�ݺ�ߣ

๶�วก๶�ตอร์ใน R2 และ R3
โดย...นางสาวจารุวรรณ บุญชลาลัย
โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ตรัง

ผลคูณจุด
(Dot Product)
กาหนดให้ และ เป็น๶�วก๶�ตอร์ใน R2 และ R3
และสมมติให้๶�วก๶�ตอร์ทั้งสองมีจุดเริ่มต้นที่จุดเดียวกัน
มุมระหว่าง และ หมายถึงมุม  ที่จุดเริ่มต้น
ของ๶�วก๶�ตอร์ทั้งสอง โดยมี๶�วก๶�ตอร์ทั้งสองเป็นแขน
ของมุม และ 0     ดังรูป
u v
u v
u
v
u
v
.
u v u
v





นิยาม
กาหนดให้ และ เป็น
๶�วก๶�ตอร์ใน R2 และ R3 และ 
เป็นมุมระหว่าง และ ผลคูณ
จุดของ และ เขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์ หมายถึง
ตัวอย่าง กาหนด๶�วก๶�ตอร์ และ
เป็น๶�วก๶�ตอร์ใน R3 ซึ่งมีมุมระหว่าง
๶�วก๶�ตอร์เป็น จะได้ว่า
(0,2,0)
u =
u v
u v
v
u
v
;
cos 0 0
v u v u v
u 
=   
0 ; 0 0
u v
= =

u
(0,1,1)
v =
45

นิยาม
กาหนดให้ และ เป็น
๶�วก๶�ตอร์ใน R2 และ R3 และ 
เป็นมุมระหว่าง และ ผลคูณ
จุดของ และ เขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์ หมายถึง
เป็น๶�วก๶�ตอร์ใน R3 ซึ่งมีมุมระหว่าง
๶�วก๶�ตอร์เป็น จะได้ว่า
(1,0,1)
u =
u v
u v
v
u
v
;
cos 0 0
v u v u v
u 
=   
0 ; 0 0
u v
= =

u
( 1,0,1)
v = −
90

สูตรการหาผลคูณจุด
โดยใช้ส่วนประกอบ
กาหนดให้ และ
เป็น๶�วก๶�ตอร์ใน
R3 สมมติให้  เป็นมุมระหว่าง
และ
1 2 3
, , )
( u u
u u
=
1 2 3
, , )
( v v
v v
=
u v
x
y
z
1 2 3
, )
( ,
P u u u
1 2 3
, )
( ,
Q v v v
u
v


2 2 2
2 cos
PQ u v u v 
= + −
ใช้กฎของโคโซน์ จะได้ว่า
เนื่องจาก ดังนั้น
PQ v u
= −
( )
1 2
2 2
2
cos u v v u
u v  + − −
=
ดังนั้น ( )
1 2
2 2
2
u v u v
u v + − −
=

เนื่องจาก
2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
,
u u u u v v v v
= + + = + +
และ
2
2 2 2
1 1 2 2 3 3
( ( (
) ) )
u v u v u v u v
− = − + − + −
ผลสาเร็จคือ 1 1 2 2 3 3
u v u v u v u v
= + +

และใน๶�วก๶�ตอร์ R2 จะได้ 1 1 2 2
u v u v u v
= +


ตัวอย่าง จาก๶�วก๶�ตอร์
ใน R3 จะได้ว่า
0,2,0)
(
u =
0,1,1)
(
v =
ตัวอย่าง จาก๶�วก๶�ตอร์
ใน R3 จะได้ว่า
1,0,1)
(
u =
1,0,1)
(
v = −

ตัวอย่าง กาหนด๶�วก๶�ตอร์
จงหา 1.
2.
3.
4.
3 2
2, 5,6), , , 4)
2 3
( (
v
u = − − = −
u v

u w

v w

( )
u v w
 

ปริภูมิ๶�วก๶�ตอร์ในR ตอนที่ 1

การหามุมระหว่าง๶�วก๶�ตอร์
กาหนดให้ และ เป็น๶�วก๶�ตอร์
ใน R2 หรือใน R3 ซึ่งไม่เป็น
๶�วก๶�ตอร์ศูนย์ สมติให้  เป็นมุม
ระหว่าง และ ในทีนี้การ
คานวณหามุม  จะได้ว่า
cos
u v
u v
 =

u v

ถ้ากาหนดให้
จะได้ว่า
ดังนั้น 6 6
,
u v
= =
ใน R3 จงหามุมระหว่าง
u v
2, 1,1), 1,1,2)
( (
v
u = − =
2, 1,1), 1,1,2)
( (
v
u = − =
, v
u
ใน R3 จงหามุมระหว่าง
2,3), ,1)
( ( 7
v
u = = −
, v
u

นิยาม (๶�วก๶�ตอร์ที่ขนานกัน)
กาหนดให้ และ ไม่เป็น
๶�วก๶�ตอร์ศูนย์ใน R2 หรือใน R3
กล่าวว่า ขนานกับ ก็
ต่อเมื่อ มุมระหว่าง และ
เป็น 0 หรือ 
u v
u v
u v
(2, 3)
u = −
( 4,6)
v = −

ตัวอย่าง จงหามุมที่เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ทา
กับด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์นั้น
z
y
x
u
w
v
d
,

จากรูป ถ้าให้
และ จะได้ว่า
ในที่นี้ จะคานวณหามุมระหว่าง และ
สมมติให้  เป็นมุมระหว่าง และ
ดังนั้น
ดังนั้น  = 0.955317 เรเดียน
หรือ  = 54.7356 องศา
0,0 , ,0
( , ), (0 )
k
u k v
= =
0,0,
( )
k
w =
( , , )
k k k
d u v w
= + + =
u d
u d
2 2
2
2
1
3 3
3
cos
u d k k
u d k
k k
 = = = =


ทฤษฎีบท กาหนดให้ และ
ไม่เป็น๶�วก๶�ตอร์ศูนย์ใน R2 หรือ
ใน R3
1.
2. ถ้า และ ไม่เป็น
๶�วก๶�ตอร์ศูนย์ และ  เป็นมุม
ระหว่าง และ แล้ว
 เป็นมุมแหลม ก็ต่อเมื่อ
 เป็นมุมป้าน ก็ต่อเมื่อ
 เป็นมุมฉาก ก็ต่อเมื่อ
u v
u u u
= 
u v
u v
0
u v 

0
u v 

0
u v =

พิสูจน์
1. เนื่องจากมุม  ระหว่าง และ เท่ากับ 0 ดังนั้น
2. เนื่องจาก และ ไม่เป็น๶�วก๶�ตอร์ศูนย์ ดังนั้น
และ ดังนั้น
 เป็นมุมแหลม ก็ต่อเมื่อ cos  > 0
ก็ต่อเมื่อ
 เป็นมุมป้าน ก็ต่อเมื่อ cos  < 0
 เป็นมุมฉาก ก็ต่อเมื่อ cos  = 0
u u
2
cos
u u u u u u u

= = =

u u u
= 
u v
0
u  0
v 
cos 0
u v u v 
= 

cos 0
u v u v 
= 

cos 0
u v u v 
= =


On the other hand, we denounce with
righteous indignation and dislike men
who are so beguiled and demoralized by
the charms of pleasure of the moment,
so blinded by desire.
แสดงว่า มุมระหว่าง และ
(1, 2,3), ( 3,4,2)
u v
= − = − (3,6,3)
w =
u v =

v w =

u w =

u v
v w
u w

๶�วก๶�ตอร์เชิงตั้งฉาก
๶�วก๶�ตอร์สอง๶�วก๶�ตอร์ที่ไม่เป็น๶�วก๶�ตอร์ศูนย์ จะเป็น๶�วก๶�ตอร์เชิงตั้งฉาก ก็ต่อเมื่อ ผล
คูณจุดของ๶�วก๶�ตอร์ทั้งสองเท่ากับศูนย์
เนื่องจากผลคูณจุดของ๶�วก๶�ตอร์ศูนย์กับ๶�วก๶�ตอร์ใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น เห็น
พ้องต้องกันว่า ถ้า และ เป็น๶�วก๶�ตอร์ศูนย์แล้ว และ จะเป็น๶�วก๶�ตอร์ที่ตั้งฉาก
กัน แล้วสามารถสรุปโดยไม่มีข้อยกเว้น ได้ว่า
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ⊥
u v u v
u v
จะได้ว่า ⊥ ทั้งนี้เพราะ
(3, 4,2), (2,3,3)
u v
= − =
u v
(3)(2) ( 4)(3) (2)(3) 0
u v = =
+ − +


ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่าใน R2 ๶�วก๶�ตอร์ จะตั้งฉากกับเส้นตรง
ax+by+c = 0 ดังนั้น
ax1 + by1 + c = 0 ..............(1)
และ ax2 + by2 + c = 0 ..............(2)
( , )
b
u a
=
x
y
)
(ax by c
+ +
2 2 2 )
( ,
P x y
1 1 1)
( ,
P x y
1 2
PP

เนื่องจาก เป็น๶�วก๶�ตอร์ตามเส้นตรง ax + by + c = 0
ดังนั้น ถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า ⊥ ก็จะได้ว่า ตั้งฉากกับเส้นตรง ax + by + c = 0
จากการนาสมการ (2) ลบด้วยสมการ (1) จะได้ว่า
จากสมการสุดท้าย จะได้ว่า
หรือ
แสดงว่า ⊥ ดังนั้น ตั้งฉากกับเส้นตรง ax + by + c = 0
u
1 2 2 1 2 1
( , )
PP x x y y
= − −
1 2
PP
2 1 2 1
( ) ( ) 0
ax ax by by
− + − =
2 1 2 1
( ) ( ) 0
a x x b y y
− + − =
2 1 2 1
( , )( , ) 0
a b x x y y
− − =
1 2 0
u PP =

u 1 2
PP u

สมบัติของผลคูณจุดของ๶�วก๶�ตอร์ใน R2 หรือใน R3 และ k
เป็นสเกลาร์ใดๆ แล้ว
1.
2.
3.
4
5. เมื่อ และ เมื่อ
u v v u
 = 
( )
u v w u v u w
+ = +
 
( )
u v w u v u w
− = −
 
(
( ) ) ( )
k u v ku v u kv
= =
  
0
u u 
 0
u  0
u u =
 0
u =

พิสูจน์ ข้อ 2
สมมติให้
1 2 3 1 1 2 2 3 3
( , , ) ( , , )
( ) u u u v w v w v w
u v w
+ = + + +

1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , ), ( , , )
u u u v v v w w w
u v w
= = =
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( ) ( )
u v w u v w u v w
= + + + + +
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
u v u w u v u w u v u w
= + + + + +
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
( ) ( )
u v u v u v u w u w u w
= + + + + +
u v u w
= +
 

พิสูจน์ ข้อ 4
สมมติให้ 1 1 2 2 3 3
( ) ( )
u v u v u v
k u v k
= + +

1 1 2 2 3 3
u v u v u v
k k k
= + +
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )
u v u v u v
k k k
= + +
( )
u v
k
= 
ในทานองเดียวกัน (
( ) )
u
k u v kv
= 


ภาพฉายเชิงตั้งฉาก
ซึ่งไม่เป็น๶�วก๶�ตอร์ศูนย์ จะเป็นไปได้
หรือไม่ที่จะเขียน ในรูปผลบวก
ของสอง๶�วก๶�ตอร์ โดยที่๶�วก๶�ตอร์
หนึ่งขนานกับ และอีก๶�วก๶�ตอร์
หนึ่งตั้งฉากกับ
คาตอบคือ เป็นไปได้
วิธีการคือ สมมติให้ และ
มีจุดเริ่มต้นร่วมกันคือจุด Q จาก
จุดสิ้นสุดของ
เขียนเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรง
u a

ให้ 2 1
w u w
= −
จากการสร้าง๶�วก๶�ตอร์ และ ดังกล่าว จะได้ว่า
ขนานกับ และ ตั้งฉากกับ และ
1 2 1 1
( )
w w w u w u
+ = + − =
a
u
a
a
u a
u
1
w 2
w 1
w
2
w a

u a

และ๶�วก๶�ตอร์ จะเรียกว่า ส่วนประกอบ
ของ ตั้งฉากกับ (component of orthogonal
to ) และ
2 1
w u w
= −
ทฤษฎีบท ถ้า และ เป็น๶�วก๶�ตอร์ใน R2 หรือใน R3
โดยที่ แล้ว
1. (ภาพฉายของ บน )
2.
(ส่วนประกอบของ ตั้งฉากกับ )
0
a 
1
w
๶�วก๶�ตอร์ ที่สร้างได้ด้วยวิธีการ
ดังกล่าว จะเรียกว่า ภาพฉายเชิง
ตั้งฉากของ บน
(orthogonal projection of
on ) หรือเรียกสั้นๆ ว่า ภาพ
ฉายของ บน (projection
of on ) และเขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ นั่นคือ
u
u
a
a
u a
a
proj u
1 a
w proj u
=
u a u
a 2 1 a
proj u
w u w u
= − = −
2
a
a
u a
proj u a
=

2
a
a
u a
u proj u u a
− = −

u a
u a
u a

หมายเหตุ จาก จะได้ว่า
1. ถ้า และมุม  ระหว่าง และ เป็นมุมแหลม แล้ว ดังนั้น
จะเป็น๶�วก๶�ตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับ
2. ถ้า และมุม  ระหว่าง และ เป็นมุมป้าน แล้ว ดังนั้น
จะเป็น๶�วก๶�ตอร์ที่มีทิศทางตรงข้ามกับ
3. ถ้า และ ตั้งฉากกันแล้ว ดังนั้น
2
a
a
u a
proj u a
=

a
0
u  u 0
u a 
 a
proj u
a
0
u  u a 0
u a
  a
proj u
a
0
u a =
 0
a
proj u =
u a

ตัวอย่าง กาหนดให้ จงหา
1. ภาพฉายของ บน
2. ส่วนประกอบของ ตั้งฉากกับ
3. ภาพฉายของ บน
4. ส่วนประกอบของ ตั้งฉากกับ
1
(4, 2,2), ( , 1,2)
u a
= − = −
u a
u a
u
a
a

นอร์มของ a
proj u
จาก
นั่นคือ
ถ้า  เป็นมุมระหว่าง และ แล้ว
เพราะฉะนั้น จาก 1) และ 2) จะได้ว่า
2
a
a
u a
proj u a
=

2 2 2
a
u a u a
a
a a a
u a u a
proj u a a a
= = = =
 
 
a
u a
a
proj u =

cos
u a u a 
=

u a
cos
u a u a 
=

cos
cos
a
u a u a
u
a a
proj u


= = =

cos
a u
proj u 
=
ความยาวของภาพฉายของ บน
u a
a
u

cos
u 
2
0 

 
u
a
u

cos
u 
−



 
u

ตัวอย่าง จงหา และ เมื่อกาหนด๶�วก๶�ตอร์ และ ดังนี้
a
proj u a
proj a
1
(4, 2,2), ( , 1,2)
u a
= − = −
u a

ตัวอย่าง จงหาสูตรการหาระยะทาง D ระหว่างจุด P0(x0 , y0) กับเส้นตรง ax + by + c = 0
วิธีทา สมมติให้ Q(x1 , y1) เป็นจุดใด ๆ บนเส้นตรง ax + by + c = 0
สมมติให้ เป็น๶�วก๶�ตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่ Q
จาก ตั้งฉากกับเส้นตรง ax+by+c = 0
( , )
n a b
=
n
x
y
D
D
( , )
n a b
=
1 1
( , )
Q x y
=
P0(x0 , y0)
ax + by + c = 0
จากรูป ระยะทาง D ระหว่างจุด P0(x0 , y0)
กับเส้นตรง ax + by + c = 0 เท่ากับความยาว
ของภาพฉายของ บน นั่นคือ
0
0
n
n
D
n
QP
proj QP
= =

0
QP n

ตัวอย่าง จงหาระยะทางระหว่างจุด
กับเส้นตรง 7x – 24y + 11 =0

ผลคูณไขว้
(Cross Product)
เป็น๶�วก๶�ตอร์ใน R3 ผลคูณไขว้ของ และ เขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์ หมายถึง๶�วก๶�ตอร์ใน
R3 ซึ่งนิยามดังนี้
u v
1 2 3
( , , )
u u u u
=
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
, ,
( )
u v u v uv u v uv u v
= − − + −
1 2 3
( , , )
v v v v
=
u v

2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, ,
u u u u u u
u v v v v v v v
 
 
−
 
 
 =

(Cross Product)
จงหา
2 4 6
( , , )
u = −
u v

1 3 5
( , , )
v = −

ทฤษฎีบท ถ้า และ เป็น๶�วก๶�ตอร์ใดๆ ใน R3
แล้ว 1. (แสดงว่า ตั้งฉากกับ )
2. (แสดงว่า ตั้งฉากกับ )
u v
( ) 0
u u v
 =

( ) 0
v u v
 =

u v

u v

u
v

ทฤษฎีบท ถ้า , และ เป็น๶�วก๶�ตอร์ใดๆ ใน R3
แล้ว 1.
2.
u v
( ) ( ) ( )
u v w u w v u v w
  =  − 
w
( ) ( ) ( )
u v w u w v v w u
  =  − 

เอกลักษณ์ของลากรองจ์
Lagrange’s identity
ทฤษฎีบท ถ้า , เป็น๶�วก๶�ตอร์ใดๆ ใน R3
แล้ว
u v
2 2 2 2
( ) ( )
u v u v u v
 = − 
จงแสดงว่า๶�วก๶�ตอร์ทั้งสองสอดคล้องกับเอกลักษณ์ของลากรองจ์
2 3 3
( , , )
u = −
4 2 5
( , , )
v = −

สมบัติของผลคูณไขว้
ทฤษฎีบท ถ้า , และ เป็น๶�วก๶�ตอร์ใดๆ
ใน R3 และ k เป็นสเกลาร์ใดๆแล้ว
u v
1.
2.
3.
4
5.
6.
( )
u v v u
 =− 
( (
( ) ) )
u v w u v u w
 + =  + 
( ) ( ) ( )
u v w u w v w
+  =  + 
(
( ) ) ( )
k u v ku v u kv
 =  = 
0
u u
 =
w
0 0 0
u u
 =  =

สมบัติของผลคูณไขว้

๶�วก๶�ตอร์หนึ่งหน่วย
มาตรฐาน
กาหนด๶�วก๶�ตอร์หนึ่งหน่วยสาม๶�วก๶�ตอร์ ดังนี้
1,0,0), 0,1,0), 0,0,1)
( ( (
i j k
= = =
๶�วก๶�ตอร์ทุก๶�วก๶�ตอร์ใน R3
สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ
๶�วก๶�ตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐาน
ได้เสมอ กล่าวคือ ถ้า
แล้ว
เรียก๶�วก๶�ตอร์หนึ่งหน่วยทั้งสามนี้ว่า ๶�วก๶�ตอร์หนึ่งหน่วย
มาตรฐาน
, ,
i j k
1 2 3
( , , )
u u u u
=
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1,0,0) (0,1,0)
( , , )
(0,0,1)
i j
u u u u
u u u
u u u k
=
= + +
= + +
1 2 3 1 2 3
( , , ) i j
u u u u u u u k
= = + +

ตัวอย่าง 4
(3, , 8) 3 4 8
u i j k
= − = + −
0 9
(5, , ) 5 9
v i k
= = +
2 2
(0, ,0) j
w = − =−
ลองทาดู
5
( 10, 1, )
u = − −
8 2
( , , 1)
u = −
4
(1, , 6)
u = −
สิ่งที่น่าสนใจของผลคูณไขว้ของ๶�วก๶�ตอร์
หนึ่งหน่วยมาตรฐาน
, ,
0 0 1 0 1 0
(0,0,1)
1 0 0 0 0 1
k
i j −
 = = =
 
 
 
, ,
1 0 0 0 0 1
(1,0,0)
0 1 0 1 0 0
i
j k −
 = = =
 
 
 
, ,
0 1 0 1 0 0
(0,1,0)
0 0 1 0 1 0
j
k i −
 = = =
 
 
 
, ,
k k k
i j j i i j
 =  =  =

สูตรผลคูณไขว้ในรูปดีเทอร์มิแนนต์
ถ้า และ แล้ว
เขียนในรูป๶�วก๶�ตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐาน ได้ดังนี้
จากการคานวณหาดีเทอร์มิแนนต์ จะได้ว่า
1 2 3
( , , )
u u u u
= 1 2 3
( , , )
v v v v
=
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, ,
u u u u u u
u v v v v v v v
 
 
−
 
 
 =
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
u u u u u u
i j k
v v v v v v
u v
 = +
−
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
1 2 3
1 2 3
i j k u u u u u u
u u u i j k
v v v v v v
v v v
= − +
ตัวอย่าง จงหา ในรูปของ
ดีเทอร์มิแนนต์ของ๶�วก๶�ตอร์หนึ่ง
หน่วยมาตรฐานเมื่อกาหนดให้
2 1 3
( , , )
u = −
u v

4 6 9
, ( , , )
v =

ทิศทางของ
ผลคูณไขว้ ตั้งฉากกับทั้ง๶�วก๶�ตอร์ และ แต่เนื่องจากมี๶�วก๶�ตอร์หนึ่ง
หน่วยที่ตั้งฉากกับ และ สอง๶�วก๶�ตอร์ ในรูปต่อไปนี้ ๶�วก๶�ตอร์ และ เป็น
๶�วก๶�ตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้ง และ ดังนั้น จะมีทิศทางไปทางใด(ทิศทาง
เดียวกับ หรือ ) คาตอบคือให้ใช้ระบบมือขวา เช่นเดียวกับระบบของแกนพิกัด
ใน R3 กล่าวคือ ในขณะที่นิ้วชี้อยู่ในทิศทางของ และนิ้วกลางอยู่ในทิศทางของ
แล้ว นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของ
u v
 u v
u v n n
−
n n
−
u v u v

u v
u v

u v

u
v
v u


การแสดงออกทางเรขาคณิต
ของผลคูณไขว้
ทฤษฎีบท ถ้า และ เป็น๶�วก๶�ตอร์ใดๆ ใน
R3 และทามุมกันเป็นมุม  แล้ว
u v
sin
( )
u v u v 
 =

ความหมายของ ในทางเรขาคณิต
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม = ความยาวของฐาน x ความสูง
sin
u v 
u
sin
v 
v
sin
u v 
=
u v
= 
ถ้า และ เป็น๶�วก๶�ตอร์ใน R3 แล้ว
จะเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี และ
เป็นด้านประชิดมุม
u v ( )
u v

u v
ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้าน
ขนาน PQRS เมื่อกาหนดจุดมุมสามจุดที่
เรียงกัน ดังนี้ P(1 , 3 , -2) ,
Q(2 , 1 , 4) และ R(-3 , 1 , 6)

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้าน
ขนาน PQRS เมื่อกาหนดจุดมุมสามจุดที่
เรียงกัน ดังนี้ P(1 , 3 , -2) ,
Q(2 , 1 , 4) และ R(-3 , 1 , 6)

เส้นตรงและระนาบในR3
กาหนดระนาบใน R ซึ่งผ่านจุด
P0(x0 , y0 , z0 ) และมี๶�วก๶�ตอร์
ที่ไม่เป็น๶�วก๶�ตอร์ศูนย์ เป็น
๶�วก๶�ตอร์แนวฉากของระนาบนี้
Lines and Planes in R3
( , , )
n a b c
=
P(x , y , z)
P0(x0 , y0 , z0)
n
x
y
z

ตัวอย่าง จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุด
Q(2 , -4 , 5) และตั้งฉากกับ๶�วก๶�ตอร์
(-6 , 1 , 3)
n

ทฤษฎีบท ถ้า a , b , c และ d เป็นค่าคงตัว โดยที่ a , b , c
, d มีบางตัวไม่เป็นศูนย์ (ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน) แล้ว กราฟ
ของสมการ ax + by + cz + d = 0 เป็นระนาบซึ่งมี
เป็น๶�วก๶�ตอร์แนวฉาก
( , , )
n a b c
=
ตัวอย่าง จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุด P(1 , 2 , 1),Q(-2 , 3 , -1)
และ R(1 , 0 , 4)

�ݺ�ߣ

ปริภูมิ๶�วก๶�ตอร์ในR ตอนที่ 1

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to ปริภูมิ๶�วก๶�ตอร์ในR ตอนที่ 1 (17)

More from kroojaja (20)

ปริภูมิ๶�วก๶�ตอร์ในR ตอนที่ 1