![Рис. 1
Три некомпланарні вектори a , b і c називаються правою трійкою, якщо вектори a , b і c
орієнтовані так само, як і вектори kji ,, .
Векторним добутком вектора a на вектор b називається такий вектор c , який:
1) перпендикулярний до векторів a і b ;
2) з векторами a , b утворює праву трійку;
3) має довжину, яка визначається за формулою ϕsinbac = (φ — кут між векторами a і b )
(рис. 2).
Векторний добуток векторів a і b позначається символом ba × , або [ ]ba, .
Рис. 2
З означення векторного добутку випливає, що довжина вектора ba × чисельно дорівнює площі
паралелограма, побудованого на векторах a і b як на сторонах, тобто
[ ] OABCSba =, (4)
Основні властивості векторного добутку:
• при переставлянні співмножників векторний добуток змінює свій знак, тобто
( )abba ×−=×
(векторний добуток не має комутативної властивості);
• має сполучну властивість щодо числового множника, тобто
( ) ( ) ( )bababa λλλ ×=×=× ;
• має дистрибутивну властивість векторного множника відносно суми векторів, тобто
( ) cbcacba ×+×=×+ ;
• векторний добуток ba × дорівнює нулю, якщо вектори a і b колінеарні або принаймні
один з них є нульовим.
На підставі означення векторного добутку наведемо таблицю векторних добутків ортів kji ,, :
Нехай дано вектори );;( zyx aaaa і );;( zyx bbbb , тоді, враховуючи векторний добуток ортів
kji ,, , векторний добуток даних векторів a і b можна подати у вигляді визначника](https://image.slidesharecdn.com/random-160728192536/85/-4-320.jpg)
вектори і координати у просторі
- 1. Ю.Марчук Курс лекцій з математики ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ. ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА НА СКЛАДОВІ Вектором називається напрямлений відрізок. Позначення: а , АВ або а , АВ (А – початок вектора АВ , В – кінець вектора АВ ) Абсолютною величиною вектора називається довжина відрізка, яким зображується даний вектор. а – абсолютна величина вектора а Побудовано вектори АС , ВС , МК . АС і МК – однаково напрямлені МК і ВС , АС і ВС – протилежно напрямлені Нульовий вектор – це вектор, в якого початок збігається з кінцем. Одиничний вектор – це вектор, абсолютна величина якого дорівнює 1. Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною. Колінеарними називаються вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Властивість колінеарних векторів: ba ⋅= λ Додавання векторів Правило "трикутника" cba =+ Правило "паралелограма" cba =+ Правило "паралелепіпеда" cbad ++=
- 2. Віднімання векторів cba =− Орт – це одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом координатної осі. Позначення ортів: 1e , 2е , 3e або i , j , k 1e – орт осі ОХ Розкладання вектора на складові у площині yx aaa += де xa – проекція вектора a на вісь ОХ, ya – проекція вектора a на вісь OY. 1e і xa – колінеарні 2е і ya – колінеарні, 2е – орт осі OY Тоді 1eax ⋅= λ , 2eay ⋅= µ . Отже, 21 eea µλ += Розкладання вектора на складові у просторі zyx aaaa ++= де xa – проекція вектора a на вісь ОХ, ya – проекція вектора a на вісь OY, za – проекція вектора a на вісь OZ. Тоді 1eax ⋅= λ , 2eay ⋅= µ , 3eaz ⋅=ν , 3e – орт осі OZ. Отже, 321 eeea νµλ ++= ПРЯМОКУТНІ КООРДИНАТИ В ПРОСТОРІ. ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ, ЩО ЗАДАНІ КООРДИНАТАМИ Просторову систему координат утворюють три взаємно перпендикулярні числові прямі x, y, z, які перетинаються в т.О. Точка О – початок координат. Ці прямі утворюють відповідні координатні площини (xy), (yz), (xz). Координати точки простору: А(x; y; z) x – абсциса, y – ордината, z – апліката. Виберемо у просторовій системі координат т.А. Площина, що проходить через т.А і паралельна площині (yz), перетинає вісь ОХ в т.Ах; аналогічно вісь OY – в т.Аy, вісь OZ – в т.Аz. Координатою х називають число, яке за абсолютною величиною дорівнює довжині відрізка ОАх. Якщо т.Ах збігається з т.О, то х = 0. Координатою y називають число, яке за абсолютною величиною дорівнює довжині відрізка ОАy. Якщо т.Аy збігається з т.О, то y = 0. Координатою z називають число, яке за абсолютною величиною дорівнює довжині відрізка ОАz. Якщо т.Аz збігається з т.О, то z = 0.
- 3. Ю.Марчук Курс лекцій з математики Координатами вектора у просторі з початком в точці А1(x1; y1; z1) і кінцем у точці A2(x2; y2; z2) називаються числа х2 – х1, y2 – y1, z2 – z1. 21AA (х2 – х1; y2 – y1; z2 – z1) Властивості: • рівні вектори мають рівні координати; • вектори з рівними координатами рівні. Координати ортів: 1e (1; 0; 0), 2е (0; 1; 0), 3e (0; 0; 1) Дії над векторами • Сумою векторів а (а1; а2; а3) і b (b1; b2; b3) називається вектор c ( а1 +b1; а2 +b2; а3 +b3). • Добутком вектора а (а1; а2; а3) на число λ називається вектор аλ (λа1; λа2; λа3) Напрям вектора аλ збігається з напрямом вектора а , якщо λ > 0, і буде протилежним, якщо λ < 0. СКАЛЯРНИЙ, МІШАНИЙ ТА ВЕКТОРНИЙ ДОБУТКИ ВЕКТОРІВ Скалярний добуток Нехай дано вектори );;( zyx aaaa і );;( zyx bbbb . Скалярним добутком векторів a та b називається число, що дорівнює сумі добутків їх однойменних координат. ab = а1b1 + а2b2 + а3b3 Скалярний добуток векторів a та b позначається символом ba ⋅ , або ( )ba, . Отже, a · b = ( )ba, = ax bx + ay by + az bz . (1) Нехай φ — кут між векторами a і b , тоді скалярним добутком векторів a та b є число, що дорівнює добуткові довжин цих векторів на косинус кута φ між ними, тобто ( ) ϕcos, bababa ==⋅ . (2) З (3), враховуючи (2), випливає, що 222222 cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa ++⋅++ ++ =ϕ (3) Якщо вектори a і b взаємно перпендикулярні, то φ = 2 π , тоді cos φ = 0, звідки випливає умова перпендикулярності : ax bx + ay by + az bz = 0. Векторний добуток Три вектори називаються впорядкованою трійкою векторів, якщо вказано, який з них перший, який другий і який третій. Розглянемо прямокутну систему координат. Одиничні вектори kji ,, , які співпадають з додатними напрямами відповідно осей абсцис, ординат і аплікат, називаються ортами. Першим вектором вважається вектор i , другим — j , а третім — вектор k . Прямокутна система координат називається правою (рис. 1), якщо з кінця третього вектора k поворот від першого вектора i до другого вектора j відбувається проти руху годинникової стрілки.
- 4. Рис. 1 Три некомпланарні вектори a , b і c називаються правою трійкою, якщо вектори a , b і c орієнтовані так само, як і вектори kji ,, . Векторним добутком вектора a на вектор b називається такий вектор c , який: 1) перпендикулярний до векторів a і b ; 2) з векторами a , b утворює праву трійку; 3) має довжину, яка визначається за формулою ϕsinbac = (φ — кут між векторами a і b ) (рис. 2). Векторний добуток векторів a і b позначається символом ba × , або [ ]ba, . Рис. 2 З означення векторного добутку випливає, що довжина вектора ba × чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b як на сторонах, тобто [ ] OABCSba =, (4) Основні властивості векторного добутку: • при переставлянні співмножників векторний добуток змінює свій знак, тобто ( )abba ×−=× (векторний добуток не має комутативної властивості); • має сполучну властивість щодо числового множника, тобто ( ) ( ) ( )bababa λλλ ×=×=× ; • має дистрибутивну властивість векторного множника відносно суми векторів, тобто ( ) cbcacba ×+×=×+ ; • векторний добуток ba × дорівнює нулю, якщо вектори a і b колінеарні або принаймні один з них є нульовим. На підставі означення векторного добутку наведемо таблицю векторних добутків ортів kji ,, : Нехай дано вектори );;( zyx aaaa і );;( zyx bbbb , тоді, враховуючи векторний добуток ортів kji ,, , векторний добуток даних векторів a і b можна подати у вигляді визначника
- 5. Ю.Марчук Курс лекцій з математики (5) або у вигляді розкладу: (6) Мішаний добуток Мішаним добутком упорядкованої трійки векторів a , b і c називається число, яке одержують внаслідок скалярного добутку векторів ba × та c . Мішаний добуток позначається символом ( ba × ) c , або ( ba × , c ). Якщо задані три некомпланарні вектори a (ax; ay; az), b (bx;bv;bz) і c (cx;cy;cz), то мішаний добуток можна подати визначником (7) Абсолютне значення мішаного добутку трьох не компланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах (рис. 3). Рис. 3 А об’єм піраміди, побудованої на векторах a , b і c , знаходиться за формулою (8) Вектори a , b і c будуть компланарними тоді і тільки тоді, коли (9) Приклад. Знайти об’єм піраміди з вершинами: A(5; 1; - 4), B(1; 2; -1), С(3; 3; - 4) і D(2;2;2) . Р о з в ’ я з а н н я Розглянемо три вектори a = АВ , b = АС і c = AD . За відповідними формулами знаходимо
- 6. ах = -4; ау=1; аz= 3; bх=-2; by =2; bz= 0; сх = -3; сy =1; сz = 6. Об’єм шуканої піраміди шукаємо за формулою: ДОВЖИНА ВЕКТОРА, КУТ МІЖ ВЕКТОРАМИ, ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ Довжина вектора а (а1; а2; а3) обчислюється за формулою: 2 3 2 2 2 1 aaaa ++= Кутом між ненульовими векторами АВ і АС називається кут ∠ ВАС. Кутом між будь-якими ненульовими векторами а і b називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. Кут між двома векторами можна обчислити через скалярний добуток цих векторів: ba ab ⋅ =ϕcos Якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори перпендикулярні. Різнойменні орти – взаємно перпендикулярні. Скалярний добуток різнойменних ортів дорівнює нулю. Відстань між точками A1(x1; y1; z1) і A2(x2; y2; z2) (довжина відрізка А1А2) визначається за формулою: ( ) ( ) ( )2 12 2 12 2 1221 zzyyxxAA −+−+−= Нехай точка О – середина відрізка А1А2. A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2) і О(x; y; z) Координати точки О визначаються за формулами: 2 21 xx x + = 2 21 yy y + = 2 21 zz z + = Розкладання вектора на складові (продовження) Оскільки орти відмінні від нуля і не колінеарні, то будь-який вектор а (а1; а2; а3) можна записати у вигляді: 321 eeea νµλ ++= (*) Визначимо λ, µ, ν. Помножимо рівняння (*) на 1е . Врахувавши, що скалярний добуток однойменних ортів дорівнює 1, одержимо: ( ) ( ) 11321 0;0;1;; aeaaaa =⋅ , λλ =⋅ 11 ee , 012 =⋅eeµ , 013 =⋅eeν . Отже, 1aλ = . Аналогічно, якщо рівняння (*) помножити на 2е , то одержимо: µ = а2. І якщо рівняння (*) помножити на 3е , то одержимо: ν = а3. В результаті одержимо розклад вектора на складові: 332211 еаеаеаа ⋅+⋅+⋅= або kаjаiаа ⋅+⋅+⋅= 321