More Related Content
What's hot (20)
Similar to วกตอร์(สอน) (20)
![Ppt%20vector[1]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/ppt20vector1-100920022645-phpapp01-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
More from kroojaja (20)
วกตอร์(สอน)
- 1. วกตอร์ใน R2 และ R3 โดย...นางสาวจารุวรรณ บุญชลาลัย โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ตรัง
- 2. ปริมาณมีสองประเภท คือ ปริมาณสเกลาร์ใช้บอกขนาด เช่น ปริมาตร น้้าหนัก อุณหภูมิ พื้นที่ และปริมาณวกตอร์ หรือ เรียกสั้นๆ ว่า วกตอร์ เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ชายคนหนึ่งเดินทางไปทิศเหนือเป็นระยะทาง 5 กิโลเมตร ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวกตอร์ 2
- 3. สัญลักษณ์ของวกตอร์ ในทางเรขาคณิตจะก้าหนดวกตอร์โดยใช้ส่วนของ เส้นตรงที่มีหัวลูกศรแทนวกตอร์ โดยที่ความยาวของส่วนของ เส้นตรงจะบอกขนาด และหัวลูกศรจะบอกถึงทิศทางของวกตอร์ สัญลักษณ์ ใช้แทนส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทางจาก A (จุดเริ่มต้น) ไป B(จุดสิ้นสุด) A B AB
- 4. การเขียนวกตอร์ นอกจากจะใช้จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด แล้ว อาจใช้ แทน ดังรูป ขนาดของวกตอร์ AB คือ ความยาวของเส้นตรง AB เขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ 𝐴𝐵 ในท้านองเดียวกัน ขนาดของวกตอร์ u จะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 𝒖 u u
- 14. การบวกวกตอร์ 14 บทนิยาม ถ้า ത uและ ഥ wเป็นวกตอร์แล้ว ผลบวก ത u+ഥ wจะเป็น วกตอร์ที่ก้าหนดทางเรขาคณิตได้ดังนี้ ให้ ഥ w เป็นวกตอร์ที่มี จุดเริ่มต้นที่จุดสิ้นสุดของ ത u วกตอร์ ത u+ഥ w จะมีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้น ของ ത u และมีจุดสิ้นสุดที่จุดสิ้นสุดของ ഥ w ดังนั้น ถ้าก้าหนดให้ ത u = และ ഥ w = แล้ว ത u+ഥ w = AB BC AC A B C ത u ഥ w ത u+ഥ w A B C ത u ഥ w ത u+ഥ w D ത u ഥ w
- 15. และถ้าสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD จะได้ว่าഥ w = = และ ത u = = ดังนั้น ഥ w+ ത u = + = แสดงว่า ത u+ഥ w = ഥ w+ ത u เพราะฉะนั้น การบวกของวกตอร์จึงมีสมบัติการสลับที่ BC AD AB DC AD DC AC A B C ത u ഥ w ത u+ഥ w D ത u ഥ w
- 16. หา ത u+ഥ w โดยให้จุดเริ่มต้นของഥ w อยู่ที่จุดสิ้นสุดของ ത u แล้ว เรายัง สามารถหา ത u+ഥ w ได้อีกวิธีหนึ่ง โดยให้จุดเริ่มต้นของทั้งสองวกตอร์ อยู่ที่จุดเดียวกัน กล่าวคือ สมมติให้ ത u = และ ഥ w = จะได้ว่า ത u+ഥ w เป็นวกตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่ A และจุดสิ้นสุดที่ D เมื่อ D เป็นจุดมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD (เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้าน ขนานที่มี ത u และ ഥ w เป็นด้านประชิดมุม) AB AC A B C ത u ഥ w ത u+ഥ w D ത u ഥ w
- 17. วกตอร์ศูนย์ วกตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์ หรือวกตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและ จุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน เราเรียกว่า วกตอร์ศูนย์(Zero vector) และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ത 0 วกตอร์ศูนย์ มีสมบัติเป็นเอกลักษณ์ส้าหรับการบวกของ วกตอร์ กล่าวคือ ถ้า ത v เป็นวกตอร์ใด ๆ แล้ว ത 0+ത v = ത v+ത 0 = ത v
- 18. การลบวกตอร์ 18 บทนิยาม ถ้า ത uและ ഥ wเป็นวกตอร์แล้ว ผลต่าง ത u-ഥ wจะเป็นวกตอร์ ที่นิยาม ดังนี้ ത u-ഥ w = ത u+(-ഥ w) หรือกล่าวได้ว่า ถ้า ത uและ ഥ wเป็นวกตอร์ ที่มีจุดเริ่มต้นเป็นจุดเดียวกัน แล้ว ത u-ഥ w จะเป็นวกตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ ഥ w(ตัวลบ) และมีจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ ത u (ตัวตั้ง) ดังรูป ത u ഥ w −ഥ w ത u ഥ w
- 19. การคูณวกตอร์ด้วยสเกลาร์ บทนิยาม ก้าหนดให้ ത v ไม่เป็นวกตอร์ศูนย์ และ k เป็นจ้านวนจริง ที่ ไม่เป็นศูนย์(สเกลาร์) ผลคูณ kത v จะเป็นวกตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 𝑘 เท่าของความยาวของ ത v และมีทิศทางเดียวกับ ത v เมื่อ k > 0 และ มีทิศทางตรงข้ามกับ ത v เมื่อ k < 0 นอกจากนั้น จะนิยามว่า kത v = ത 0 เมื่อ ത v = ത 0 หรือ k = 0 ത v 2ത v (−𝟏)ത v 𝟏/𝟐ത v (−𝟑)ത v
- 20. วกตอร์ในระบบพิกัดฉาก บทนิยาม ก้าหนดให้ ത v เป็นวกตอร์ใดๆ ในระนาบ และสมมติให้ จุดเริ่มต้นของ ത v อยู่ที่จุดก้าเนิด และจุดสิ้นสุดของ ത v อยู่ที่จุด 𝑣1, 𝑣2 เราจะเขียนว่า ത v= 𝑣1, 𝑣2 และเรียก 𝑣1, 𝑣2 ว่าส่วนประกอบของ ത v โดยเรียก 𝑣1และ 𝑣2 ว่าส่วนประกอบตัวแรก และส่วนประกอบตัวที่สอง ตามล้าดับ
- 21. 21 x y ത v 𝑣1, 𝑣2 - วกตอร์ ത v = 𝑣1, 𝑣2 และ ഥ w = 𝑤1, 𝑤2 จะเป็นเวกเตอร ที่สมมูลกัน หรือเท่ากันก็ต่อเมื่อ 𝑣1 = 𝑤1และ 𝑣2 = 𝑤2 - วกตอร์ศูนย์ และนิเสธของวกตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ เป็นดังนี้ ത 0 = (0 , 0) - ถ้า ത v = 𝑣1, 𝑣2 แล้วนิเสธของ ത v เป็นดังนี้ −ത v = −𝑣1, −𝑣2
- 22. 22 - การบวก การลบ และการคูณวกตอร์ด้วยสเกลาร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ นิยามดังนี้ ถ้า ത v = 𝑣1, 𝑣2 และ ഥ w = 𝑤1, 𝑤2 และ k เป็น จ้านวนจริง แล้ว 1) การบวกวกตอร์ ത v + ഥ w = 𝑣1 + 𝑤1 ,(𝑣2+ 𝑤2)
- 23. 23 2) การคูณวกตอร์ด้วยสเกลาร์ kത v= k𝑣1, k𝑣2 3) การลบวกตอร์ ത v-ഥ w = ത v+(-ഥ w)= (𝑣1- 𝑤1, 𝑣2- 𝑤2)
- 24. ตัวอย่าง ก้าหนดวกตอร์ ത u = (4 , -5) , ത v=(-2 , 6) และ ഥ w=(9 , 1) จะได้ว่า 1. ത u + ത v = 2. ത u - ത v = 3. 3ത v = 4. 2 3 ҧ 𝑣=
- 25. วกตอร์ใน 𝑅3 ระบบมือขวา - วกตอร์ ത v เป็นวกตอร์ใดๆ ใน 𝑅3 ซึ่งมีจุดเริ่มต้นที่จุดก้าเนิด และ มีจุดสิ้นสุดที่จุด = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 เราเขียนว่า ത v = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 และ เรียก 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ว่าส่วนประกอบ ของ ത v และเรียก 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3ว่า ส่วนประกอบที่หนึ่ง ที่สอง และที่สาม ตามล้าดับ
- 26. 26 y z ത v 𝑣1, 𝑣2, 𝑣𝟑 x 1. ത v = ഥ w ก็ต่อเมื่อ 𝑣1 = 𝑤1 , 𝑣2 = 𝑤2 และ 𝑣3 = 𝑤3 2. ത v + ഥ w = (𝑣1 + 𝑤1 , 𝑣2 + 𝑤2 , 𝑣3 + 𝑤3) 3. ത v - ഥ w = (𝑣1 - 𝑤1 , 𝑣2 - 𝑤2 , 𝑣3 - 𝑤3) 4. k ҧ 𝑣= 𝑘𝑣1, 𝑘𝑣2, 𝑘𝑣3 5. ത 0 = 0,0,0 6. −ത v = −𝑣1, −𝑣2, −𝑣3 ก้าหนดให้ ത v = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 และ ഥ w= 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 เป็นวกตอร์ใน 𝑅3 และ k เป็นจ้านวนจริง
- 27. ตัวอย่าง ก้าหนดวกตอร์ ത v=(2 , 5 , -6) และ ഥ w=(4 , 3 , 8) จะได้ว่า 1. ത v + ഥ w = 2. ത v - ഥ w = 3. 3ത v = 4. −1 2 ഥ 𝑤=
- 28. 28 y z 𝑣1, 𝑣2, 𝑣𝟑 x จากรูปจะได้ว่า 𝑂𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 และ 𝑂𝑃2 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 จะ ได้ว่า 𝑃1𝑃2= 𝑂𝑃2 - 𝑂𝑃1 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 - 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝑥2−𝑥1, 𝑦2−𝑦1, 𝑧2−𝑧1 นั่นคือ 𝑃1𝑃2 = 𝑥2−𝑥1, 𝑦2−𝑦1, 𝑧2−𝑧1 P1 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 P2 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 o 𝑂𝑃1 𝑂𝑃2 𝑃1𝑃2 ത v = 𝑃 1𝑃 2 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 และ 𝑂𝑃2 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 จะได้ว่า
- 29. ตัวอย่าง ก้าหนดจุด 𝑝1(8 , −5) และ 𝑝2 −4 , 7 จะได้ว่า 𝑃1𝑃2 = ((-4)-8 , 7-(-5)) = (-12 , 12) 𝑃2𝑃1 = (8 - (-4) , -5 - 7) = (12 , -12) ตัวอย่าง ก้าหนดจุด 𝑝1(8 , −5 , 4) และ 𝑝2 4 , −7,6 จะได้ว่า 𝑃1𝑃2 = (4-8 , (-7)-(-5) , 6-4) = (-4 , -2 , 2) 𝑃2𝑃1 = (8 -4 , (-5) – (-7) , 4-6) = (4 , 2 , -2)
- 30. ตัวอย่าง ก้าหนดวกตอร์ ത u = (1 , 2 , 1) ,ത v = (1 , 0 , 2) , ഥ w = (1 , 1 , 0)และ ത x = (2 , 1 , 5) จงหาสเกลาร์ 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3ที่ท้าให้ 𝑐1ത u +𝑐2ത v +𝑐3 ഥ w = ത x
- 32. สมบัติของการด้าเนินการของวกตอร์และนอร์มของวกตอร์ ทฤษฎีบท 1. ถ้า ത u , ത v 𝑅𝟐 แล้ว ത u + ത v 𝑅𝟐 2. ถ้า ത u , ത v 𝑅𝟐 แล้ว ത u + ത v = ത v + ത u 3. ถ้า ത u , ത v , ഥ w 𝑅𝟐 แล้ว (ത u + ത v) + ഥ w = ത v +( ത u + ഥ w) 4. วกตอร์ ที่ท้าให้ ส้าหรับทุก 5. ส้าหรับแต่ละ จะมี ซึ่งท้าให้ 2 0 R 0 0 u u u + = + = 2 R u 2 R u 2 R u − ( ( 0 ) u u u u + − = − + =
- 33. สมบัติของการด้าเนินการของวกตอร์และนอร์มของวกตอร์ ทฤษฎีบท 6. ถ้า และ k เป็นสเกลาร์ แล้ว 7. ถ้า และ k เป็นสเกลาร์ แล้ว 8. ถ้า และ k , m เป็นสเกลาร์ แล้ว 9. ถ้า และ k , m เป็นสเกลาร์ แล้ว 10. ถ้า แล้ว 2 R u 2 R ku 2 , R u v ( ) k u v ku kv + = + 2 R u ( ) k m u ku mu + = + 2 R u ( ) ( ) k mu km u = 2 R u 1u u =
- 34. P ത u S R Q ത v ഥ w รูปต่อไปนี้ แสดงให้เห็นว่า ( ) ( ) u v w u v w + + = + +
- 35. บทนิยาม ก้าหนดวกตอร์ ใน หรือใน นอร์มของ หมายถึง ความยาวของ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ u 2 R 3 R u u u 2 2 1 2 u u u = + x y 𝒖1, 𝒖2 ดังรูป u 𝒖2 𝒖𝟏 ในกรณีที่ เป็นวกตอร์ใน โดยอาศัยทฤษฎีบท ของพีทาโกรัส จะได้ว่า 1 2 , ) ( u u u = 2 R
- 36. ในกรณีที่ เป็นวกตอร์ใน โดยอาศัย ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส จะได้ว่า 1 2 3 , , ) ( u u u u = 3 R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OR RP OQ QR RP OQ OS RP u u u u = + = + + = + + = + + y z P 𝒖1, 𝒖2, 𝒖𝟑 u x o R S Q 2 2 2 1 2 3 u u u u = + +
- 37. ตัวอย่าง ก้าหนดให้ เป็นวกตอร์ใน จงหา , , 1 3 ), ), 3 5) 2 2 (3, 4 ( , (2, u v w − = = = 2 R u w v
- 38. ตัวอย่าง ก้าหนดให้ เป็นวกตอร์ใน จงหา , , ), 2), 3 3 2 , 3) (2, 3 , 4 (4,5,2 (5 , u v w − = = = 3 R u w v 2 2 2 2 4 4 9 16 29 ( 3) u = + + = = + − + 2 2 2 4 2) 16 25 8 49 7 5 (2 v = + + = = = + + 2 2 2 (5 3) 2) 3) 75 18 3 4 6 (3 ( w = + + = = + +
- 39. ถ้า เป็นวกตอร์ใน โดยที่ และ เป็นจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด ตามล้าดับ แล้ว 1 1 1 , ) ( P x y = 1 2 2 1 2 1 , ) ( PP x x y y − − = 1 2 PP 2 R 2 2 2 , ) ( P x y = ดังนั้น 1 2 2 1 2 1 2 2 ) ( ) ( PP x x y y − + − = 1 2 1 2 1 2 2 2 ) ( ) ( PP x x y y − + − =
- 40. ถ้า เป็นวกตอร์ใน โดยที่ และ เป็นจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด ตามล้าดับ แล้ว 1 1 1 1 , , ) ( z P x y = 1 2 2 1 2 1 2 1 , , ) ( PP x x y y z z − − − = 1 2 PP 3 R 2 2 2 2 , , ) ( z P x y = ดังนั้น 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ) ( ) ( ) ( PP x x y y z z − + − + − = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( PP x x y y z z − + − + − =
- 41. ตัวอย่าง ก้าหนดให้ และ ใน จงหา 3 R 1 1,3,4) ( P − = 2 5,2, 6) ( P − − = 1 2 PP
- 42. ถ้า เป็นวกตอร์ และ k เป็นสเกลาร์ แล้ว จะเป็นวกตอร์ที่มี ขนาดเท่ากับ เท่าของขนาดของ และเนื่องจากนอร์มของวกตอร์ คือความยาวหรือขนาดของวกตอร์ ดังนั้น อาจเขียนได้ว่า u ku k u k u ku = ให้ และ k เป็นจ้านวนจริง แล้ว 3 1 2 3 , , ) ( u u R u u = 2 2 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ku ku ku ku = + + 2 2 2 2 3 2 1 2 3 k u k u k u = + + 2 2 2 2 1 2 3 ( ) k u u u = + + 2 2 2 2 1 2 3 k u u u = + + k u ku = k u =
- 43. ก้าหนดให้ และ เป็นวกตอร์ใน จะได้ว่า 2 R 1 1) ( , u a b = 2 2 ) ( , v a b = 1 2 1 2 ) ( , a b u v a b + + + = ซึ่งเป็นวกตอร์ในแนวเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยมี และ เป็นด้านประชิดมุม u v x y O 2 2 ) ( , a b 1 2 1 2 ) ( , a a b b + + 1 1) ( , a b u u v v u v +
- 44. เนื่องจากระยะทางที่น้อยที่สุดระหว่างจุดสองจุด เท่ากับความยาวของ ส่วนของเส้นตรงมาเชื่อมระหว่างจุดสองจุดนั้น ดังนั้น อสมการนี้รู้จักกันในนาม อสมการเชิงสามเหลี่ยม u v u v + +