample期間にわたってリターンを計測する。
?モメンタム:過去?日リターンをファクターとして用いる。
? = 3, 5, 10, 20, 30とし、それぞれ、Mom3, Mom5, Mom10, Mom20, Mom30
と表記する。
?トレンド?ファクター:ラグ? = 3, 5, 10, 20, 30 としたトレンド?ファクターとし、ファクターの推
定期間は2年 (24か月)分のデータを利用し、Trend と表記する。

15
実証分析（ポートフォリオ構築）
?クロスセクション
?時系列
??,? = ?? rank ??,? ?
?? + 1
2
??,? = ?? sign ??,?
? 各ファクター??,?に対して次のクロスセクション、時系列の二種類のポートフォリオを構築する
??:時点tで投資可能な暗号資産数
スコアの真ん中でＬ/Sが切り替わる、スコアに比例したポートフォリオ
スコアの正負でＬ/Sが切り替わるポートフォリオ
??:レバレッジが1になるような係数
? 評価指標は年率リターン(AR)、年率リスク(RISK)、年率リスク?リターン(R/R)、最大ド
ローダウン(MaxDD)、カルマーレシオ(CR=AR/MaxDD)、累積リターン(TR)

16
実証分析（分析結果）
? クロスセクション、時系列のそれぞれの結果は次の通り
クロスセクション方向のポートフォリオ時系列方向のポートフォリオ
?Mom30の結果が良好であり、AR、R/R、CR、TRの評
価指標で最も良い結果となっており、[Liu,2022]と同じくク
ロスセクションでの有効性が確認できる。
?提案手法はAR、R/R、CR、TRの評価指標で最も良
い結果。（同様の水準＝結果が安定している）
?提案手法は、AR、R/R、CR、TRの評価指標で二番目
に良い結果となっており、全体的に良好なパフォーマンス。 ?一方で、 [Liu,2021]とは異なり、時系列モメンタム
効果が確認できない。
?TrendもRiskが最もよく、AR、R/R、CR、TRについ
ても二番目に良い結果になっている。

17
実証分析（分析結果）
? 一般化トレンド?ファクターのスパース性の確認
?図から、時点によって非ゼロの数が異なる、
すなわち、時点によって使用するシグナル
の数が動的に変わっており、単調回帰のス
パース性が確認できる。
図.BTC の一般化トレンド?ファクターの非ゼロの係数?の時系列推移。
?7(1週間),14(2週間),30(1ヶ月)のような、
基本的な周期の部分を境にゼロになっている。
→有効なシグナルの周期性

18
まとめ
?本研究の貢献は以下の通り。
(1)理論的な側面では、他の資産の影響を考慮した一般化トレンド?シグナルの拡
張を行い、他の資産からのリードラグ効果を反映できるようにすること。
(2)実証的な側面として、モメンタムは株式市場やコモディティなどあらゆる市場で観察さ
れる現象であることから、他の資産へ応用。
?今後の課題として、
?既存のトレンド?ファクターの構成手法を一般化した一般化トレンド?ファクターを提案し、そ
の特性としてシグナルの定常性を示した。
?一般化トレンド?ファクターを単調回帰によって各銘柄ごとに推定する手法を提案した。多
数の計測期間から意味のある期間だけを選択し、期間選択の恣意性を排除できる。
?経済的には、市場にテクニカル投資家が存在する場合に将来のリターンを予測するファク
ターとなることを証明した。

19
参考文献
Han, Y., Zhou, G., & Zhu, Y. (2016). A trend factor: Any economic gains from using
information over investment horizons?. Journal of Financial Economics, 122(2), 352-375.
[Han,2016]
Minami, K. (2020). Estimating piecewise monotone signals. Electronic Journal of
Statistics, 14, 1508-1576.
[Wang,1993]
[Liu,2022]
[Liu,2021]
[Minami,2020]
Wang, J. (1993). A model of intertemporal asset prices under asymmetric information. The
Review of Economic Studies, 60(2), 249-282.
Liu, Y., Tsyvinski, A., & Wu, X. (2022). Common risk factors in cryptocurrency. The Journal of
Finance, 77(2), 1133-1177.
Liu, Y., & Tsyvinski, A. (2021). Risks and returns of cryptocurrency. The Review
of Financial Studies, 34(6), 2689-2727.

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単調回帰を用いた一般化トレンド?ファクター：暗号資産市場への応用 SigFin発表スライド

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